Αριθμητικά σύνολα: φυσικό, ακέραιο, ορθολογικό, παράλογο και πραγματικό

Εσείς αριθμητικά σύνολα συγκεντρώνουν διάφορα σύνολα των οποίων τα στοιχεία είναι αριθμοί. Σχηματίζονται από φυσικούς, ακέραιους, ορθολογικούς, παράλογους και πραγματικούς αριθμούς. Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά αριθμητικά σύνολα είναι η θεωρία των συνόλων.

Δείτε παρακάτω τα χαρακτηριστικά του καθενός από αυτά, όπως έννοια, σύμβολο και υποσύνολα.

Σύνολο φυσικών αριθμών (N)

Το σύνολο των φυσικοί αριθμοί αντιπροσωπεύεται από Ν. Συγκεντρώνει τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε (συμπεριλαμβανομένου του μηδέν) και είναι άπειροι.

Υποσύνολα φυσικών αριθμών

• Ν * = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ή N * = N - {0}: σύνολα μη μηδενικών φυσικών αριθμών, δηλαδή, χωρίς μηδέν.
• Ν_Π = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, όπου n ∈ N: σύνολο ομοιόμορφων φυσικών αριθμών.
• Ν_Εγώ = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n + 1, ...}, όπου n ∈ N: σύνολο μονών φυσικών αριθμών.
• Π = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: σύνολο πρώτων φυσικών αριθμών.

Σύνολο ακεραίων (Z)

Το σύνολο των ολόκληροι αριθμοί αντιπροσωπεύεται από Ζ. Συγκεντρώνει όλα τα στοιχεία των φυσικών αριθμών (N) και τα αντίθετά τους. Έτσι, συνάγεται το συμπέρασμα ότι το Ν είναι ένα υποσύνολο του Ζ (N ⊂ Z):

Υποσύνολα ακέραιων αριθμών

• Ζ * = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ή Z * = Z - {0}: σύνολα μη μηδενικών ακεραίων, δηλαδή, χωρίς το μηδέν.
• Ζ₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: σύνολο ακέραιων και μη αρνητικών αριθμών. Σημειώστε ότι το Ζ₊ = Όχι.
• Ζ^*₊= {1, 2, 3, 4, 5, ...}: σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών χωρίς το μηδέν.
• Ζ _– = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: σύνολο μη θετικών ακέραιων αριθμών.
• Ζ^*_–= {..., –5, –4, –3, –2, –1}: σύνολο αρνητικών ακέραιων αριθμών χωρίς μηδέν.

Σύνολο λογικών αριθμών (Q)

Το σύνολο των ρητοί αριθμοί αντιπροσωπεύεται από Ερ. Συγκεντρώνει όλους τους αριθμούς που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή p / q, δηλαδή Π και τι ακέραιοι και q ≠ 0.

Q = {0, ± 1, ± 1/2, ± 1/3,..., ± 2, ± 2/3, ± 2/5,..., ± 3, ± 3/2, ± 3 / 4, ...}

Σημειώστε ότι κάθε ακέραιος αριθμός είναι επίσης ένας λογικός αριθμός. Έτσι το Z είναι ένα υποσύνολο του Q.

Υποσύνολα λογικών αριθμών

• Ε * = υποσύνολο των μη μηδενικών λογικών αριθμών, που σχηματίζεται από τους λογικούς αριθμούς χωρίς το μηδέν.
• Ερ₊ = υποσύνολο μη αρνητικών λογικών αριθμών, που σχηματίζεται από θετικούς λογικούς αριθμούς και μηδέν.
• Ερ^*₊ = υποσύνολο των θετικών λογικών αριθμών, που σχηματίζεται από τους θετικούς λογικούς αριθμούς, χωρίς το μηδέν.
• Ερ_– = υποσύνολο μη θετικών λογικών αριθμών, που σχηματίζεται από αρνητικούς λογικούς αριθμούς και μηδέν.
• Ε *_– = υποσύνολο αρνητικών λογικών αριθμών, σχηματισμένοι αρνητικοί λογικοί αριθμοί, χωρίς μηδέν.

Σύνολο παράλογων αριθμών (I)

Το σύνολο των παράλογοι αριθμοί αντιπροσωπεύεται από Εγώ. Συγκεντρώνει ανακριβείς δεκαδικούς αριθμούς με άπειρη, μη περιοδική αναπαράσταση, για παράδειγμα: 3.141592... ή 1.203040 ...

Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το περιοδικά δέκατα είναι λογικοί και όχι παράλογοι αριθμοί. Είναι δεκαδικά ψηφία που επαναλαμβάνονται μετά το κόμμα, για παράδειγμα: 1,3333333 ...

Σύνολο πραγματικών αριθμών (R)

Το σύνολο των πραγματικοί αριθμοί αντιπροσωπεύεται από Ρ. Αυτό το σύνολο σχηματίζεται από τους λογικούς (Q) και τους παράλογους (I) αριθμούς. Έτσι, έχουμε αυτό το R = Q ∪ I. Επιπλέον, τα N, Z, Q και I είναι υποσύνολα του R.

Αλλά σημειώστε ότι εάν ένας πραγματικός αριθμός είναι λογικός, δεν μπορεί να είναι παράλογος. Ομοίως, εάν είναι παράλογος, δεν είναι λογικός.

Υποσύνολα πραγματικών αριθμών

• Ρ^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: σύνολο μη μηδενικών πραγματικών αριθμών.
• Ρ₊= {x ∈ R│x ≥ 0}: σύνολο μη αρνητικών πραγματικών αριθμών.
• Ρ^*₊= {x ∈ R│x> 0}: σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών.
• Ρ_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: σύνολο μη θετικών πραγματικών αριθμών.
• Ρ^*_– = {x ∈ R│x

Διαβάστε επίσης Αριθμοί: τι είναι, ιστορία και σύνολα.

Αριθμητικά εύρη

Υπάρχει ακόμη και ένα υποσύνολο που σχετίζεται με πραγματικούς αριθμούς που ονομάζονται διαστήματα. είναι ο και σι πραγματικοί αριθμοί και σε πραγματικά διαστήματα:

ακραίο ανοιχτό εύρος:] a, b [= {x ∈ R│a

Κλειστό εύρος ακρών: [a, b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Ανοίξτε το εύρος προς τα δεξιά (ή αριστερά κλειστά) των άκρων: [a, b [= {x ∈ R│a ≤ x

αριστερή ανοιχτή εμβέλεια (ή κλειστά στα δεξιά) των άκρων:] a, b] = {x ∈ R│a

Ιδιότητες αριθμητικών συνόλων

Διάγραμμα αριθμητικών συνόλων

Για να διευκολυνθούν οι μελέτες σε αριθμητικά σύνολα, παρακάτω είναι μερικές από τις ιδιότητές τους:

• Το σύνολο των φυσικών αριθμών (N) είναι ένα υποσύνολο των ακεραίων: Z (N ⊂ Z).
• Το σύνολο των ακέραιων αριθμών (Z) είναι ένα υποσύνολο των λογικών αριθμών: (Z ⊂ Q).
• Το σύνολο λογικών αριθμών (Q) είναι ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών (R).
• Τα σύνολα φυσικών (N), ακέραιων (Z), ορθολογικών (Q) και παράλογων (I) αριθμών είναι υποσύνολα των πραγματικών αριθμών (R).

Εξετάσεις Ασκήσεις με Ανατροφοδότηση

1. (UFOP-MG) Όσον αφορά τους αριθμούς a = 0,49999... και b = 0,5, είναι σωστό να δηλώσετε:

α) b = α + 0,011111
β) α = β
ντο) ο είναι παράλογο και σι είναι λογικό
δίνει

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική b: a = b

2. (UEL-PR) Σημειώστε τους ακόλουθους αριθμούς:

ΕΓΩ. 2,212121...
ΙΙ. 3,212223...
III. π/5
IV. 3,1416
V. √– 4

Ελέγξτε την εναλλακτική που προσδιορίζει τους παράλογους αριθμούς:

α) I και II.
β) I και IV.
γ) II και III.
δ) II και V.
ε) III και V.

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτικές γ: II και III.

3. (Cefet-CE) Το σετ είναι ενιαίο:

α) {x ∈ Z│x b) {x ∈ Z│x² > 0}
γ) {x ∈ R│x² = 1}
δ) {x ∈ Q│x² ε) {x ∈ N│1

Δείτε την απάντηση

Εναλλακτική e: {x ∈ N│1

Διαβάστε επίσης:

• Ορισμός θεωρίας
• Σύνθετοι αριθμοί
• Λειτουργίες με σύνολα
• Ασκήσεις σε σύνολα
• Αριθμητικές ασκήσεις σετ
• Ασκήσεις σε σύνθετους αριθμούς