Κανονικά πολύγωνα: τι είναι, ιδιότητες και παραδείγματα

Ένα πολύγωνο είναι κανονικό όταν είναι κυρτό και έχει όλες τις πλευρές και τις γωνίες του ίδιου μέτρου. Επομένως, ένα κανονικό πολύγωνο είναι ισόπλευρο, αφού όλες οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, και ισόγωνο, αφού όλες οι γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο.

Ο ορισμός του πολυγώνου είναι ένα κλειστό, επίπεδο σχήμα που σχηματίζεται από μη ευθυγραμμισμένα και μη τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα. Αυτά τα τμήματα είναι οι πλευρές του πολυγώνου που, όταν είναι κανονικές, έχουν το ίδιο μήκος.

Η συνάντηση δύο πλευρών είναι μια κορυφή και η περιοχή μεταξύ των πλευρών ονομάζεται εσωτερική γωνία, μετρούμενη σε μοίρες. Στα κανονικά πολύγωνα οι γωνίες είναι ίσες.

Ένα πολύγωνο έχει τον ίδιο αριθμό πλευρών, κορυφών, εσωτερικών γωνιών (ai) και εξωτερικών γωνιών (ae).

Τα κανονικά πολύγωνα είναι κυρτά, ισόπλευρα και ισογωνικά επειδή οι πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες. Πρέπει να πληρούνται οι τρεις προϋποθέσεις.

Ένα πολύγωνο είναι κυρτό όταν κάθε τμήμα συνδέει δύο σημεία μέσα του, χωρίς κανένα τμήμα του τμήματος να πέφτει έξω από την περιοχή του πολυγώνου.

instagram story viewer

Περίμετρος κανονικών πολυγώνων

Η περίμετρος ενός πολυγώνου είναι το άθροισμα των μέτρων των πλευρών του. Όπως σε ένα κανονικό πολύγωνο, όλες οι πλευρές έχουν το ίδιο μήκος, απλώς πολλαπλασιάστε το μήκος μιας πλευράς με τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου.

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 18 εικονοστοιχεία ευθεία Ο χώρος P ισούται με ευθύ χώρο n χώρο. ευθύ διάστημα L άκρο στυλ

Οπου,
P είναι η περίμετρος,
n είναι ο αριθμός των πλευρών,
L είναι το μήκος των πλευρών.

Παράδειγμα
Η περίμετρος ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές 7 cm είναι:

Το P ισούται με n χώρο. Το διάστημα L ισούται με 6 διάστημα. χώρος 7 χώρος ισούται χώρος 42 χώρος c m χώρος

εσωτερικές γωνίες

Μια εσωτερική γωνία είναι η περιοχή που σχηματίζεται μεταξύ δύο πλευρών που συναντώνται σε μια κορυφή. Σε ένα κανονικό πολύγωνο, όλες οι εσωτερικές γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο.

Ομοίως, εάν η τιμή του αθροίσματος των γωνιών είναι γνωστή, το μέτρο μιας γωνίας είναι το σύνολο διαιρούμενο με τον αριθμό των γωνιών.

ευθεία a με ευθεία i δείκτης ισούται με ευθεία S με ευθεία i δείκτη πάνω από ευθεία n

Άθροισμα εσωτερικών γωνιών πολυγώνου

Εάν το μέτρο μιας εσωτερικής γωνίας είναι γνωστό, μπορείτε να προσδιορίσετε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών πολλαπλασιάζοντας την τιμή της με τον αριθμό των γωνιών.

ευθεία S με ευθεία i δείκτης ισούται με ευθεία α με ευθεία i διάστημα δείκτη τέλος του δείκτη. ευθύς χώρος n

Οπου:
ευθεία S με ευθεία i δείκτη είναι το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του πολυγώνου.
ευθεία α με ευθεία θ υπογράφω είναι το μέτρο μιας εσωτερικής γωνίας.
n είναι ο αριθμός των εσωτερικών γωνιών.

Για να προσδιορίσουμε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου χωρίς να γνωρίζουμε το μέτρο μιας γωνίας, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 20 px ευθεία S με ευθεία δείκτης i ισούται με 180 χώρο. κενό αριστερά δεξιά παρένθεση n μείον 2 δεξιά παρένθεση τέλος στυλ

Παράδειγμα
Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου με 6 πλευρές και το μέτρο κάθε γωνίας είναι:

ευθεία S με ευθεία i δείκτης ισούται με 180 χώρο. κενό αριστερή παρένθεση δεξιά n μείον 2 παρένθεση δεξιό διάστημα ισούται με διάστημα 180 διάστημα. κενό αριστερή παρένθεση 6 μείον 2 δεξιά παρένθεση το διάστημα ισούται με διάστημα 180 κενό. space 4 space ίσον space σύμβολο 720 μοιρών .

