Ο τομέας, το εύρος και το εύρος είναι αριθμητικά σύνολα που σχετίζονται με μαθηματικές συναρτήσεις. Αυτές οι τιμές μετασχηματίζουν τις τιμές μέσω των νόμων σχηματισμού τους και τις μεταφέρουν από ένα σύνολο εξόδου, τον τομέα, σε ένα σύνολο άφιξης, το εύρος.
Από το σύνολο τομέα προέρχονται οι τιμές που θα μετασχηματιστούν από τον τύπο συνάρτησης ή τον νόμο σχηματισμού. Στη συνέχεια, αυτές οι τιμές φτάνουν στο codomain.
Το υποσύνολο που σχηματίζεται από τα στοιχεία που φτάνουν στον κωδικό τομέα ονομάζεται σύνολο εικόνων.
Με αυτόν τον τρόπο, ο τομέας, το εύρος και το εύρος είναι μη-κενά σύνολα και μπορεί να είναι πεπερασμένα ή άπειρα.
Κατά τη μελέτη των συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να καθοριστούν ποια στοιχεία ή ποιο είναι το εύρος αυτών των συνόλων. Για παράδειγμα: σύνολο φυσικών αριθμών ή σύνολο πραγματικών αριθμών.
Δεδομένου ενός τομέα Α στον οποίο κάθε στοιχείο x που ανήκει σε αυτό μετατρέπεται από τη συνάρτηση σε στοιχείο y που ανήκει στην περιοχή Β, κάθε στοιχείο y ονομάζεται εικόνα του x.
Για τον προσδιορισμό του τομέα και του εύρους μιας συνάρτησης, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός:
(διαβάζουμε f από το Α έως το Β)
Αυτοί οι νόμοι μετασχηματισμού είναι εκφράσεις που περιλαμβάνουν πράξεις και αριθμητικές τιμές.
Παράδειγμα
Μια συνάρτηση f: A→B που ορίζεται από τον νόμο σχηματισμού f(x) = 2x, όπου το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο A={1, 2, 3} και το εύρος B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, μπορεί να αναπαρασταθεί από τις τιμές στον πίνακα και το διαγράμματα:
|
Τομέα Χ |
f(x) = 2x |
Εικόνα και |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Οργάνωση αποτελεσμάτων πίνακα σε διαγράμματα:
Τομέα
Ο τομέας D μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο εξόδου, που αποτελείται από τα στοιχεία x που εφαρμόζονται στη συνάρτηση.
Γεωμετρικά, σε ένα καρτεσιανό επίπεδο, τα στοιχεία πεδίου σχηματίζουν τον άξονα x της τετμημένης.
στη σημειογραφία ο τομέας αντιπροσωπεύεται από το γράμμα πριν από το βέλος.
Κάθε στοιχείο x στον τομέα έχει τουλάχιστον μία εικόνα y στον κωδικό τομέα.
codomain
Ο τομέας CD είναι το σετ άφιξης. στη σημειογραφία απεικονίζεται στη δεξιά πλευρά του βέλους.
Εικόνα
Το Image Im είναι ένα υποσύνολο του εύρους, που σχηματίζεται από τα στοιχεία y που εγκαταλείπουν τη συνάρτηση και φτάνουν στην περιοχή, η οποία μπορεί να έχει τον ίδιο αριθμό στοιχείων ή μικρότερο αριθμό.
Με αυτόν τον τρόπο το σύνολο εικόνων μιας συνάρτησης f περιέχεται στον κωδικό τομέα.
Γεωμετρικά, σε ένα καρτεσιανό επίπεδο τα στοιχεία του συνόλου εικόνας σχηματίζουν τον άξονα y των τεταγμένων.
Είναι σύνηθες να λέμε ότι y είναι η τιμή που παίρνει η συνάρτηση f(x) και, με αυτόν τον τρόπο, γράφουμε:
Είναι πιθανό το ίδιο στοιχείο y να είναι μια εικόνα περισσότερων του ενός στοιχείων x στον τομέα.
Παράδειγμα
σε λειτουργία ορίζεται από το νόμο
, για συμμετρικές τιμές x του τομέα, έχουμε μια ενιαία εικόνα y.
Μάθε περισσότερα για λειτουργίες.
Ασκήσεις domain, co-domain και εικόνας
Ασκηση 1
Δεδομένων των συνόλων A = {8, 12, 13, 20, 23} και B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, προσδιορίστε: τον τομέα, το εύρος και το εύρος του λειτουργίες.
α) f: A → B που ορίζεται από f (x) = 2x + 1
β) f: A → B που ορίζεται από f (x) = 3x - 14
α) f: A → B που ορίζεται από f (x) = 2x + 1
Τομέας Α = {8, 12, 13, 20, 23}
Τομέας Β = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Image Im (f) ={17,25,27,41,47}
| Δ(στ) | f(x)=2x+1 | Είμαι (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2,23+1 | 47 |
β) f: A → B που ορίζεται από f (x) = 3x - 14
Τομέας Α = {8, 12, 13, 20, 23}
Τομέας Β = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Εικόνα Im (f) ={}
| Δ(στ) | f(x) = 3x - 14 | Είμαι (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3,23 - 14 | 55 |
Άσκηση 2
Προσδιορίστε το πεδίο των συναρτήσεων που ορίζεται από:
Ο τομέας είναι το σύνολο των πιθανών τιμών που μπορεί να λάβει το x.
α) Γνωρίζουμε ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχει διαίρεση με μηδέν 0, άρα ο παρονομαστής πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν.
Διαβάζουμε: το x ανήκει στα πραγματικά έτσι ώστε το x να είναι διαφορετικό από το 2.
β) Δεν υπάρχει τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού. Επομένως, το ριζικό πρέπει να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν.
Διαβάζουμε: το x ανήκει στους πραγματικούς έτσι ώστε το x να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5.
Άσκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση με τομέα στο σύνολο των ακεραίων ποιο είναι το σύνολο εικόνων του f(x) ;
Το σύνολο Z των ακεραίων αριθμών δέχεται αρνητικούς και θετικούς αριθμούς όπου δύο διαδοχικοί αριθμοί απέχουν 1 μονάδα.
Με αυτόν τον τρόπο, η συνάρτηση δέχεται θετικές και αρνητικές τιμές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το x είναι τετράγωνο, κάθε τιμή, ακόμη και αρνητική, θα επιστρέψει μια θετική τιμή.
Παράδειγμα
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Με αυτόν τον τρόπο, θα υπάρχουν μόνο φυσικοί αριθμοί στην εικόνα.
Μπορεί να σας ενδιαφέρει:
- λειτουργία έγχυσης
- Επιθετική Συνάρτηση
- Λειτουργία Bijection
- Αντίστροφη συνάρτηση
- Σύνθετη συνάρτηση
Εφαρμογές και περιέργεια
Οι συναρτήσεις έχουν εφαρμογή στη μελέτη οποιουδήποτε φαινομένου στο οποίο μια παράμετρος εξαρτάται από μια άλλη. Όπως, για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός επίπλου με την πάροδο του χρόνου, τα αποτελέσματα ενός φαρμάκου με τα χαρακτηριστικά της οξύτητας στο στομάχι, η θερμοκρασία ενός λέβητα με την ποσότητα καυσίμου.
Οι συναρτήσεις υπάρχουν σε πραγματικά φαινόμενα και, ως εκ τούτου, έχουν εφαρμογή σε όλες τις επιστημονικές και μηχανολογικές μελέτες.
Η μελέτη των συναρτήσεων δεν είναι πρόσφατη, ορισμένες καταγραφές στην Αρχαιότητα σε βαβυλωνιακούς πίνακες δείχνουν ότι ήταν ήδη μέρος των μαθηματικών. Με τα χρόνια, η σημείωση, ο τρόπος γραφής τους, λαμβάνει συνεισφορές από αρκετούς μαθηματικούς και βελτιώνεται, μέχρι που τα χρησιμοποιούμε σήμερα.
