Νόμος περί αμαρτιών: εφαρμογή, παράδειγμα και ασκήσεις

Ο νόμος των αμαρτιών καθορίζει ότι σε οποιοδήποτε τρίγωνο, η ημιτονοειδής σχέση μιας γωνίας είναι πάντα ανάλογη με το μέτρο της πλευράς απέναντι από αυτήν τη γωνία.

Αυτό το θεώρημα αποδεικνύει ότι στο ίδιο τρίγωνο ο λόγος μεταξύ της τιμής μιας πλευράς και του ημιτονοειδούς της αντίθετης γωνίας του θα είναι συνεχής.

Έτσι, για ένα τρίγωνο ABC με τις πλευρές a, b, c, ο νόμος των αμαρτιών αναγνωρίζει τις ακόλουθες σχέσεις:

Αναπαράσταση των νόμων των αμαρτιών στο τρίγωνο

Παράδειγμα

Για καλύτερη κατανόηση, ας υπολογίσουμε το μέτρο των πλευρών AB και BC αυτού του τριγώνου, ως συνάρτηση του μέτρου b της πλευράς AC.

Με το νόμο των ημιτόνων, μπορούμε να δημιουργήσουμε την ακόλουθη σχέση:

Ως εκ τούτου, AB = 0,816b και BC = 1,115b.

Σημείωση: Ζητήθηκε η γνώμη των τιμών των ημιτονοειδών πίνακας τριγωνομετρικών αναλογιών. Σε αυτό, μπορούμε να βρούμε τις τιμές των γωνιών από 1º έως 90º κάθε τριγωνομετρικής συνάρτησης (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη).

Οι γωνίες 30º, 45º και 60º χρησιμοποιούνται περισσότερο σε υπολογισμούς τριγωνομετρίας. Ως εκ τούτου, ονομάζονται αξιοσημείωτες γωνίες. Δείτε έναν πίνακα με τις παρακάτω τιμές:

instagram story viewer

Τριγωνομετρικές σχέσεις	30°	45°	60°
Ημίτονο	1/2	√2/2	√3/2
συνημίτονο	√3/2	√2/2	1/2
Εφαπτομένος	√3/3	1	√3

Εφαρμογή του νόμου των αμαρτιών

Χρησιμοποιούμε τον ημιτονολογικό νόμο σε οξεία τρίγωνα, όπου οι εσωτερικές γωνίες είναι μικρότερες από 90º (οξεία). ή σε αμβλεία τρίγωνα, τα οποία έχουν εσωτερικές γωνίες μεγαλύτερες από 90º (αμβλεία). Σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε το Ο νόμος των συνημίτων.

Ο κύριος στόχος της χρήσης του νόμου των αμαρτιών ή των συνημίτων είναι η ανακάλυψη των μετρήσεων των πλευρών ενός τριγώνου και επίσης των γωνιών του.

Αναπαράσταση των τριγώνων σύμφωνα με τις εσωτερικές τους γωνίες

Και ο νόμος των αμαρτιών στο ορθογώνιο τρίγωνο;

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο νόμος των αμαρτιών χρησιμοποιείται τόσο σε οξεία όσο και σε αμβλεία τρίγωνα.

Στα σωστά τρίγωνα, σχηματισμένα με εσωτερική γωνία 90º (ευθεία), χρησιμοποιήσαμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών του: αντίθετη, παρακείμενη πλευρά και υποτείνουσα.

Αναπαράσταση του σωστού τριγώνου και των πλευρών του

Αυτό το θεώρημα έχει την ακόλουθη δήλωση: "το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών τους αντιστοιχεί στο τετράγωνο της υποτενούς τους". Ο τύπος του εκφράζεται:

Η² = περ²+ συν²

Έτσι, όταν έχουμε ένα σωστό τρίγωνο, το ημίτονο θα είναι η αναλογία μεταξύ του μήκους του αντίθετου ποδιού και του μήκους της υπότασης:

Διαβάζει αντίθετα στην υποτείνουσα.

Το συνημίτονο αντιστοιχεί στην αναλογία μεταξύ του μήκους του παρακείμενου σκέλους και του μήκους της υπότασης, που αντιπροσωπεύεται από την έκφραση:

Διαβάζεται δίπλα στην υποτείνουσα.

Ασκήσεις Εξετάσεων Είσοδος

1.(UFPB) Το δημαρχείο μιας συγκεκριμένης πόλης θα χτίσει, πάνω από ένα ποτάμι που διασχίζει αυτήν την πόλη, μια γέφυρα που πρέπει να είναι ευθεία και να συνδέει δύο σημεία, Α και Β, που βρίσκονται στις απέναντι όχθες του ποταμού. Για να μετρηθεί η απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων, ένας επιθεωρητής βρήκε ένα τρίτο σημείο, C, 200 μέτρα μακριά από το σημείο Α και στην ίδια όχθη του ποταμού με το σημείο A. Χρησιμοποιώντας ένα θεοδόλιχο (ένα όργανο ακριβείας για τη μέτρηση οριζόντιων γωνιών και κατακόρυφων γωνιών, που χρησιμοποιείται συχνά σε τοπογραφικές εργασίες), ο επιθεωρητής παρατήρησε ότι οι γωνίες B C με λογικό συνδυασμό superscript A space και space C A με λογικό συνδυασμό superscript B μετρούνται, αντίστοιχα, 30º και 105º, όπως απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα.

Με βάση αυτές τις πληροφορίες, είναι σωστό να δηλώνεται ότι η απόσταση, σε μέτρα, από το σημείο Α έως το σημείο Β είναι:

ένας σωστός χώρος παρένθεσης 200 τετραγωνική ρίζα του 2 τελικού χώρου της ρίζας β δεξί χώρος παρένθεσης 180 τετραγωνική ρίζα του 2 τελικού χώρου της ρίζας c παρένθεση δεξί διάστημα 150 τετραγωνική ρίζα 2 διαστήματος δεξί διάστημα παρενθέσεων 100 τετραγωνική ρίζα 2 διαστήματος και δεξί διάστημα παρενθέσεων 50 τετραγωνική ρίζα 2

Δείτε την απάντηση

R e s p o st a space c o r r e t a colon space d δεξιά παρένθεση διάστημα 100 τετραγωνική ρίζα του 2

σκοπός: Προσδιορίστε το μέτρο του AB.

Ιδέα 1 - Νόμος των αμαρτιών για τον προσδιορισμό του AB

Το σχήμα σχηματίζει τρίγωνο ABC, όπου το πλευρικό AC μετρά 200 μέτρα και έχουμε δύο καθορισμένες γωνίες.

είναι η γωνία Β με λογικό συνδυασμό απέναντι από το πλευρικό AC 200 m και τη γωνία C απέναντι από την πλευρά AB, μπορούμε να προσδιορίσουμε το AB μέσω του νόμος για τις αμαρτίες.

αριθμητής A B πάνω από τον παρονομαστή s και n διάστημα 30 μοιρών σύμβολο άκρο του κλασματικού χώρου ίσο με τον διαστημικό αριθμητή A C σχετικά με τον παρονομαστή s και n το διάστημα εκκίνησης στυλ show B με λογικό συνδυασμό τελικού στυλ τελικού γραμματοσειράς κλάσμα

Ο νόμος για τις αμαρτίες καθορίζει ότι οι λόγοι μεταξύ των μετρήσεων των πλευρών και των ημιτονοειδών των αντίθετων γωνιών, που αντιστοιχούν σε αυτές τις πλευρές, είναι ίσοι στο ίδιο τρίγωνο.

Ιδέα 2 - προσδιορίστε τη γωνία

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 °, έτσι μπορούμε να προσδιορίσουμε τη γωνία Β.

Β + 105 ° + 30 ° = 180 °
Β = 180 ° - 105 ° - 30 °
Β = 45 °

Αντικατάσταση της τιμής του Β με λογικό συνδυασμό στο νόμο των ημιτονοειδών και των υπολογισμών

αριθμητής A B διάστημα πάνω από τον παρονομαστή s και n διάστημα 30 μοίρες τέλος άκρο του κλάσματος χώρου ίσο με τον αριθμητικό χώρο A C πάνω από τον παρονομαστή διάστημα s και n διάστημα B άκρο του αριθμητή κλάσματος A διάστημα Β πάνω από τον παρονομαστή και διάστημα n σημάδι 30 μοίρες τέλος του χώρου κλάσματος ίσο με τον χώρο αριθμητή A C πάνω από τον χώρο παρονομαστή s e n διάστημα 45 μοιρών σύμβολο άκρο του αριθμητή κλάσματος A διάστημα Β πάνω από παρονομαστή στυλ έναρξης εμφάνιση 1 μισό τέλος στυλ στυλ τέλος κλάσματος ίσο με αριθμητικός χώρος A C πάνω από παρονομαστή space start style show αριθμητής τετραγωνική ρίζα 2 πάνω από παρονομαστής 2 τέλος κλάσματος τέλος στυλ στυλ τέλος κλάσματος 2 A B διάστημα ίσο με τον αριθμητή 2 A C πάνω από τετραγωνική ρίζα παρονομαστή του 2 άκρο του κλάσματος A B διάστημα ίσο με τον αριθμητή A C πάνω από τετραγωνική ρίζα παρονομαστή 2 τέλος του κλάσματος

Σημειώστε ότι υπάρχει μια τετραγωνική ρίζα σε έναν παρονομαστή. Ας πάρουμε αυτήν τη ρίζα κάνοντας τον εξορθολογισμό, ο οποίος είναι ο πολλαπλασιασμός τόσο του παρονομαστή όσο και του αριθμητή του κλάσματος από την ίδια τη ρίζα.

A Β διάστημα ίσο με τον αριθμητή A C πάνω από τον παρονομαστή τετραγωνική ρίζα του 2 άκρου του κλασματικού χώρου ίσο με τον αριθμητή χώρου A C διάστημα. τετραγωνική ρίζα χώρο 2 πάνω από τετραγωνική ρίζα παρονομαστή 2 διαστήματος. χώρος τετραγωνικής ρίζας 2 άκρου κλασματικού χώρου ίσου με τον αριθμητικό χώρο A C διάστημα. τετραγωνική ρίζα διαστήματος 2 πάνω από παρονομαστή τετραγωνική ρίζα 4 άκρο κλασματικού χώρου ίσο με τον αριθμητικό χώρο A C διάστημα. χώρο τετραγωνικής ρίζας 2 πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος

Αντικαθιστώντας την τιμή AC, έχουμε:

Διάστημα Β ίσο με τον αριθμητή χώρου 200 διάστημα. space τετραγωνική ρίζα 2 πάνω από παρονομαστή 2 άκρο κλασματικού χώρου ίσο με space 100 τετραγωνική ρίζα 2

Επομένως, η απόσταση μεταξύ των σημείων Α και Β είναι 100 τετραγωνική ρίζα χώρου 2 m .

2. (Mackenzie - SP) Τρία νησιά A, B και C εμφανίζονται σε χάρτη κλίμακας 1: 10000, όπως φαίνεται στην εικόνα. Από τις εναλλακτικές λύσεις, αυτή που προσεγγίζει καλύτερα την απόσταση μεταξύ των νησιών Α και Β είναι:

α) 2,3 χλμ
β) 2,1 χλμ
γ) 1,9 χλμ
δ) 1,4 χλμ
ε) 1,7 χλμ

Δείτε την απάντηση

Σωστή απάντηση: ε) 1,7 χλμ

Σκοπός: Για τον προσδιορισμό του μέτρου του τμήματος ΑΒ.

Ιδέα 1: Χρησιμοποιήστε τον ημιτονολογικό νόμο για να βρείτε το μέτρο του ΑΒ

Νόμος των αμαρτιών: Οι μετρήσεις των πλευρών ενός τριγώνου είναι ανάλογες με τα ημίτονα των αντίθετων γωνιών τους.

αριθμητής 12 πάνω από τον παρονομαστή s και n διάστημα 30 άκρο του κλασματικού χώρου ίσο με τον διαστημικό αριθμητή A B πάνω παρονομαστής space s και n space start style show C με λογικό συνδυασμό superscript end style end of κλάσμα χώρου

Ιδέα 2: προσδιορίστε τη γωνία

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Ιδέα 3: Εφαρμόστε την τιμή C στον νόμο των ημιτονοειδών

αριθμητής 12 πάνω από τον παρονομαστή s και n διάστημα 30 άκρο του κλασματικού χώρου ίσο με τον διαστημικό αριθμητή A B πάνω Ο παρονομαστής space s και n space start style δείχνουν 45 άκρο του στυλ τέλος του κλασματικού χώρου 12 space. space s και n space 45 space ίση με space A B space. space s και n space 30 12 space. τετραγωνική ρίζα αριθμητή διαστήματος 2 πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο κλασματικού χώρου ίσο με το διάστημα Α Β. διάστημα 1 μέση 6 τετραγωνική ρίζα 2 διαστημάτων ίση με τον αριθμητή A B πάνω από τον παρονομαστή 2 άκρο του κλάσματος 12 τετραγωνική ρίζα 2 διαστήματος ίσο με το διάστημα A B

Ιδέα 4: κατά προσέγγιση τιμή τετραγωνικής ρίζας και χρήση της κλίμακας

Κατασκευή τετραγωνική ρίζα 4 περίπου ίσου διαστήματος 1 κόμμα 4

12. 1,4 = 16,8

Η κλίμακα λέει 1: 10000, πολλαπλασιάζοντας:

16,8. 10000 = 168 000 εκ

Ιδέα 5: μετακίνηση από cm σε km

168 000 cm / 100 000 = 1,68 χλμ

Συμπέρασμα: Καθώς η υπολογιζόμενη απόσταση είναι 1,68 km, η πλησιέστερη εναλλακτική είναι το γράμμα e.

Σημείωση: Για να πάμε από cm σε km, διαιρούμε με 100 000 επειδή, στην ακόλουθη κλίμακα, από εκατοστά σε km, μετράμε 5 θέσεις προς τα αριστερά.

χιλιόμετρα -5- hm -4- φράγμα -3- m -2- dm -1- εκ χιλ

3. (Unifor-CE) Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρίγωνο το μέτρο κάθε πλευράς είναι άμεσα ανάλογο με το ημίτονο της γωνίας απέναντι από την πλευρά. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πληροφορίες, συνάγεται το συμπέρασμα ότι το μέτρο της πλευράς ΑΒ του τριγώνου που φαίνεται παρακάτω είναι: