Ενας κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα είναι μια πεπερασμένη αναπαράσταση του α παράλογος αριθμός. Σε πολλές περιπτώσεις, όταν εργάζεστε με τετραγωνικές ρίζες, αρκεί μια εκτίμηση με λίγα δεκαδικά ψηφία για τους υπολογισμούς μας.
Η αριθμομηχανή είναι ένα σημαντικό εργαλείο σε αυτή τη διαδικασία. Η εμφάνισή του, η οποία έχει περιορισμένο χώρο, δείχνει μια καλή προσέγγιση για μη ακριβείς τετραγωνικές ρίζες. Αλλά είναι επίσης δυνατό να βρούμε αυτές τις εκτιμήσεις χωρίς τη βοήθεια αριθμομηχανής, όπως θα δούμε παρακάτω.
Διαβάστε επίσης: Rooting — τα πάντα για τη λειτουργία αντίστροφης ενίσχυσης
Περίληψη κατά προσέγγιση τετραγωνικής ρίζας
Μια ανακριβής τετραγωνική ρίζα είναι ένας παράλογος αριθμός.
Μπορούμε να βρούμε κατά προσέγγιση τιμές για μη ακριβείς τετραγωνικές ρίζες.
Η ακρίβεια της προσέγγισης εξαρτάται από τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων που χρησιμοποιούνται.
Η προσέγγιση μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, μεταξύ άλλων με τη βοήθεια της αριθμομηχανής.
Η εύρεση μιας προσέγγισης y στην τετραγωνική ρίζα του x σημαίνει ότι το y² είναι πολύ κοντά στο x, αλλά το y² δεν είναι ίσο με το x.
Μάθημα βίντεο για την κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα
Πώς υπολογίζετε την κατά προσέγγιση τετραγωνική ρίζα;
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να υπολογίσετε την προσέγγιση μιας τετραγωνικής ρίζας. Ένα από αυτά είναι η αριθμομηχανή! Για παράδειγμα, όταν γράφουμε \(\sqrt{2}\) στην αριθμομηχανή και κάντε κλικ στο =, ο αριθμός που προκύπτει είναι κατά προσέγγιση. Το ίδιο συμβαίνει και με \(\sqrt{3}\) είναι \(\sqrt{5}\), που είναι και μη ακριβείς τετραγωνικές ρίζες, δηλαδή είναι παράλογοι αριθμοί.
Ένας άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε ακριβείς ρίζες κοντά στη μελετημένη μη ακριβή ρίζα. Αυτό σας επιτρέπει να συγκρίνετε τις δεκαδικές αναπαραστάσεις και να βρείτε ένα εύρος για τη μη ακριβή ρίζα. Έτσι, μπορούμε να δοκιμάσουμε κάποιες τιμές μέχρι να βρούμε μια καλή προσέγγιση.
Ακούγεται δύσκολο, αλλά μην ανησυχείτε: είναι μια διαδικασία δοκιμής. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.
Παραδείγματα
Βρείτε μια προσέγγιση με δύο δεκαδικά ψηφία για \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
συνειδητοποιώ ότι \(\sqrt{4}\) είναι \(\sqrt{9}\) είναι οι πλησιέστερες ακριβείς ρίζες του \(\sqrt{5}\). Θυμηθείτε ότι όσο μεγαλύτερο είναι το radicand, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι
\(\sqrt{4}
\(2
δηλ. \(\sqrt5\) είναι ένας αριθμός μεταξύ 2 και 3.
Τώρα είναι η ώρα για δοκιμή: επιλέγουμε κάποιες τιμές μεταξύ 2 και 3 και ελέγχουμε αν κάθε τετραγωνικός αριθμός πλησιάζει το 5. (Να θυμάστε ότι \(\sqrt5=a\) αν \(a^2=5\)).
Για λόγους απλότητας, ας ξεκινήσουμε με αριθμούς με ένα δεκαδικό ψηφίο:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Σημειώστε ότι δεν χρειάζεται καν να συνεχίσουμε να αναλύουμε τους αριθμούς με ένα δεκαδικό ψηφίο: ο αριθμός που αναζητούμε είναι μεταξύ 2,2 και 2,3.
\(2,2
Τώρα, καθώς αναζητούμε μια προσέγγιση με δύο δεκαδικά ψηφία, ας προχωρήσουμε στις δοκιμές:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Και πάλι, μπορούμε να σταματήσουμε την ανάλυση. Ο αριθμός που αναζητάτε είναι μεταξύ 2,23 και 2,24.
\(2,23
Αλλά και τώρα; Ποιες από αυτές τις τιμές με δύο δεκαδικά ψηφία επιλέγουμε κατά προσέγγιση \(\sqrt5\)? Και οι δύο είναι καλές επιλογές, αλλά σημειώστε ότι η καλύτερη είναι αυτή του οποίου το τετράγωνο είναι πιο κοντά στο 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
δηλ. \(2,24^2 \) είναι πιο κοντά στο 5 από \(2,23^2\).
