Υπολογισμός τετραγωνικής συνάρτησης

Ο τετραγωνική λειτουργία, επίσης λέγεται Πολυωνυμική λειτουργία 2ου βαθμού, είναι μια συνάρτηση που αντιπροσωπεύεται από την ακόλουθη έκφραση:

f (x) = τσεκούρι² + bx + γ

Οπου ο, σι και ντο είναι πραγματικοί αριθμοί και ο ≠ 0.

Παράδειγμα:

f (x) = 2χ²+ 3x + 5,

να εισαι,

α = 2
b = 3
c = 5

Σε αυτήν την περίπτωση, το πολυώνυμο τετραγωνικής συνάρτησης είναι βαθμού 2, καθώς είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης της μεταβλητής.

Πώς να λύσετε μια τετραγωνική συνάρτηση;

Δείτε το βήμα βήμα μέσω ενός παραδείγματος επίλυσης της τετραγωνικής συνάρτησης:

Παράδειγμα

Βρείτε a, b και c στην τετραγωνική συνάρτηση που δίνεται από: f (x) = ax² + bx + c, που είναι:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Αρχικά, ας αντικαταστήσουμε το Χ από τις τιμές κάθε συνάρτησης και έτσι θα έχουμε:

f (-1) = 8
έως 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (εξίσωση I)

f (0) = 4
Ο. 0² + β. 0 + c = 4
c = 4 (εξίσωση II)

f (2) = 2
Ο. 2² + β. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (εξίσωση III)

Με τη δεύτερη συνάρτηση f (0) = 4, έχουμε ήδη την τιμή c = 4.

Ας αντικαταστήσουμε λοιπόν την τιμή που αποκτήθηκε ντο στις εξισώσεις I και III για τον προσδιορισμό των άλλων άγνωστων (ο και σι):

instagram story viewer

(Εξίσωση Ι)

a - b + 4 = 8
α - β = 4
α = β + 4

Δεδομένου ότι έχουμε την εξίσωση του ο από την εξίσωση I, ας αντικαταστήσουμε το III για να προσδιορίσουμε την τιμή του σι:

(Εξίσωση III)

4α + 2β + 4 = 2
4α + 2β = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6β = - 18
b = - 3

Τέλος, για να βρείτε την τιμή του ο αντικαθιστούμε τις τιμές του σι και ντο που έχουν ήδη βρεθεί. Σύντομα:

(Εξίσωση Ι)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
α = 1

Επομένως, οι συντελεστές της δεδομένης τετραγωνικής συνάρτησης είναι:

α = 1
b = - 3
c = 4

Ρίζες της λειτουργίας

Οι ρίζες ή τα μηδενικά της συνάρτησης δεύτερου βαθμού αντιπροσωπεύουν τις τιμές του x έτσι ώστε f (x) = 0. Οι ρίζες της συνάρτησης προσδιορίζονται με την επίλυση της εξίσωσης δεύτερου βαθμού:

f (x) = τσεκούρι² + bx + c = 0

Για να λύσουμε την εξίσωση 2ου βαθμού μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διάφορες μεθόδους, μία από τις πιο χρησιμοποιούμενες είναι η εφαρμογή του Φόρμουλα Bhaskara, δηλαδή:

Παράδειγμα

Βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης f (x) = x² - 5x + 6.

Λύση:

Να εισαι
α = 1
b = - 5
γ = 6

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο της Bhaskara, έχουμε:

x ισούται με τον αριθμητή μείον b συν ή μείον την τετραγωνική ρίζα του b τετράγωνο μείον 4 a c το τέλος της ρίζας πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος ισούται με τον αριθμητή 5 συν ή μείον τετραγωνική ρίζα 25 μείον 24 άκρο ρίζας πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος x με 1 δείκτη ίσο με τον αριθμητή 5 συν 1 άνω παρονομαστής 2 άκρο κλάσματος ίσο με 6 πάνω 2 ίσο με 3 x με 2 συνδρομητή ίσο με αριθμητή 5 μείον 1 πάνω παρονομαστή 2 άκρο κλάσματος ίσο με 4 άνω 2 ισούται με 2

Έτσι οι ρίζες είναι 2 και 3.

Σημειώστε ότι ο αριθμός των ριζών μιας τετραγωνικής συνάρτησης θα εξαρτηθεί από την τιμή που λαμβάνεται από την έκφραση: Δ = β² – 4. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ, που ονομάζεται διακριτικός.

