Η εξίσωση της γραμμής μπορεί να προσδιοριστεί σχεδιάζοντας την στο καρτεσιανό επίπεδο (x, y). Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες δύο ξεχωριστών σημείων που ανήκουν στη γραμμή μπορούμε να προσδιορίσουμε την εξίσωση της.
Είναι επίσης δυνατό να οριστεί μια εξίσωση της ευθείας γραμμής με βάση την κλίση της και τις συντεταγμένες ενός σημείου που ανήκει σε αυτήν.
γενική εξίσωση της γραμμής
Δύο σημεία ορίζουν μια γραμμή. Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να βρούμε τη γενική εξίσωση της γραμμής ευθυγραμμίζοντας δύο σημεία με ένα γενικό σημείο (x, y) στη γραμμή.
Αφήστε τα σημεία A (xοεεο) και B (xσιεεσι), δεν συμπίπτει και ανήκει στο καρτεσιανό σχέδιο.
Τρία σημεία ευθυγραμμίζονται όταν ο καθοριστής της μήτρας που σχετίζεται με αυτά τα σημεία είναι ίσος με μηδέν. Πρέπει λοιπόν να υπολογίσουμε τον καθοριστικό παράγοντα του ακόλουθου πίνακα:
Αναπτύσσοντας τον καθοριστικό παράγοντα βρίσκουμε την ακόλουθη εξίσωση:
(εο -εσι) x + (xσι - Χο) y + xοεσι - Χσιεο = 0
Ας καλέσουμε:
a = (εο -εσι)
b = (xσι - Χο)
c = xοεσι - Χσιεο
Η γενική εξίσωση της ευθείας γραμμής ορίζεται ως:
ax + από + c = 0
Οπου ο, σι και ντο είναι σταθερά και ο και σι δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα μηδενικά.
Παράδειγμα
Βρείτε μια γενική εξίσωση της γραμμής που διέρχεται από τα σημεία A (-1, 8) και B (-5, -1).
Πρώτα πρέπει να γράψουμε την κατάσταση ευθυγράμμισης τριών σημείων, καθορίζοντας τη μήτρα που σχετίζεται με τα δεδομένα σημεία και ένα γενικό σημείο P (x, y) που ανήκει στη γραμμή.
Αναπτύσσοντας τον καθοριστικό παράγοντα, βρίσκουμε:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Η γενική εξίσωση της γραμμής που διέρχεται από τα σημεία A (-1,8) και B (-5, -1) είναι:
9x - 4y + 41 = 0
Για να μάθετε περισσότερα, διαβάστε επίσης:
- Αρχηγείο
- καθοριστικός
- Το θεώρημα του Laplace
Μείωση γραμμής εξίσωσης
Γωνιακός συντελεστής
Μπορούμε να βρούμε μια εξίσωση της γραμμής ρ γνωρίζοντας την κλίση του (κατεύθυνση), δηλαδή την τιμή της γωνίας θ που παρουσιάζει η γραμμή σε σχέση με τον άξονα x.
Για αυτό συνδέουμε έναν αριθμό Μ, που ονομάζεται κλίση της γραμμής, έτσι ώστε:
m = tg θ
η πλαγιά Μ Μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας δύο σημεία που ανήκουν στην ευθεία γραμμή.
Ως m = tg θ, τότε:
Παράδειγμα
Προσδιορίστε την κλίση της γραμμής r, η οποία διέρχεται από τα σημεία A (1,4) και B (2,3).
Να εισαι,
Χ1 = 1 και y1 = 4
Χ2 = 2 και y2 = 3
Γνωρίζοντας τον γωνιακό συντελεστή της γραμμής Μ και ένα σημείο Ρ0(Χ0εε0ανήκουν σε αυτό, μπορούμε να ορίσουμε την εξίσωση.
Για αυτό, θα αντικαταστήσουμε το γνωστό σημείο P στον τύπο κλίσης.0 και ένα γενικό σημείο P (x, y), που ανήκει επίσης στη γραμμή:
Παράδειγμα
Προσδιορίστε μια εξίσωση της γραμμής που διέρχεται από το σημείο Α (2,4) και έχει κλίση 3.
Για να βρείτε την εξίσωση της γραμμής, απλώς αντικαταστήστε τις δεδομένες τιμές:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
γραμμικός συντελεστής
ο γραμμικός συντελεστής όχι ευθεία ρ ορίζεται ως το σημείο όπου η γραμμή τέμνει τον άξονα y, δηλαδή το σημείο των συντεταγμένων P (0, n).
Χρησιμοποιώντας αυτό το σημείο, έχουμε:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (Μειωμένη εξίσωση γραμμής).
Παράδειγμα
Γνωρίζοντας ότι η εξίσωση της γραμμής r δίνεται από y = x + 5, προσδιορίστε την κλίση της, την κλίση της και το σημείο όπου η γραμμή τέμνει τον άξονα y.
Καθώς έχουμε τη μειωμένη εξίσωση της γραμμής, τότε:
m = 1
Όπου m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Το σημείο τομής της γραμμής με τον άξονα y είναι το σημείο P (0, n), όπου n = 5, τότε το σημείο θα είναι P (0,5)
Διαβάστε επίσης Υπολογισμός της κλίσης
Εξίσωση τμήματος γραμμής
Μπορούμε να υπολογίσουμε την κλίση χρησιμοποιώντας το σημείο A (a, 0) ότι η γραμμή τέμνει τον άξονα x και το σημείο B (0, b) που τέμνει τον άξονα y:
Λαμβάνοντας υπόψη το n = b και την αντικατάσταση σε μειωμένη μορφή, έχουμε:
Διαιρώντας όλα τα μέλη με ab, βρίσκουμε την τμηματική εξίσωση της γραμμής:
Παράδειγμα
Γράψτε, σε τμηματική μορφή, την εξίσωση της γραμμής που περνά από το σημείο Α (5.0) και έχει κλίση 2.
Αρχικά ας βρούμε το σημείο B (0, b), αντικαθιστώντας την έκφραση κλίσης:
Αντικαθιστώντας τις τιμές στην εξίσωση, έχουμε την τμηματική εξίσωση της γραμμής:
Διαβάστε επίσης:
- Καρτεσιανό σχέδιο
- Απόσταση μεταξύ δύο σημείων
- κωνικός
- ευθεία
- Παράλληλες γραμμές
- Κάθετες γραμμές
- Ευθύγραμμο τμήμα
- Γραμμική συνάρτηση
- Λειτουργία Affine
- Ασκήσεις σχετικής λειτουργίας
Λύσεις ασκήσεις
1) Δεδομένης της γραμμής που έχει την εξίσωση 2x + 4y = 9, προσδιορίστε την κλίση της.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Επομένως m = - 1/2
2) Γράψτε την εξίσωση της γραμμής 3x + 9y - 36 = 0 σε μειωμένη μορφή.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Για μια επιστημονική έκθεση, δύο βλήματα πυραύλων, Α και Β, κατασκευάζονται για να ξεκινήσουν. Το σχέδιο είναι να ξεκινήσουν μαζί, με σκοπό το βλήμα Β να υποκλέψει το Α όταν φτάσει στο μέγιστο ύψος του. Για να συμβεί αυτό, ένα από τα βλήματα θα περιγράψει μια παραβολική τροχιά, ενώ το άλλο θα περιγράψει μια υποτιθέμενη ευθεία τροχιά. Το γράφημα δείχνει τα ύψη που φτάνουν αυτά τα βλήματα ως συνάρτηση του χρόνου, στις προσομοιώσεις που πραγματοποιήθηκαν.
Με βάση αυτές τις προσομοιώσεις, παρατηρήθηκε ότι η τροχιά του βλήματος Β πρέπει να αλλάξει έτσι ώστε το
επιτεύχθηκε στόχος.
Για να επιτευχθεί ο στόχος, ο γωνιακός συντελεστής της γραμμής που αντιπροσωπεύει την τροχιά του Β πρέπει
α) μείωση κατά 2 μονάδες.
β) μείωση κατά 4 μονάδες.
γ) αύξηση κατά 2 μονάδες.
δ) αύξηση κατά 4 μονάδες.
ε) αύξηση κατά 8 μονάδες.
Πρώτα πρέπει να βρούμε την αρχική τιμή της κλίσης της γραμμής Β.
Υπενθυμίζοντας ότι m = tg Ɵ, έχουμε:
Μ1 = 12/6 = 2
Για να περάσει από το μέγιστο σημείο ύψους της τροχιάς του Α, η κλίση της γραμμής Β πρέπει να έχει την ακόλουθη τιμή:
Μ2 = 16/4 = 4
Έτσι, η κλίση της γραμμής Β θα πρέπει να αλλάξει από 2 σε 4, τότε θα αυξηθεί κατά 2 μονάδες.
Εναλλακτική γ: αύξηση 2 μονάδων
Δείτε επίσης: Ασκήσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας
