Ο εξίσωση δεύτερου βαθμού παίρνει το όνομά του επειδή είναι μια πολυωνυμική εξίσωση της οποίας ο όρος υψηλότερου βαθμού είναι τετράγωνος. Ονομάζεται επίσης τετραγωνική εξίσωση, αντιπροσωπεύεται από:
τσεκούρι2 + bx + c = 0
Σε μια εξίσωση 2ου βαθμού, το Χ είναι το άγνωστο και αντιπροσωπεύει μια άγνωστη τιμή. ήδη τους στίχους ο, σι και ντο ονομάζονται συντελεστές εξίσωσης.
Οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί και ο συντελεστής ο πρέπει να είναι διαφορετικό από το μηδέν, αλλιώς γίνεται εξίσωση 1ου βαθμού.
Επίλυση εξίσωσης δεύτερου βαθμού σημαίνει αναζήτηση πραγματικών τιμών Χ, που κάνουν την εξίσωση αληθινή. Αυτές οι τιμές ονομάζονται οι ρίζες της εξίσωσης.
Μια τετραγωνική εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες.
Πλήρεις και ελλιπείς εξισώσεις γυμνασίου
Εξισώσεις 2ου βαθμού πλήρης είναι εκείνοι που έχουν όλους τους συντελεστές, δηλαδή, a, b και c είναι διαφορετικοί από το μηδέν (a, b, c ≠ 0).
Για παράδειγμα, η εξίσωση 5x2 + 2x + 2 = 0 είναι πλήρες καθώς όλοι οι συντελεστές είναι μηδενικοί (a = 5, b = 2 και c = 2).
Μια τετραγωνική εξίσωση είναι ατελής όταν b = 0 ή c = 0 ή b = c = 0. Για παράδειγμα, η εξίσωση 2x2 = 0 είναι ελλιπής επειδή a = 2, b = 0 και c = 0
Λύσεις ασκήσεις
1) Προσδιορίστε τις τιμές του Χ που κάνουν την εξίσωση 4x2 - 16 = 0 αλήθεια.
Λύση:
Η δεδομένη εξίσωση είναι μια ατελής εξίσωση 2ου βαθμού, με b = 0. Για εξισώσεις αυτού του τύπου, μπορούμε να λύσουμε με την απομόνωση του Χ. Ετσι:
Σημειώστε ότι η τετραγωνική ρίζα του 4 μπορεί να είναι 2 και - 2, καθώς αυτοί οι δύο τετραγωνικοί αριθμοί έχουν ως αποτέλεσμα 4.
Έτσι, οι ρίζες της εξίσωσης 4x2 - 16 = 0 είναι x = - 2 και x = 2
2) Βρείτε την τιμή του x έτσι ώστε η περιοχή του ορθογωνίου παρακάτω να είναι ίση με 2.
Λύση:
Η περιοχή του ορθογωνίου βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας τη βάση με το ύψος. Πρέπει λοιπόν να πολλαπλασιάσουμε τις δεδομένες τιμές και να είναι ίσες με 2.
(x - 2). (x - 1) = 2
Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους:
Χ. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
Χ2 - 1x - 2x + 2 = 2
Χ2 - 3x + 2 - 2 = 0
Χ2 - 3x = 0
Μετά την επίλυση των πολλαπλασιασμών και των απλουστεύσεων, βρίσκουμε μια ελλιπή τετραγωνική εξίσωση, με c = 0.
Αυτός ο τύπος εξίσωσης μπορεί να λυθεί μέσω του παραγοντοποίηση, επειδή η Χ επαναλαμβάνεται και με τους δύο όρους. Άρα πρόκειται να το δείξουμε.
Χ. (x - 3) = 0
Για να είναι το προϊόν ίσο με μηδέν, είτε x = 0 ή (x - 3) = 0. Ωστόσο, αντικαθιστώντας Χ με μηδέν, οι πλευρικές μετρήσεις είναι αρνητικές, επομένως αυτή η τιμή δεν θα είναι η απάντηση στην ερώτηση.
Έχουμε λοιπόν ότι το μόνο πιθανό αποτέλεσμα είναι (x - 3) = 0. Επίλυση αυτής της εξίσωσης:
x - 3 = 0
x = 3
Με αυτόν τον τρόπο, η τιμή του Χ έτσι ώστε η περιοχή του ορθογωνίου να είναι ίση με 2 είναι x = 3.
Φόρμουλα Bhaskara
Όταν ολοκληρωθεί μια τετραγωνική εξίσωση, χρησιμοποιούμε το Φόρμουλα Bhaskara για να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης.
Ο τύπος παρουσιάζεται παρακάτω:
Τύπος Delta
Στη φόρμουλα της Bhaskara, εμφανίζεται το ελληνικό γράμμα Δ (δέλτα), που ονομάζεται διακριτική εξίσωση, επειδή σύμφωνα με την αξία της είναι δυνατόν να γνωρίζουμε τον αριθμό των ριζών που θα έχει η εξίσωση.
Για τον υπολογισμό του δέλτα χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:
Βήμα βήμα
Για να λύσουμε μια εξίσωση 2ου βαθμού, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bhaskara, πρέπει να ακολουθήσουμε αυτά τα βήματα:
1ο βήμα: Προσδιορίστε τους συντελεστές ο, σι και ντο.
Οι όροι της εξίσωσης δεν εμφανίζονται πάντα με την ίδια σειρά, επομένως είναι σημαντικό να γνωρίζετε πώς να προσδιορίσετε τους συντελεστές, ανεξάρτητα από την ακολουθία με την οποία βρίσκονται.
ο συντελεστής ο είναι ο αριθμός που πηγαίνει με το x2Ο σι είναι ο αριθμός που συνοδεύει το Χ είναι το ντο είναι ο ανεξάρτητος όρος, δηλαδή ο αριθμός που εμφανίζεται χωρίς το x.
2ο βήμα: Υπολογίστε το δέλτα.
Για τον υπολογισμό των ριζών είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την τιμή του δέλτα. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τα γράμματα στον τύπο με τις τιμές συντελεστή.
Μπορούμε, από την τιμή δέλτα, να γνωρίζουμε εκ των προτέρων τον αριθμό των ριζών που θα έχει η εξίσωση 2ου βαθμού. Δηλαδή, εάν η τιμή Δ είναι μεγαλύτερη από μηδέν (Δ > 0), η εξίσωση θα έχει δύο πραγματικές και ξεχωριστές ρίζες.
Αν αντίθετα, το δέλτα είναι μικρότερο από το μηδέν (Δ), η εξίσωση δεν θα έχει πραγματικές ρίζες και εάν είναι ίση με μηδέν (Δ = 0), η εξίσωση θα έχει μόνο μία ρίζα.
3ο βήμα: Υπολογίστε τις ρίζες.
Εάν η τιμή που βρέθηκε για το δέλτα είναι αρνητική, δεν χρειάζεται να κάνετε άλλους υπολογισμούς και η απάντηση είναι ότι η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Εάν η τιμή του δέλτα είναι ίση ή μεγαλύτερη από το μηδέν, πρέπει να αντικαταστήσουμε όλα τα γράμματα με τις τιμές τους στον τύπο του Bhaskara και να υπολογίσουμε τις ρίζες.
Η άσκηση λύθηκε
Προσδιορίστε τις ρίζες της εξίσωσης 2x2 - 3x - 5 = 0
Λύση:
Για να το λύσουμε αυτό, πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε τους συντελεστές, οπότε έχουμε:
α = 2
b = - 3
c = - 5
Τώρα μπορούμε να βρούμε την τιμή δέλτα. Πρέπει να είμαστε προσεκτικοί με τους κανόνες των σημείων και να θυμόμαστε ότι πρέπει να λύσουμε πρώτα την ενίσχυση και τον πολλαπλασιασμό, και μετά την προσθήκη και την αφαίρεση.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Καθώς η τιμή που βρέθηκε είναι θετική, θα βρούμε δύο διαφορετικές τιμές για τις ρίζες. Πρέπει λοιπόν να λύσουμε τη φόρμουλα της Bhaskara δύο φορές. Έτσι έχουμε:
Έτσι οι ρίζες της εξίσωσης 2x2 - 3x - 5 = 0 είναι x = 5/2 και x = - 1.
Σύστημα εξίσωσης 2ου βαθμού
Όταν θέλουμε να βρούμε τιμές δύο διαφορετικών αγνώστων που ικανοποιούν ταυτόχρονα δύο εξισώσεις, έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων.
Οι εξισώσεις που αποτελούν το σύστημα μπορεί να είναι του 1ου βαθμού και του 2ου βαθμού. Για να λύσουμε αυτό το είδος συστήματος μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο υποκατάστασης και τη μέθοδο προσθήκης.
Η άσκηση λύθηκε
Λύστε το παρακάτω σύστημα:
Λύση:
Για να λύσουμε το σύστημα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο προσθήκης. Σε αυτήν τη μέθοδο, προσθέτουμε παρόμοιους όρους από την 1η εξίσωση με αυτούς από τη 2η εξίσωση. Έτσι, μειώνουμε το σύστημα σε μία εξίσωση.
Μπορούμε ακόμα να απλοποιήσουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 3 και το αποτέλεσμα θα είναι η εξίσωση x2 - 2x - 3 = 0. Λύνοντας την εξίσωση, έχουμε:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
Αφού βρείτε τις τιμές x, ας μην ξεχνάμε ότι πρέπει να βρούμε τις τιμές y που κάνουν το σύστημα αληθινό.
Για να το κάνετε αυτό, απλώς αντικαταστήστε τις τιμές που βρέθηκαν για το x σε μία από τις εξισώσεις.
ε1 - 6. 3 = 4
ε1 = 4 + 18
ε1 = 22
ε2 - 6. (-1) = 4
ε2 + 6 = 4
ε2 = - 2
Επομένως, οι τιμές που ικανοποιούν το προτεινόμενο σύστημα είναι (3, 22) και (-1, - 2)
Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει Εξίσωση πρώτου βαθμού.
Γυμνάσια
ερώτηση 1
Λύστε την πλήρη τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bhaskara:
2χ2 + 7x + 5 = 0
Πρώτα απ 'όλα, είναι σημαντικό να παρατηρήσετε κάθε συντελεστή στην εξίσωση, επομένως:
α = 2
b = 7
c = 5
Μέσω του τύπου του διακριτικού της εξίσωσης, πρέπει να βρούμε την τιμή του Δ.
Αυτό θα βρείτε αργότερα τις ρίζες της εξίσωσης μέσω του γενικού τύπου ή του τύπου του Bhaskara:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Σημειώστε ότι εάν η τιμή Δ είναι μεγαλύτερη από μηδέν (Δ > 0), η εξίσωση θα έχει δύο πραγματικές και ξεχωριστές ρίζες.
Έτσι, αφού βρούμε το Δ, ας το αντικαταστήσουμε με τον τύπο της Bhaskara:
Επομένως, οι τιμές των δύο πραγματικών ριζών είναι: Χ1 = - 1 και Χ2 = - 5/2
Δείτε περισσότερες ερωτήσεις στο Εξίσωση Λυκείου - Ασκήσεις
Ερώτηση 2
Επίλυση ελλιπών εξισώσεων δεύτερου βαθμού:
α) 5x2 - x = 0
Πρώτον, αναζητούμε τους συντελεστές της εξίσωσης:
α = 5
b = - 1
c = 0
Είναι μια ελλιπής εξίσωση όπου c = 0.
Για να τον υπολογίσουμε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παραγοντοποίηση, η οποία σε αυτήν την περίπτωση βάζει αποδεικτικά στοιχεία x.
5χ2 - x = 0
Χ. (5x-1) = 0
Σε αυτήν την περίπτωση, το προϊόν θα είναι ίσο με μηδέν όταν x = 0 ή όταν 5x -1 = 0. Ας υπολογίσουμε λοιπόν την τιμή του x:
Έτσι, οι ρίζες της εξίσωσης είναι Χ1 = 0 και Χ2 = 1/5.
β) 2x2 – 2 = 0
α = 2
b = 0
c = - 2
Είναι μια ατελής εξίσωση δεύτερου βαθμού, όπου b = 0, ο υπολογισμός της μπορεί να γίνει με την απομόνωση του x:
Χ1 = 1 και x2 = - 1
Έτσι, οι δύο ρίζες της εξίσωσης είναι Χ1 = 1 και Χ2 = - 1
γ) 5χ2 = 0
α = 5
b = 0
c = 0
Σε αυτήν την περίπτωση, η ελλιπής εξίσωση παρουσιάζει συντελεστές b και c ίσους με μηδέν (b = c = 0):
Επομένως, οι ρίζες αυτής της εξίσωσης έχουν τις τιμές Χ1 = Χ2 = 0
Για να μάθετε περισσότερα, διαβάστε επίσης:
- Τετραγωνική λειτουργία
- Άθροισμα και προϊόν
- ανισότητα
- παράλογες εξισώσεις
- Κορυφή του Parabola