Το μέτρο κάθε γωνίας είναι

a με δείκτης i ισούται με S με δείκτη i πάνω από n ισούται με 720 πάνω από 6 ίσον διάστημα 120 μοιρών σύμβολο .

Απόθεμα κανονικού πολυγώνου

Το απόθεμα ενός κανονικού πολυγώνου είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο του πολυγώνου με το μέσο μιας πλευράς, καθιστώντας το γωνία 90°.

Με αυτόν τον τρόπο, το απόθεμα χωρίζει μια πλευρά σε δύο ίσα μέρη, όντας διχοτόμος, επειδή χωρίζει την πλευρά ακριβώς στη μέση.

Ο αριθμός των αποθεμάτων ενός πολυγώνου είναι ίδιος με τον αριθμό των πλευρών του. Καθώς το πολύγωνο είναι κανονικό, τα αποθέματα έχουν το ίδιο μέτρο.

Εμβαδόν κανονικών πολυγώνων

Ένας τρόπος για να υπολογίσετε το εμβαδόν οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου, ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών του, είναι να πολλαπλασιάσετε την ημιπερίμετρό του με το απόθεμά του.

Η ημιπερίμετρος είναι η μισή περίμετρος.

Το εμβαδόν διάστημα ισούται με ευθύ διάστημα p διάστημα. ευθύ διάστημα στο διάστημα

Οπου,
Π είναι η ημιπερίμετρος (περίμετρος διαιρούμενη με δύο)
ο είναι το μέτρο του αποθέματος.

Παράδειγμα
Κανονικό εξάγωνο με μήκος πλευράς 4 cm και απόθεμα 2 τετραγωνικές ρίζες του 3 cm έχει ως εμβαδόν:

Ανάλυση
Το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί ως το γινόμενο του αποθέματος και της ημιπεριμέτρου.

Εφόσον ένα εξάγωνο έχει 6 πλευρές, η περίμετρός του είναι 6,4 = 24 cm και η ημιπερίμετρός του είναι 24/2 = 12 cm.

Άρα η περιοχή είναι

ευθύς χώρος p. ευθύ διάστημα σε διάστημα ισούται με χώρο 12 διάστημα. διάστημα 2 τετραγωνική ρίζα των 3 διαστήματος χώρος ισούται με χώρο 24 τετραγωνική ρίζα 3 διαστήματος cm τετραγωνικό διάστημα

Δείτε περισσότερα για εμβαδόν και περίμετρο.

Κανονικές ασκήσεις πολυγώνου

Ασκηση 1

Ταξινομήστε τα πολύγωνα σε κανονικά και μη.

Εικόνα που σχετίζεται με την επίλυση του προβλήματος.

δείτε απάντηση

Α: όχι τακτικά.
Β: όχι τακτικό.
Γ: κανονικό.
Δ: κανονικό.
Ε: όχι κανονικό.
ΣΤ: κανονικό.

Άσκηση 2

Να βρείτε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου 10 πλευρών και το μέτρο κάθε γωνίας.

δείτε απάντηση

Το άθροισμα των γωνιών καθορίζεται από:

S με δείκτη i ισούται με 180 χώρο. κενό αριστερή παρένθεση n μείον 1 δεξιά παρένθεση S με δείκτη i ισούται με 180 κενό. κενό αριστερή παρένθεση 10 μείον 1 δεξιά παρένθεση S με δείκτη i ισούται με 180 κενό. διάστημα 9 S με δείκτη i ίσο με πρόσημο 1620 μοιρών

Επειδή το πολύγωνο είναι κανονικό, για να προσδιορίσετε το μέτρο των γωνιών, απλώς διαιρέστε το σύνολο με το 10.

a με δείκτη i ισούται με S με δείκτη i πάνω από n ισούται με 1620 πάνω από 10 ισούται με 162 μοίρες

Άσκηση 3

Βρείτε το εμβαδόν ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρές ίσες με 8 τετραγωνική ρίζα του 3 cm και απόθεμα ίσο με 4 cm.

δείτε απάντηση

Η περίμετρος του τριγώνου είναι: 8 τετραγωνική ρίζα 3 διαστήματος. διάστημα 3 διάστημα ίσον διάστημα 24 τετραγωνική ρίζα 3 διαστήματος c m .

Η ημιπερίμετρός του είναι: 24 τετραγωνική ρίζα 3 διαστήματος διαιρούμενο με χώρο 2 διάστημα ισούται με διάστημα 12 τετραγωνική ρίζα 3 διαστήματος c m.