Έτσι, η καλύτερη προσέγγιση με δύο δεκαδικά ψηφία για \(\sqrt5\) é 2,24. Το γράφουμε \(\sqrt5≈2,24\).
Βρείτε μια προσέγγιση με δύο δεκαδικά ψηφία για \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε με τον ίδιο τρόπο όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, δηλαδή να αναζητήσουμε τις ακριβείς ρίζες των οποίων τα radicands είναι κοντά στο 20, αλλά σημειώστε ότι είναι δυνατό να μειωθεί η τιμή του radicand και να διευκολυνθεί η λογαριασμοί:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Σημειώστε ότι πραγματοποιήσαμε την αποσύνθεση του radicand 20 και χρησιμοποιήσαμε μια ιδιότητα rooting.
Τώρα πως \(\sqrt20=2\sqrt5\), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση με δύο δεκαδικά ψηφία για να \(\sqrt5\) από το προηγούμενο παράδειγμα:
\(\sqrt{20} ≈2,2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4,48\)
Παρατήρηση: Καθώς χρησιμοποιούμε έναν κατά προσέγγιση αριθμό (\(\sqrt5≈2,24\)), η τιμή 4,48 μπορεί να μην είναι η καλύτερη προσέγγιση με δύο δεκαδικά ψηφία για \(\sqrt{20}\).
Διαβάστε επίσης: Πώς να υπολογίσετε την κυβική ρίζα ενός αριθμού;
Διαφορές μεταξύ της κατά προσέγγιση τετραγωνικής ρίζας και της ακριβούς τετραγωνικής ρίζας
Μια ακριβής τετραγωνική ρίζα είναι α ρητός αριθμός. συνειδητοποιώ ότι \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) είναι \(\sqrt{121}\) είναι παραδείγματα ακριβών τετραγωνικών ριζών, όπως \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) είναι \(\sqrt{121}=11\). Επιπλέον, όταν εφαρμόζουμε την αντίστροφη πράξη (δηλαδή το ενίσχυση με εκθέτη 2), παίρνουμε το radicand. Στα προηγούμενα παραδείγματα, έχουμε \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) είναι \(11^2=121\).
Μια ανακριβής τετραγωνική ρίζα είναι ένας παράλογος αριθμός (δηλαδή ένας αριθμός με άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία). Έτσι, χρησιμοποιούμε προσεγγίσεις στη δεκαδική αναπαράστασή του. συνειδητοποιώ ότι \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) είναι \(\sqrt6\) είναι παραδείγματα μη ακριβών ριζών, γιατί \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) είναι \(\sqrt6≈2.44949\). Επιπλέον, όταν εφαρμόζουμε την αντίστροφη πράξη (δηλαδή την ενίσχυση με τον εκθέτη 2), παίρνουμε μια τιμή κοντά στη ρίζα, αλλά όχι ίση. Στα προηγούμενα παραδείγματα, έχουμε \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) είναι \(2,44949^2=6,00000126\).
Λυμένες ασκήσεις σε τετραγωνική ρίζα κατά προσέγγιση
ερώτηση 1
Τακτοποιήστε τους παρακάτω αριθμούς σε αύξουσα σειρά: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Ανάλυση
συνειδητοποιώ ότι \(\sqrt{150}\) είναι μια μη ακριβής τετραγωνική ρίζα και \(\sqrt{144}\) είναι ακριβής (\(\sqrt{144}=12\)). Επομένως, χρειάζεται μόνο να προσδιορίσουμε τη θέση του \(\sqrt{150}\).
σημειώστε ότι \(13=\sqrt{169}\). Λαμβάνοντας υπόψη ότι όσο μεγαλύτερο είναι το radicand, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της τετραγωνικής ρίζας, έχουμε αυτό
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Επομένως, ταξινομώντας τους αριθμούς σε αύξουσα σειρά, έχουμε
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
Ερώτηση 2
Μεταξύ των παρακάτω εναλλακτικών, ποια είναι η καλύτερη προσέγγιση με ένα δεκαδικό ψηφίο για τον αριθμό \(\sqrt{54}\)?
α) 6.8
β) 7.1
γ) 7.3
δ) 7.8
ε) 8.1
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ
σημειώστε ότι \(\sqrt{49}\) είναι \(\sqrt{64}\) είναι οι πλησιέστερες ακριβείς τετραγωνικές ρίζες του \(\sqrt{54}\). Οπως και \(\sqrt{49}=7\) είναι \(\sqrt{64}=8\), Πρεπει να
\(7
Ας δούμε μερικές δυνατότητες προσέγγισης με ένα δεκαδικό ψηφίο για \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Σημειώστε ότι δεν είναι απαραίτητο να συνεχίσετε με τις δοκιμές. Επίσης, μεταξύ των εναλλακτικών, το 7.3 είναι η καλύτερη προσέγγιση με ένα δεκαδικό ψηφίο \(\sqrt{54}\).
Της Maria Luiza Alves Rizzo
Μαθηματικός
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm