Cosine Law: εφαρμογή, παραδείγματα και ασκήσεις

Ο Ο νόμος των συνημίτων χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μέτρου μιας πλευράς ή μιας άγνωστης γωνίας οποιουδήποτε τριγώνου, γνωρίζοντας τα άλλα μέτρα της.

Δήλωση και τύποι

Το θεώρημα του συνημίτονου αναφέρει ότι:

"Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, το τετράγωνο στη μία πλευρά είναι το άθροισμα των τετραγώνων στις άλλες δύο πλευρές, μείον το διπλάσιο του προϊόντος αυτών των δύο πλευρών από το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ τους.."

Έτσι, σύμφωνα με το νόμο των συνημίτων έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός τριγώνου:

Παραδείγματα

1. Οι δύο πλευρές ενός τριγώνου έχουν μέγεθος 20 cm και 12 cm και σχηματίζουν γωνία 120 ° μεταξύ τους. Υπολογίστε τη μέτρηση της τρίτης πλευράς.

Λύση

Για τον υπολογισμό του μέτρου της τρίτης πλευράς θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των συνημίτων. Για αυτό, ας εξετάσουμε:

b = 20 εκ
c = 12 εκ
cos α = cos 120º = - 0,5 (η τιμή βρέθηκε σε τριγωνομετρικούς πίνακες).

Αντικατάσταση αυτών των τιμών στον τύπο:

ο² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
ο² = 400 + 144 + 240
ο² = 784
α = √784
a = 28 εκ

Έτσι, η τρίτη πλευρά μετρά 28 εκ.

2. Προσδιορίστε το μέτρο του πλευρικού AC και το μέτρο της γωνίας με την κορυφή στο Α από το ακόλουθο σχήμα:

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε AC = b:

σι² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50η
σι² = 164 – 160. cos 50η
σι² = 164 – 160. 0,64279
β ≈ 7,82

Τώρα, ας προσδιορίσουμε το μέτρο γωνίας από τον νόμο των συνημίτων:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. συν
64 = 161,1524 - 156,4 συν
cos  = 0,62
 = 52º

Σημείωση: Για να βρούμε τις τιμές των συνημιτόνων γωνιών χρησιμοποιούμε το Τριγωνομετρικός πίνακας. Σε αυτό, έχουμε τις τιμές γωνιών από 1º έως 90º για κάθε τριγωνομετρική συνάρτηση (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη).

Εφαρμογή

Ο νόμος των συνημίτων μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε τρίγωνο. Είτε πρόκειται για οξεία γωνία (εσωτερικές γωνίες μικρότερες από 90 °), αμβλεία γωνία (με εσωτερική γωνία μεγαλύτερη από 90 °) ή ορθογώνιο (με εσωτερική γωνία ίση με 90 °).

Αναπαράσταση των τριγώνων από την άποψη των εσωτερικών τους γωνιών

Τι γίνεται με τα ορθογώνια τρίγωνα;

Ας εφαρμόσουμε το νόμο των συνημίτων στην πλευρά απέναντι από τη γωνία 90 °, όπως υποδεικνύεται παρακάτω:

ο² = β² + γ² - 2. ΣΙ. ντο. cos 90º

Ως cos 90º = 0, η παραπάνω έκφραση γίνεται:

ο² = β² + γ²

Που είναι το ίδιο με την έκφραση του Πυθαγόρειο θεώρημα. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι αυτό το θεώρημα είναι μια συγκεκριμένη περίπτωση του νόμου των συνημίτων.

Το cosine law είναι κατάλληλο για προβλήματα όπου γνωρίζουμε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους και θέλουμε να βρούμε την τρίτη πλευρά.

Μπορούμε ακόμα να το χρησιμοποιήσουμε όταν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές του τριγώνου και θέλουμε να γνωρίζουμε μία από τις γωνίες του.

Για καταστάσεις όπου γνωρίζουμε δύο γωνίες και μόνο μία πλευρά και θέλουμε να προσδιορίσουμε μια άλλη πλευρά, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε το νόμος των αμαρτιών.

Ορισμός του συνημίτονου και του ημιτόνου

Το συνημίτονο και το ημίτονο μιας γωνίας ορίζονται ως τριγωνομετρικές αναλογίες σε ένα σωστό τρίγωνο. Η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία (90º) ονομάζεται υποτίναση και οι άλλες δύο πλευρές ονομάζονται πόδια, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Αναπαράσταση του σωστού τριγώνου και των πλευρών του: γοφούς και υπόταση

Το συνημίτονο ορίζεται στη συνέχεια ως ο λόγος μεταξύ της μέτρησης του παρακείμενου σκέλους και της υπότασης:

Το ημίτονο, από την άλλη πλευρά, είναι η αναλογία μεταξύ της μέτρησης του αντίθετου ποδιού και της υπότασης.

Ασκήσεις Εξετάσεων Είσοδος

1. (UFSCar) Εάν οι πλευρές ενός τριγώνου μετρούν x, x + 1 και x +2, τότε για οποιαδήποτε Χ πραγματικό και μεγαλύτερο από 1, το συνημίτονο της μεγαλύτερης εσωτερικής γωνίας αυτού του τριγώνου είναι ίσο με:

α) x / x + 1
β) x / x + 2
γ) x + 1 / x + 2
δ) x - 2 / 3x
ε) x - 3 / 2x

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική e) x - 3 / 2x

2. (UFRS) Στο τρίγωνο που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα, τα AB και AC έχουν το ίδιο μέτρο και το ύψος σε σχέση με την πλευρά BC είναι ίσο με τα 2/3 του μέτρου BC.

Με βάση αυτά τα δεδομένα, το συνημίτονο της γωνίας CÂB είναι:

α) 7/25
β) 7/20
γ) 4/5
δ) 5/7
ε) 5/6

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική α) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Οι δύο πλευρές ενός τριγώνου έχουν μέγεθος 8 m και 10 m και σχηματίζουν γωνία 60 °. Η τρίτη πλευρά αυτού του τριγώνου μετρά:

α) 2√21 μ
β) 2√31 μ
γ) 2,41 μ
δ) 2√51 μ
ε) 2√61 μ

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική α) 2√21 m

Διαβάστε περισσότερα για το θέμα:

• Τριγωνομετρία
• Τριγωνομετρία στο ορθογώνιο τρίγωνο
• Ασκήσεις τριγωνομετρίας στο σωστό τρίγωνο
• Τριγωνομετρικές σχέσεις
• Τριγωνομετρικός κύκλος
• Τριγωνομετρικές συναρτήσεις