Απόσταση μεταξύ δύο σημείων

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το μέτρο του τμήματος γραμμής που τα ενώνει.

Μπορούμε να υπολογίσουμε αυτό το μέτρο χρησιμοποιώντας την Αναλυτική Γεωμετρία.

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο αεροπλάνο

Στο αεροπλάνο, ένα σημείο προσδιορίζεται πλήρως γνωρίζοντας ένα ζεύγος ταξινομημένο (x, y) που σχετίζεται με αυτό.

Για να μάθουμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, θα τα αντιπροσωπεύσουμε αρχικά στο Καρτεσιανό επίπεδο και μετά θα υπολογίσουμε αυτήν την απόσταση.

Παραδείγματα:

1) Ποια είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου Α (1.1) και του σημείου Β (3.1);

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Ποια είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου Α (4.1) και του σημείου Β (1,3);

Σημειώστε ότι η απόσταση μεταξύ του σημείου Α και του σημείου Β είναι ίση με την υπόταση του δεξιού τριγώνου με τα πόδια 2 και 3.

Έτσι, θα χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των δεδομένων σημείων.

[επάλειψη)]² = 3² + 2² = √13

Τύπος απόστασης μεταξύ δύο σημείων στο αεροπλάνο

Για να βρούμε τον τύπο απόστασης, μπορούμε να γενικεύσουμε τον υπολογισμό που γίνεται στο παράδειγμα 2.

Για δύο σημεία, όπως το Α (x₁εε₁) και B (x₂γ₂), έχουμε:

Για να μάθετε περισσότερα, διαβάστε επίσης:

• επιπεδομετρία
• Καρτεσιανό σχέδιο
• ευθεία

Απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο διάστημα

Χρησιμοποιούμε ένα τρισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων για την αναπαράσταση σημείων στο διάστημα.

Ένα σημείο καθορίζεται πλήρως στο διάστημα όταν υπάρχει ένα ταξινομημένο τριπλό (x, y, z) που σχετίζεται με αυτό.

Για να βρούμε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο διάστημα, αρχικά μπορούμε να τα αντιπροσωπεύσουμε στο σύστημα συντεταγμένων και από εκεί, να κάνουμε τους υπολογισμούς.

Παράδειγμα:

Ποια είναι η απόσταση μεταξύ του σημείου Α (3,1.0) και του σημείου Β (1,2,0);

Σε αυτό το παράδειγμα, βλέπουμε ότι τα σημεία Α και Β ανήκουν στο επίπεδο xy.

Η απόσταση θα δοθεί από:

[επάλειψη)]² = 1² + 2² = √5

Τύπος της απόστασης μεταξύ δύο σημείων στο διάστημα

Για να μάθετε περισσότερα, διαβάστε επίσης:

• Χωρική Γεωμετρία
• Εξίσωση γραμμής
• Μαθηματικοί τύποι

Λύσεις ασκήσεις

1) Το σημείο A ανήκει στον άξονα της τετμημένης (άξονας x) και βρίσκεται σε απόσταση από τα σημεία B (3.2) και C (-3.4). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;

Δείτε την απάντηση

Καθώς το σημείο Α ανήκει στον άξονα της τετμημένης, τότε η συντεταγμένη του είναι (a, 0). Πρέπει λοιπόν να βρούμε την τιμή ενός.

(0 - 3)² + (έως - 2)² = (0 + 3)² + (έως -4)²
9 + έως² - 4α +4 = 9 + α² - 8ο + 16ο
4ο = 12
α = 3
(3.0) είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α.

2) Η απόσταση από το σημείο A (3, a) έως το σημείο B (0.2) είναι ίση με 3. Υπολογίστε την τιμή τεταγμένης α.

Δείτε την απάντηση

3² = (0 - 3)² + (2 - α)²
9 = 9 + 4 - 4α + α²
ο² - 4ο +4 = 0
α = 2

3) ENEM - 2013

Τα τελευταία χρόνια, η τηλεόραση έχει υποστεί μια πραγματική επανάσταση, όσον αφορά την ποιότητα της εικόνας, τον ήχο και τη διαδραστικότητα με τον θεατή. Αυτός ο μετασχηματισμός οφείλεται στη μετατροπή του αναλογικού σήματος στο ψηφιακό σήμα. Ωστόσο, πολλές πόλεις εξακολουθούν να μην διαθέτουν αυτήν τη νέα τεχνολογία. Επιδιώκοντας να φέρει αυτά τα οφέλη σε τρεις πόλεις, ένας τηλεοπτικός σταθμός σκοπεύει να κατασκευάσει έναν νέο πύργο μετάδοσης, ο οποίος στέλνει ένα σήμα στις κεραίες Α, Β και Γ, που υπάρχουν ήδη σε αυτές τις πόλεις. Οι θέσεις των κεραιών απεικονίζονται στο καρτεσιανό επίπεδο:

Ο πύργος πρέπει να βρίσκεται σε ίση απόσταση από τις τρεις κεραίες. Το κατάλληλο μέρος για την κατασκευή αυτού του πύργου αντιστοιχεί στο σημείο συντεταγμένων

α) (65; 35)
β) (53; 30)
γ) (45; 35)
δ) (50; 20)
ε) (50; 30)

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική ε: (50, 30)

Δείτε επίσης: απόσταση μεταξύ δύο σημείων ασκήσεις

4) ENEM - 2011

Σχεδιάστηκε μια γειτονιά μιας πόλης σε μια επίπεδη περιοχή, με παράλληλους και κάθετους δρόμους, οριοθετώντας μπλοκ του ίδιου μεγέθους. Στο ακόλουθο καρτεσιανό επίπεδο συντεταγμένων, αυτή η γειτονιά βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο και οι αποστάσεις στο
οι άξονες δίνονται σε χιλιόμετρα.

Η ευθεία γραμμή εξίσωσης y = x + 4 αντιπροσωπεύει τον σχεδιασμό της διαδρομής της υπόγειας γραμμής του μετρό που θα διασχίσει τη γειτονιά και άλλες περιοχές της πόλης.
Στο σημείο P = (-5,5), βρίσκεται ένα δημόσιο νοσοκομείο. Η κοινότητα ζήτησε από την επιτροπή σχεδιασμού να σχεδιάσει έναν σταθμό του μετρό, έτσι ώστε η απόσταση από το νοσοκομείο, μετρούμενη σε ευθεία γραμμή, να μην υπερβαίνει τα 5 χλμ.
Σε απάντηση στο αίτημα της κοινότητας, η επιτροπή ορθώς υποστήριξε ότι αυτό θα ικανοποιηθεί αυτόματα, καθώς είχε ήδη προβλεφθεί η κατασκευή ενός σταθμού στο σημείο.

α) (-5.0)
β) (-3.1)
γ) (-2.1)
δ) (0,4)
ε) (2.6)

Δείτε την απάντηση

Σωστή εναλλακτική β: (-3.1).

Δείτε επίσης: ασκήσεις αναλυτικής γεωμετρίας