Η σχέση του Euler είναι μια ισότητα που συσχετίζει τον αριθμό των κορυφών, των ακμών και των όψεων στα κυρτά πολύεδρα. Λέει ότι ο αριθμός των όψεων συν τον αριθμό των κορυφών είναι ίσος με τον αριθμό των ακμών συν δύο.
Η σχέση Euler δίνεται από:
Που,
φά είναι ο αριθμός των προσώπων,
V τον αριθμό των κορυφών,
Ο τον αριθμό των άκρων.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση του Euler για να προσδιορίσουμε ή να επιβεβαιώσουμε άγνωστες τιμές των V, F ή A, όποτε το πολύεδρο είναι κυρτό.
| Πολύεδρο | φά | V | Ο | F+V | Α + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Κύβος | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| τριγωνική πυραμίδα | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Πρίσμα πενταγωνικής βάσης | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| κανονικό οκτάεδρο | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Παράδειγμα
Ένα κυρτό πολύεδρο έχει 20 όψεις και 12 κορυφές. Προσδιορίστε τον αριθμό των άκρων.
Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler και απομονώνοντας το A:
Αντικαθιστώντας τις τιμές των F και V:
Πρόσωπα, κορυφές και άκρες
Τα πολύεδρα είναι συμπαγή, τρισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα χωρίς στρογγυλεμένες πλευρές. Αυτές οι πλευρές είναι οι όψεις (F) του πολύεδρου.
Τη συνάντηση των όψεων, ονομάζουμε ακμές (Α).
Κορυφές είναι τα σημεία όπου συναντώνται τρεις ή περισσότερες ακμές.
κυρτά πολύεδρα
Τα κυρτά πολύεδρα είναι γεωμετρικά στερεά που δεν παρουσιάζουν κοιλότητα, επομένως, σε καμία από τις όψεις τους δεν υπάρχουν εσωτερικές γωνίες μεγαλύτερες από 180º.
Σε αυτό το πολύεδρο, η εσωτερική γωνία που σημειώνεται με μπλε έχει πάνω από 180º, επομένως δεν είναι ένα κυρτό πολύεδρο.
Δείτε περισσότερα για πολύεδρα.
Ασκήσεις για τη σχέση Euler
Ασκηση 1
Βρείτε τον αριθμό των όψεων σε ένα πολύεδρο με 9 ακμές και 6 κορυφές.
Σωστή απάντηση: 5 πρόσωπα.
Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Άσκηση 2
Το δωδεκάεδρο είναι ένα πλατωνικό στερεό με 12 όψεις. Γνωρίζοντας ότι έχει 20 κορυφές, προσδιορίστε τον αριθμό των ακμών του.
Σωστή απάντηση:
Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = Α
32 - 2 = Α
30 = Α
Άσκηση 3
Πώς ονομάζεται το πολύεδρο με 4 κορυφές και 6 ακμές σε σχέση με τον αριθμό των όψεών του, όπου οι όψεις είναι τρίγωνα;
Απάντηση: Τετράεδρο.
Πρέπει να προσδιορίσουμε τον αριθμό των προσώπων του.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Ένα πολύεδρο που έχει 4 όψεις σε μορφή τριγώνων ονομάζεται τετράεδρο.
Ποιος ήταν ο Leonhard Paul Euler;
Ο Leonhard Paul Euler (1707-1783) ήταν ένας από τους πιο ικανούς μαθηματικούς και φυσικούς στην ιστορία, καθώς και συνεισφορά σε σπουδές αστρονομίας. Γερμανόφωνος Ελβετός, ήταν καθηγητής φυσικής στην Ακαδημία Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης και αργότερα στην Ακαδημία του Βερολίνου. Έχει δημοσιεύσει αρκετές μελέτες για τα Μαθηματικά.
Μάθετε επίσης:
- Γεωμετρικά στερεά
- Χωρική Γεωμετρία
- Γεωμετρικά σχήματα
- Πρίσμα - Γεωμετρικό Σχήμα
- Πυραμίδα
- Πλακόστρωτο
- Κύβος
