Αναλυτική Γεωμετρία: κύριες έννοιες και τύποι

Η Αναλυτική Γεωμετρία μελετά τα γεωμετρικά στοιχεία σε ένα σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ή χώρο. Αυτά τα γεωμετρικά αντικείμενα καθορίζονται από τη θέση και τη θέση τους σε σχέση με σημεία και άξονες αυτού του συστήματος προσανατολισμού.

Από τους αρχαίους λαούς, όπως οι Αιγύπτιοι και οι Ρωμαίοι, η ιδέα των συντεταγμένων έχει ήδη εμφανιστεί στην ιστορία. Ήταν όμως τον 17ο αιώνα, με τα έργα του René Descartes και του Pierre de Fermat, που αυτό το πεδίο των Μαθηματικών συστηματοποιήθηκε.

Καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα

Το Ορθογώνιο Καρτεσιανό Σύστημα είναι μια βάση αναφοράς για τον εντοπισμό συντεταγμένων. Αποτελείται, σε επίπεδο, από δύο κάθετους άξονες μεταξύ τους.

Η αρχή O(0,0) αυτού του συστήματος είναι η τομή αυτών των αξόνων.
Ο άξονας x είναι η τετμημένη.
Ο άξονας y είναι η τεταγμένη.
Τα τέσσερα τεταρτημόρια έχουν αριστερόστροφο προσανατολισμό.

παρήγγειλε ζευγάρι

Οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο έχει τη συντεταγμένη P(x, y).

Το x είναι η τετμημένη του σημείου P και αποτελεί την απόσταση από την ορθογώνια προβολή του στον άξονα x έως την αρχή.

instagram story viewer

y είναι η τεταγμένη του σημείου P και είναι η απόσταση από την ορθογώνια προβολή του στον άξονα y μέχρι την αρχή.

απόσταση μεταξύ δύο σημείων

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο είναι το μήκος του τμήματος που ενώνει αυτά τα δύο σημεία.

Τύπος απόστασης μεταξύ δύο σημείων ευθεία Α αριστερή παρένθεση ευθεία x με ευθεία Ένα δευτερεύον κόμμα ευθύ διάστημα y με ευθεία Α δείκτης δεξιά παρένθεση και ευθεία Β ανοιχτές παρενθέσεις ευθεία x με ευθεία Β δείκτης κόμμα ευθύ διάστημα y με ευθεία Β δείκτης διάστημα κλείσιμο παρενθέσεων όποιος.

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία d με δείκτη ΑΒ ισούται με τετραγωνική ρίζα αριστερής παρένθεσης ευθεία x με ευθεία δείκτη B μείον ευθεία x με ευθεία δείκτη A δεξιά τετραγωνική παρένθεση συν αριστερή παρένθεση ευθεία y με ευθεία δείκτη Β μείον ευθεία y με ευθεία Α δείκτης δεξιά τετραγωνική παρένθεση τέλος άκρο ρίζας στυλ

Συντεταγμένες μεσαίου σημείου

Μέσο είναι το σημείο που χωρίζει ένα τμήμα σε δύο ίσα μέρη.

Να εισαι Το M ανοίγει παρενθέσεις x με δείκτη M με κόμμα κενό y με δείκτη M κλείνει παρενθέσεις το μέσο ενός τμήματος στοίβα Α Β με τη μπάρα πάνω , οι συντεταγμένες του είναι τα αριθμητικά μέσα της τετμημένης και της τεταγμένης.

αρχικό στυλ μαθηματικά μέγεθος 22 px x με ευθεία δείκτη M ίσο με αριθμητή ευθεία x με ευθεία δείκτη B συν ευθεία x με ευθεία A δείκτης πάνω από παρονομαστή 2 τέλος κλάσματος τέλος στυλ και στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία y με ευθύ δείκτη M ίσο με αριθμητή ευθεία y με ευθεία δείκτη B συν ευθεία y με ευθεία δείκτη A πάνω από παρονομαστή 2 τέλος κλάσματος τέλος στυλ

Συνθήκη ευθυγράμμισης τριών σημείων

Δεδομένων των σημείων: .

Αυτά τα τρία σημεία θα ευθυγραμμιστούν εάν η ορίζουσα του παρακάτω πίνακα είναι ίση με μηδέν.

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 εικονοστοιχεία det χώρο ανοιχτό σε αγκύλες σειρά πίνακα με κελί με ευθεία x με ευθεία Ένα άκρο δείκτη κελιού με ευθεία y με ευθεία Α τέλος κελιού δείκτης 1 σειρά με κελί με ευθεία x με ευθεία Β δείκτης τέλος κελιού με ευθεία y με ευθεία δείκτη Β τέλος κελιού 1 σειρά με κελί με ευθεία x με ευθεία C δείκτης τέλος κελιού με ευθεία y με ευθεία ένδειξη C τέλος κελιού 1 άκρο πίνακα κλείνει αγκύλες χώρο ίσο με διάστημα 0 τέλος στυλ

Παράδειγμα

Γωνιακός συντελεστής ευθείας

η πλαγιά ευθεία m μιας ευθείας είναι η εφαπτομένη της κλίσης της άλφα ως προς τον άξονα x.

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 εικονοστοιχεία ευθεία m χώρο ίσο με διάστημα tg ευθύ διάστημα άλφα τέλος στυλ

Για να λάβετε την κλίση από δύο σημεία:

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία m ίσο με αριθμητή ευθεία y με ευθεία δείκτη B μείον ευθεία y με ευθεία A δείκτης πάνω από παρονομαστή ευθεία x με ευθεία Β δείκτης μείον ευθεία x με ευθεία Α δείκτης άκρο κλάσματος τέλος του στυλ

Εάν m > 0, η γραμμή είναι αύξουσα, διαφορετικά, εάν m < 0, η γραμμή είναι φθίνουσα.

γενική εξίσωση της γραμμής

Οπου Ο,σι και ντο είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί και, ο και σι δεν είναι ταυτόχρονα μηδενικές.

Παράδειγμα

Γραμμική εξίσωση που γνωρίζει ένα σημείο και την κλίση

δίνεται ένας βαθμός ευθεία Α ανοίγει παρενθέσεις ευθεία x με 0 δείκτη κόμμα ευθύ διάστημα y με 0 δείκτη κλείνει παρενθέσεις και την πλαγιά ευθεία m .

Η εξίσωση της γραμμής θα είναι:

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία y μείον ευθεία y με 0 δείκτη ισούται με ευθεία m αριστερή παρένθεση ευθεία x μείον ευθεία x με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση τέλος στυλ

Παράδειγμα

Μειωμένη μορφή της ευθείας εξίσωσης

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία y ισούται με mx ευθεία n τέλος στυλ

Οπου:
m είναι η κλίση.
n είναι ο γραμμικός συντελεστής.

όχι διατάσσεται όπου η ευθεία τέμνει τον άξονα y.

Παράδειγμα

Κοίτα Γραμμική εξίσωση.

Σχετική θέση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών σε ένα επίπεδο

Δύο ευδιάκριτες ευθείες είναι παράλληλες όταν οι κλίσεις τους είναι ίσες.

αν μια ευθεία r έχει κλίση ευθεία m με ευθεία r δείκτη , και μια ευθεία μικρό έχει κλίση ευθεία m με ευθεία s δείκτη , αυτά είναι παράλληλα όταν:

αρχικό στυλ μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία m με ευθεία r δείκτης ισούται με ευθεία m με straight s δείκτης τέλος στυλ

Για αυτό, οι κλίσεις σας πρέπει να είναι ίσες.

m με δείκτη s ίσο με t g άλφα διάστημα με s δείκτη χώρο τέλος του δείκτη m με δείκτη r ίσο με t g άλφα διάστημα με r δείκτη χώρο τέλος του δείκτη

Οι εφαπτομένες είναι ίσες όταν οι γωνίες είναι ίσες.

Σχετική θέση μεταξύ δύο ανταγωνιστικών ευθειών σε ένα επίπεδο

Δύο γραμμές είναι ταυτόχρονες όταν οι κλίσεις τους είναι διαφορετικές.

Σφάλμα μετατροπής από MathML σε προσβάσιμο κείμενο.

Με τη σειρά τους, οι κλίσεις διαφέρουν όταν οι γωνίες κλίσης τους ως προς τον άξονα x είναι διαφορετικές.

άλφα με δείκτη r όχι ίσο άλφα με δείκτη s

κάθετες γραμμές

Δύο υπολείμματα είναι κάθετα όταν το γινόμενο των κλίσεων τους είναι ίσο με -1.

δύο ευθείες r και μικρό, διακριτό, με κλίσεις m με δείκτη r και m με s εγγεγραμμένοι , είναι κάθετοι αν και μόνο αν:

Μέγεθος μαθηματικού στυλ έναρξης 22 px ευθεία m με ευθύ δείκτη r. ευθεία m με δείκτη s ισούται με μείον 1 άκρο του στυλ

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία m με ευθεία ένδειξη r ισούται με μείον 1 έναντι ευθείας m με ευθεία ένδειξη s τέλος στυλ

Ένας άλλος τρόπος για να γνωρίζουμε εάν δύο ευθείες είναι κάθετες είναι από τις εξισώσεις τους σε γενική μορφή.

Οι εξισώσεις των ευθειών r και s είναι:

r άνω και κάτω τελεία ένα διάστημα με r δείκτη x συν b με r δείκτη y συν κενό c με r δείκτη διάστημα s άνω και κάτω τελεία ένα διάστημα με s δείκτη x συν b με δείκτη s y συν c με δείκτη s

Δύο ευθείες κάθετες σε αυτό όταν:

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία a με ευθύ δείκτη r. ευθεία α με δείκτη ευθεία s συν ευθεία b με ευθεία δείκτη r. ευθεία b με δείκτη straight s ίσο με 0 τέλος στυλ

Κοίτα Κάθετες Γραμμές.

Περιφέρεια

Περιφέρεια είναι ο γεωμετρικός τόπος στο επίπεδο όπου όλα τα σημεία P(x, y) έχουν την ίδια απόσταση r από το κέντρο του C(a, b), όπου r είναι το μέτρο της ακτίνας.

Εξίσωση περιφέρειας σε μειωμένη μορφή

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 εικονοστοιχεία ανοιχτές αγκύλες x μείον ευθείες και κλειστές αγκύλες συν ανοιχτή παρένθεση y μείον ευθεία b κλείνει την τετραγωνική παρένθεση ίση με την ευθεία r τετράγωνο άκρο του στυλ

Οπου:
r είναι η ακτίνα, η απόσταση μεταξύ οποιουδήποτε σημείου του τόξου σας και του κέντρου. ΝΤΟ.
ο και σι είναι οι συντεταγμένες του κέντρου ΝΤΟ.

γενική εξίσωση του κύκλου

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία x τετράγωνο συν ευθεία y τετράγωνο μείον 2 τσεκούρι μείον 2 με συν ανοιχτό παρενθέσεις ευθεία a τετράγωνο συν ευθεία b τετράγωνο μείον ευθεία r τετράγωνο κλείνει παρενθέσεις ίσες με 0 τέλος του στυλ

Λαμβάνεται αναπτύσσοντας τους τετραγωνικούς όρους της μειωμένης εξίσωσης της περιφέρειας.

Είναι πολύ συνηθισμένο να εμφανίζεται η γενική μορφή της εξίσωσης περιφέρειας σε ασκήσεις, γνωστή και ως κανονική μορφή.

κωνικός

Η λέξη κωνικός προέρχεται από έναν κώνο και αναφέρεται στις καμπύλες που λαμβάνονται με την τομή του. Η έλλειψη, η υπερβολή και η παραβολή είναι καμπύλες που ονομάζονται κωνικές.

Ελλειψη

Έλλειψη είναι μια κλειστή καμπύλη που λαμβάνεται με την τομή ενός ευθύγραμμου κυκλικού κώνου με ένα επίπεδο λοξό προς τον άξονα, το οποίο δεν διέρχεται από την κορυφή και δεν είναι παράλληλο με τις γενετικές του γραμμές.

Σε ένα επίπεδο, το σύνολο όλων των σημείων των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο εσωτερικά σταθερά σημεία είναι σταθερό.

Στοιχεία έλλειψης:

Τα F1 και F2 είναι οι εστίες της έλλειψης.
2c είναι η εστιακή απόσταση της έλλειψης. Είναι η απόσταση μεταξύ F1 και F2.
Το σημείο Ο είναι το κέντρο της έλλειψης. Είναι το μέσο μεταξύ F1 και F2.
Τα Α1 και Α2 είναι οι κορυφές της έλλειψης.
το τμήμα κύριος άξονας και ίσος με 2α.
το τμήμα ο δευτερεύων άξονας είναι ίσος με 2b.
Εκκεντρικότητα όπου 0 < και < 1.

Εξίσωση μειωμένης έλλειψης

Θεωρήστε ένα σημείο P(x, y) που περιέχεται στην έλλειψη όπου x είναι η τετμημένη και y η τεταγμένη αυτού του σημείου.

Κέντρο της έλλειψης στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων και κύριος άξονας (ΑΑ) στον άξονα x.

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία x τετράγωνο πάνω από ευθεία a τετράγωνο συν ευθεία y τετράγωνο πάνω από ευθεία b τετράγωνο ισούται με 1 άκρο στυλ

Κέντρο της έλλειψης στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων και κύριος άξονας (AA) στον άξονα y.

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία x τετράγωνο πάνω από ευθεία b τετράγωνο συν ευθεία y τετράγωνο πάνω από ευθεία ένα τετράγωνο ισούται με 1 άκρο στυλ

Μειωμένη εξίσωση της έλλειψης με άξονες παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων

λαμβάνοντας υπόψη ένα σημείο ευθεία Αριστερή παρένθεση ευθεία x με 0 δευτερεύοντα κόμμα ευθύ διάστημα y με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση ως προέλευση του καρτεσιανού συστήματος και, ένα σημείο ευθεία C αριστερή παρένθεση ευθεία x με 0 δευτερεύοντα κόμμα ευθύ διάστημα y με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση ως το κέντρο της έλλειψης.

Κύριος άξονας ΑΑ, παράλληλος στον άξονα x.

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 εικονοστοιχεία αριστερή παρένθεση ευθεία x μείον ευθεία x με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση σε τετράγωνο πάνω από την ευθεία ao τετράγωνο συν αριστερή παρένθεση ευθεία y μείον ευθεία y με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση στο τετράγωνο πάνω από την ευθεία b ίσο με 1 άκρο του στυλ

Κύριος άξονας ΑΑ, παράλληλος στον άξονα y.

Υπερβολή

Η υπερβολή είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο όπου η διαφορά μεταξύ δύο σταθερών σημείων F1 και F2 καταλήγει σε μια σταθερή, θετική τιμή.

Στοιχεία υπερβολής:

Τα F1 και F2 είναι οι εστίες της υπερβολής.
2c = είναι η εστιακή απόσταση.
Το κέντρο της υπερβολής είναι το σημείο O, Μέσος όρος τμήματος F1F2.
Α1 και Α2 είναι οι κορυφές.
2a = A1A2 είναι ο πραγματικός ή ο εγκάρσιος άξονας.
2b = B1B2 είναι ο νοητός ή συζευγμένος άξονας.
είναι η εκκεντρικότητα.

Μέσω τριγώνου Β1ΟΑ2

ευθεία c τετράγωνο ισούται με ευθεία a τετράγωνο συν ευθεία b τετράγωνο

Υπερβολική μειωμένη εξίσωση

Με πραγματικό άξονα γύρω από τον άξονα x και κέντρο στην αρχή.
στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 px ευθεία x τετράγωνο πάνω από ευθεία ένα τετράγωνο μείον ευθεία y τετράγωνο πάνω από ευθεία b τετράγωνο ισούται με 1 άκρο του στυλ

Με πραγματικό άξονα στον άξονα y και κέντρο στην αρχή.

Εξίσωση υπερβολής με άξονες παράλληλους σε άξονες συντεταγμένων

Πραγματικός άξονας ΑΑ παράλληλος προς τον άξονα x και κέντρο ευθεία C αριστερή παρένθεση ευθεία x με 0 δείκτη ευθεία κόμμα y με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση .

Πραγματικός άξονας AA παράλληλος στον άξονα y και κέντρο ευθεία C αριστερή παρένθεση ευθεία x με 0 δείκτη ευθεία κόμμα y με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση .

στυλ έναρξης μαθηματικά μέγεθος 22 εικονοστοιχεία αριστερή παρένθεση ευθεία y μείον ευθεία y με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση στο τετράγωνο πάνω από την ευθεία a ao τετράγωνο μείον αριστερή παρένθεση ευθεία x μείον ευθεία x με 0 δείκτη δεξιά παρένθεση στο τετράγωνο πάνω από την ευθεία b στο τετράγωνο ίσο με 1 άκρο του στυλ

Παραβολή

Παραβολή είναι ο τόπος όπου το σύνολο των σημείων P(x, y) είναι η ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο F και μια ευθεία d.

Στοιχεία της παραβολής:

Το F είναι το επίκεντρο της παραβολής.
d είναι η ευθεία κατευθυντήρια γραμμή.
Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία γραμμή που διασχίζει την εστία F και είναι κάθετος στην κατευθυντήρια γραμμή.
V είναι η κορυφή της παραβολής.
p είναι το τμήμα του ίδιου μήκους μεταξύ της εστίας F και της κορυφής V e, μεταξύ της κορυφής και της οδηγίας d.