Ο Πυθαγόρειο θεώρημα παραθέτει το μήκος των πλευρών του δεξιού τριγώνου. Αυτό το γεωμετρικό σχήμα σχηματίζεται από εσωτερική γωνία 90 °, που ονομάζεται ορθή γωνία.
Η δήλωση αυτού του θεωρήματος είναι:
"Το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών σας αντιστοιχεί στο τετράγωνο της υποτενούς σας."
Τύπος θεώρημα Pythagoras
Σύμφωνα με τη δήλωση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος, ο τύπος παρουσιάζεται ως εξής:
ο2 = β2 + γ2
Να εισαι,
ο: υπόταση
σι: κατατομή
ντο: κατατομή
Ο υποτείνουσα είναι η μεγαλύτερη πλευρά ενός δεξιού τριγώνου και η πλευρά απέναντι από τη σωστή γωνία. Οι άλλες δύο πλευρές είναι τα πόδια. Η γωνία που σχηματίζεται από αυτές τις δύο πλευρές έχει μέτρο ίσο με 90º (ορθή γωνία).
Προσδιορίσαμε επίσης τα πόδια, σύμφωνα με μια γωνία αναφοράς. Δηλαδή, η πλευρά μπορεί να ονομαστεί γειτονική ή αντίθετη πλευρά.
Όταν το πόδι είναι κοντά στη γωνία αναφοράς, καλείται γειτονικός, από την άλλη πλευρά, εάν είναι αντίθετη με αυτήν τη γωνία, καλείται απεναντι απο.
Ακολουθούν τρία παραδείγματα εφαρμογών του Πυθαγόρειου θεωρήματος στις μετρικές σχέσεις ενός σωστού τριγώνου.
Παράδειγμα 1: υπολογίστε το μέτρο της υποτενούς χρήσης
Εάν ένα δεξί τρίγωνο έχει 3 cm και 4 cm ως τα μέτρα των ποδιών, ποια είναι η υπόταση αυτού του τριγώνου;
Επομένως, οι πλευρές του δεξιού τριγώνου είναι 3 cm, 4 cm και 5 cm.
Παράδειγμα 2: υπολογίστε το μέγεθος ενός από τα πόδια
Προσδιορίστε το μέτρο ενός ποδιού που είναι μέρος ενός δεξιού τριγώνου, του οποίου η υπόταση είναι 20 cm και το άλλο πόδι μετρά 16 cm.
Επομένως, οι μετρήσεις των πλευρών του δεξιού τριγώνου είναι 12 cm, 16 cm και 20 cm.
Παράδειγμα 3: ελέγξτε αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο
Ένα τρίγωνο έχει πλευρές διαστάσεων 5 cm, 12 cm και 13 cm. Πώς ξέρετε αν είναι ένα σωστό τρίγωνο;
Για να αποδείξει ότι ένα σωστό τρίγωνο είναι αλήθεια, οι μετρήσεις των πλευρών του πρέπει να υπακούουν στο Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Καθώς τα μέτρα που λαμβάνονται ικανοποιούν το θεώρημα του Πυθαγόρα, δηλαδή, το τετράγωνο της υποτενούς χρήσης είναι ίσο με το άθροισμα του τετραγώνου των ποδιών, τότε μπορούμε να πούμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Διαβάστε επίσης: Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο
Πυθαγόρειο Τρίγωνο
Όταν μετρά τις πλευρές του α ορθογώνιο τρίγωνο είναι θετικοί ακέραιοι, το τρίγωνο ονομάζεται Πυθαγόρειο τρίγωνο.
Σε αυτήν την περίπτωση, τα πόδια και η υποτείνουσα ονομάζονται "Pythagorean suit" ή "Pythagorean trio". Για να ελέγξουμε αν τρεις αριθμοί σχηματίζουν ένα Πυθαγόρειο τρίο, χρησιμοποιούμε τη σχέση με2 = β2 + γ2.
Το πιο γνωστό Πυθαγόρειο τρίο αντιπροσωπεύεται από τους αριθμούς: 3, 4, 5. Η υποτείνουσα είναι ίση με 5, το μεγαλύτερο πόδι ίσο με 4 και το μικρότερο πόδι ίσο με 3.
Σημειώστε ότι η περιοχή των τετραγώνων που σχεδιάζονται σε κάθε πλευρά του τριγώνου σχετίζονται ακριβώς όπως το Το θεώρημα του Πυθαγόρα: η έκταση της πλατείας στη μεγάλη πλευρά αντιστοιχεί στο άθροισμα των περιοχών των άλλων δύο τετράγωνο.
Είναι ενδιαφέρον ότι τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών σχηματίζουν επίσης ένα Πυθαγόρειο κοστούμι. Για παράδειγμα, εάν πολλαπλασιάσουμε τα τρίο 3, 4 και 5 με 3, παίρνουμε τους αριθμούς 9, 12 και 15 που σχηματίζουν επίσης ένα Πυθαγόρειο κοστούμι.
Εκτός από τα κοστούμια 3, 4 και 5, υπάρχουν πολλά άλλα κοστούμια. Για παράδειγμα, μπορούμε να αναφέρουμε:
- 5, 12 και 13
- 7, 24, 25
- 20, 21 και 29
- 12, 35 και 37
Διαβάστε επίσης: Τριγωνομετρία στο ορθογώνιο τρίγωνο
Ποιος ήταν ο Πυθαγόρας;
σύμφωνα με την ιστορία Πυθαγόρας της Σάμου (570 α. ΝΤΟ. - 495 α. Γ.) Ήταν Έλληνας φιλόσοφος και μαθηματικός που ίδρυσε το Πυθαγόρειο Σχολείο, που βρίσκεται στη νότια Ιταλία. Ονομάζεται επίσης Πυθαγόρεια Εταιρεία, περιελάμβανε μελέτες στα Μαθηματικά, την Αστρονομία και τη Μουσική
Αν και οι μετρικές σχέσεις του σωστού τριγώνου ήταν ήδη γνωστές από τους Βαβυλώνιους, οι οποίοι έζησαν πολύ πριν από τον Πυθαγόρα, η πρώτη απόδειξη ότι αυτό το θεώρημα εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε δεξί τρίγωνο πιστεύεται ότι έχει γίνει από Πυθαγόρας.
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι ένα από τα πιο γνωστά, πιο σημαντικά και χρησιμοποιημένα θεωρήματα στα μαθηματικά. Είναι απαραίτητο για την επίλυση προβλημάτων στην αναλυτική γεωμετρία, τη γεωμετρία επιπέδων, τη χωρική γεωμετρία και την τριγωνομετρία.
Εκτός από το θεώρημα, άλλες σημαντικές συνεισφορές της Πυθαγόρειας Εταιρείας Μαθηματικών ήταν:
- Ανακάλυψη παράλογων αριθμών.
- Ιδιότητες ακέραιων ·
- MMC και MDC.
Διαβάστε επίσης: Μαθηματικοί τύποι
Αποδείξεις του Πυθαγόρειου Θεωρήματος
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να αποδειχθεί το θεώρημα του Πυθαγόρα. Για παράδειγμα, το βιβλίο Η Πυθαγόρεια πρόταση, που δημοσιεύθηκε το 1927, παρουσίασε 230 τρόπους για να το αποδείξει και μια άλλη έκδοση, που κυκλοφόρησε το 1940, αυξήθηκε σε 370 διαδηλώσεις.
Παρακολουθήστε το παρακάτω βίντεο και δείτε μερικές διαδηλώσεις του Πυθαγόρειου Θεωρήματος.
Σχολίασε ασκήσεις στο Πυθαγόρειο Θεώρημα
ερώτηση 1
(PUC) Το άθροισμα των τετραγώνων των τριών πλευρών ενός δεξιού τριγώνου ισούται με 32. Πόσο καιρό είναι η υποτελής χρήση του τριγώνου;
α) 3
β) 4
γ) 5
δ) 6
Σωστή εναλλακτική λύση: β) 4.
Από τις πληροφορίες της δήλωσης, γνωρίζουμε ότι το2 + β2 + γ2 = 32. Από την άλλη πλευρά, από το θεώρημα του Πυθαγόρα πρέπει να το κάνουμε2 = β2 + γ2 .
Αντικατάσταση της τιμής του b2+ γ2 από το2 στην πρώτη έκφραση, βρίσκουμε:
ο2 + το2 =32 ⇒ 2. ο2 = 32 ⇒ έως2 = 32/2 ⇒ έως2 = 16 ⇒ α = √ 16
α = 4
Για περισσότερες ερωτήσεις, δείτε: Θεώρημα του Πυθαγόρα - Ασκήσεις
Ερώτηση 2
(Και είτε)
Στο παραπάνω σχήμα, το οποίο αντιπροσωπεύει το σχεδιασμό μιας σκάλας με 5 σκαλοπάτια του ίδιου ύψους, το συνολικό μήκος του κιγκλιδώματος είναι ίσο με:
α) 1,9μ
β) 2.1μ
γ) 2,0μ
δ) 1,8μ
ε) 2.2μ
Σωστή εναλλακτική λύση: β) 2.1m.
Το συνολικό μήκος του χειρολισθήρα θα είναι ίσο με το άθροισμα των δύο τμημάτων μήκους ίσο με 30 cm με το τμήμα για το οποίο δεν γνωρίζουμε το μέτρο.
Μπορούμε να παρατηρήσουμε από το σχήμα ότι το άγνωστο τμήμα αντιπροσωπεύει την υπόταση ενός δεξιού τριγώνου, του οποίου το μέτρο ενός από τα πόδια είναι ίσο με 90 cm.
Για να βρούμε το μέτρο του άλλου σκέλους, πρέπει να προσθέσουμε το μήκος των 5 βημάτων. Επομένως, έχουμε b = 5. 24 = 120 εκ.
Για να υπολογίσουμε την υπόθεση, ας εφαρμόσουμε το θεώρημα του Πυθαγόρα σε αυτό το τρίγωνο.
ο2 = 902 + 1202 προς την2 = 8100 + 14 400 ⇒ έως2 = 22 500 ⇒ α = √ 22 500 = 150 εκ
Σημειώστε ότι θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδέα των Πυθαγόρειων στολών για τον υπολογισμό της υπότασης, καθώς τα πόδια (90 και 120) είναι πολλαπλάσια του κοστουμιού 3, 4 και 5 (πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με 30).
Με αυτόν τον τρόπο, το συνολικό μέτρο του κιγκλιδώματος θα είναι:
30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 μ
Δοκιμάστε τις γνώσεις σας με Ασκήσεις τριγωνομετρίας
ερώτηση 3
(UERJ) Ο Millôr Fernandes, σε ένα όμορφο αφιέρωμα στα Μαθηματικά, έγραψε ένα ποίημα από το οποίο εξάγουμε το παρακάτω κομμάτι:
Σε τόσα πολλά φύλλα ενός βιβλίου Μαθηματικών,
ένας Quotient ερωτεύτηκε μια μέρα άγρια
από έναν άγνωστο.
Την κοίταξε με το αναρίθμητο βλέμμα του
και την είδε από την κορυφή μέχρι τη βάση: μια περίεργη φιγούρα.
ρομβοειδή μάτια, τραπεζοειδές στόμα,
ορθογώνιο σώμα, σφαιροειδή στήθη.
Έκανε τη ζωή σου παράλληλη με τη δική της,
μέχρι να συναντηθούν στο Άπειρο.
"Ποιος είσαι?" - ρώτησε με ριζοσπαστικό άγχος.
«Είμαι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών.
Αλλά μπορείς να με καλέσεις υποθετική.”
(Μιλόρ Φερνάντες) Τριάντα χρόνια του εαυτού μου.)
Η ανώνυμη περιήγηση ήταν λάθος να πει ποιος ήταν. Για να συναντήσετε το Θεώρημα του Πυθαγόρα, πρέπει να κάνετε τα εξής
α) «Είμαι το τετράγωνο του αθροίσματος των ποδιών. Αλλά με καλέστε την πλατεία υπόνοιας. "
β) «Είμαι το άθροισμα των ποδιών. Αλλά μπορείς να με καλέσεις υποθετική. "
γ) «Είμαι το τετράγωνο του αθροίσματος των ποδιών. Αλλά μπορείς να με καλέσεις υποθετική. "
δ) «Είμαι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. Αλλά με καλέστε την πλατεία υπόνοιας. "
Εναλλακτική δ) «Είμαι το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. Αλλά με καλέστε την πλατεία υπόνοιας. "
Μάθετε περισσότερα για το θέμα:
- ισοσκελές τρίγωνο
- Sine, Cosine και Tangent
- Μαθηματικά στο Enem