Ετσι,

αν Δ > 0, η συνάρτηση θα έχει δύο πραγματικές και ξεχωριστές ρίζες (x₁ ≠ x₂);
αν Δ, η συνάρτηση δεν θα έχει πραγματική ρίζα.
αν Δ = 0, η συνάρτηση θα έχει δύο πραγματικές και ίσες ρίζες (x₁ = x₂).

Γράφημα της τετραγωνικής συνάρτησης

Το γράφημα των συναρτήσεων 2ου βαθμού είναι καμπύλες που ονομάζονται παραβολές. διαφορετικός από Λειτουργίες 1ου βαθμού, όπου γνωρίζοντας δύο σημεία είναι δυνατόν να σχεδιάσετε το γράφημα, σε τετραγωνικές συναρτήσεις είναι απαραίτητο να γνωρίζετε πολλά σημεία.

Η καμπύλη μιας τετραγωνικής συνάρτησης κόβει τον άξονα x στις ρίζες ή τα μηδενικά της συνάρτησης, το πολύ σε δύο σημεία ανάλογα με την τιμή του διακριτικού (Δ). Έτσι έχουμε:

Εάν Δ> 0, το γράφημα θα κόψει τον άξονα x σε δύο σημεία.
Εάν Δ
Εάν Δ = 0, η παραβολή θα αγγίξει τον άξονα x σε ένα μόνο σημείο.

Υπάρχει ένα ακόμη σημείο, που ονομάζεται το κορυφή της παραβολής, η οποία είναι η μέγιστη ή ελάχιστη τιμή της συνάρτησης. Αυτό το σημείο βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

x με v συνδρομητή ίσο με τον αριθμητή μείον b πάνω από τον παρονομαστή 2 έως το τέλος του κλασματικού χώρου και y διάστημα με v συνδρομή ίσο με τον αριθμητή μείον την αύξηση από τον παρονομαστή 4 έως το τέλος του κλάσματος

Η κορυφή θα αντιπροσωπεύει το μέγιστο σημείο τιμής της συνάρτησης όταν η παραβολή βλέπει προς τα κάτω και η ελάχιστη τιμή όταν βλέπει προς τα πάνω.

Είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η θέση της κοιλότητας της καμπύλης αναλύοντας μόνο το σημείο του συντελεστή ο. Εάν ο συντελεστής είναι θετικός, η κοιλότητα θα είναι στραμμένη προς τα πάνω και αν είναι αρνητική, θα είναι προς τα κάτω, δηλαδή:

Κοιλότητα του γραφήματος τετραγωνικής συνάρτησης

Έτσι, για να σχεδιάσετε το γράφημα μιας συνάρτησης 2ου βαθμού, μπορούμε να αναλύσουμε την τιμή του ο, υπολογίστε τα μηδενικά της συνάρτησης, την κορυφή της και επίσης το σημείο όπου η καμπύλη κόβει τον άξονα y, δηλαδή όταν x = 0.

Από τα δοθέντα ζεύγη (x, y), μπορούμε να κατασκευάσουμε τον αριθμό parabola Καρτεσιανό αεροπλάνο, μέσω της σύνδεσης μεταξύ των σημείων που βρέθηκαν.

Εξετάσεις Ασκήσεις με Ανατροφοδότηση

1. (Vunesp-SP) Όλες οι πιθανές τιμές του Μ που ικανοποιούν την ανισότητα 2x² - 20x - 2m> 0, για όλους Χ που ανήκουν στο σύνολο των reais, δίνονται από:

α) m> 10
β) m> 25
γ) m> 30
δ) μ ε) μ

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική β) m> 25

2. (EU-CE) Το γράφημα της τετραγωνικής συνάρτησης f (x) = ax² + bx είναι μια παραβολή της οποίας η κορυφή είναι το σημείο (1, - 2). Ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} που ανήκουν στο γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι:

έως 1
β) 2
γ) 3
δ) 4

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική β) 2

3. (Cefet-SP) Γνωρίζοντας ότι οι εξισώσεις ενός συστήματος είναι x. y = 50 και x + y = 15, οι πιθανές τιμές για Χ και ε αυτοί είναι:

α) {(5.15), (10.5)}
β) {(10.5), (10.5)}
γ) {(5.10), (15.5)}
δ) {(5.10), (5.10)}
ε) {(5.10), (10.5)}

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική ε) {(5.10), (10.5)}

Διαβάστε επίσης: