Ο θεωρία πιθανότητας είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που μελετά πειράματα ή τυχαία φαινόμενα και μέσω αυτού είναι δυνατή η ανάλυση των πιθανοτήτων ενός συγκεκριμένου συμβάντος.
Όταν υπολογίζουμε την πιθανότητα, συσχετίζουμε έναν βαθμό εμπιστοσύνης ότι τα πιθανά αποτελέσματα των πειραμάτων θα συμβούν, τα αποτελέσματα των οποίων δεν μπορούν να προσδιοριστούν εκ των προτέρων.
Έτσι, ο υπολογισμός πιθανότητας συσχετίζει την εμφάνιση ενός αποτελέσματος με μια τιμή που κυμαίνεται από 0 έως 1 και, όσο πιο κοντά είναι το αποτέλεσμα στο 1, τόσο μεγαλύτερη είναι η βεβαιότητα της εμφάνισής του.
Για παράδειγμα, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ένα άτομο να αγοράσει ένα εισιτήριο λαχείων που κερδίζει ή να γνωρίζει τις πιθανότητες ότι ένα ζευγάρι θα έχει 5 παιδιά, όλα τα αγόρια.
τυχαίο πείραμα
Ένα τυχαίο πείραμα είναι αυτό που δεν μπορεί να προβλέψει ποιο αποτέλεσμα θα βρεθεί πριν το πραγματοποιήσει.
Συμβάντα αυτού του είδους, όταν επαναλαμβάνονται υπό τις ίδιες συνθήκες, μπορούν να δώσουν διαφορετικά αποτελέσματα και αυτή η ασυνέπεια αποδίδεται στην τύχη.
Ένα παράδειγμα τυχαίου πειράματος είναι η κύλιση ενός αμερόληπτου καλουπιού (μήτρα που έχει ομοιογενή κατανομή μάζας) προς τα πάνω. Κατά την πτώση, δεν είναι δυνατό να προβλεφθεί με βεβαιότητα ποια από τις 6 όψεις θα βλέπει προς τα πάνω.
Τύπος πιθανότητας
Σε ένα τυχαίο φαινόμενο, οι πιθανότητες εμφάνισης ενός συμβάντος είναι εξίσου πιθανές.
Επομένως, μπορούμε να βρούμε την πιθανότητα ενός δεδομένου αποτελέσματος να διαιρείται με τον διαχωρισμό του αριθμού των ευνοϊκών γεγονότων και του συνολικού αριθμού πιθανών αποτελεσμάτων:
Να εισαι:
p (Α): πιθανότητα εμφάνισης ενός συμβάντος Α
στο): αριθμός περιπτώσεων που μας ενδιαφέρουν (γεγονός Α)
n (Ω): συνολικός αριθμός πιθανών περιπτώσεων
Παραδείγματα
1) Εάν ρίξουμε μια τέλεια μήτρα, ποια είναι η πιθανότητα να κυλήσει ένας αριθμός μικρότερος από 3;
Λύση
Ως η τέλεια μήτρα, και τα 6 πρόσωπα έχουν την ίδια πιθανότητα να πέσουν στραμμένα προς τα πάνω. Ας εφαρμόσουμε λοιπόν τον τύπο πιθανότητας.
Για αυτό, πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι έχουμε 6 πιθανές περιπτώσεις (1, 2, 3, 4, 5, 6) και ότι το συμβάν "από έναν αριθμό μικρότερο από 3" έχει 2 δυνατότητες, δηλαδή από τον αριθμό 1 ή τον αριθμό 2. Έχουμε λοιπόν:
2) Η τράπουλα των φύλλων αποτελείται από 52 φύλλα χωρισμένα σε τέσσερα κοστούμια (καρδιές, κλαμπ, διαμάντια και μπαστούνια) με 13 φύλλα κάθε χρώματος. Έτσι, εάν τραβάτε ένα φύλλο τυχαία, ποια είναι η πιθανότητα να βγείτε ένα φύλλο από το κοστούμι του κλαμπ;
Λύση
Όταν σχεδιάζουμε μια κάρτα τυχαία, δεν μπορούμε να προβλέψουμε ποια θα είναι αυτή η κάρτα. Αυτό είναι λοιπόν ένα τυχαίο πείραμα.
Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των καρτών αντιστοιχεί στον αριθμό των πιθανών περιπτώσεων και έχουμε 13 κλαμπ που αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των ευνοϊκών αγώνων.
Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο πιθανότητας, έχουμε:
Δείγμα χώρου
εκπροσωπείται από την επιστολή Ω, ο χώρος του δείγματος αντιστοιχεί στο σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων που λαμβάνονται από ένα τυχαίο πείραμα.
Για παράδειγμα, όταν παίρνετε τυχαία μια κάρτα από μια τράπουλα, ο χώρος του δείγματος αντιστοιχεί στις 52 κάρτες που απαρτίζουν αυτήν την τράπουλα.
Ομοίως, ο χώρος δειγματοληψίας κατά την κύλιση μιας μήτρας είναι οι έξι όψεις που το συνθέτουν:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 και 6}.
Τύποι εκδηλώσεων
Το συμβάν είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του δείγματος χώρου ενός τυχαίου πειράματος.
Όταν ένα συμβάν είναι ακριβώς το ίδιο με το δείγμα του χώρου, ονομάζεται a σωστό συμβάν. Αντίθετα, όταν το συμβάν είναι κενό, ονομάζεται a αδύνατο συμβάν.
Παράδειγμα
Φανταστείτε ότι έχουμε ένα κουτί με μπάλες από 1 έως 20 και ότι όλες οι μπάλες είναι κόκκινες.
Το συμβάν "draw a red ball" είναι ένα σίγουρο γεγονός, καθώς όλες οι μπάλες στο κουτί είναι αυτού του χρώματος. Το συμβάν "κλήρωση αριθμού μεγαλύτερο από 30" είναι αδύνατο, καθώς ο υψηλότερος αριθμός στο κουτί είναι 20.
Συνδυαστική ανάλυση
Σε πολλές περιπτώσεις, είναι δυνατόν να ανακαλύψετε άμεσα τον αριθμό των πιθανών και ευνοϊκών συμβάντων σε ένα τυχαίο πείραμα.
Ωστόσο, σε ορισμένα προβλήματα θα πρέπει να υπολογίσετε αυτές τις τιμές. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους παραλλαγής, διάταξης και συνδυασμού σύμφωνα με την κατάσταση που προτείνεται στην ερώτηση.
Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με το θέμα, μεταβείτε στη διεύθυνση:
- Συνδυαστική ανάλυση
- Ασκήσεις συνδυαστικής ανάλυσης
- Θεμελιώδης αρχή της μέτρησης
- Μετάθεση
Παράδειγμα
(EsPCEx - 2012) Η πιθανότητα λήψης ενός αριθμού διαιρούμενου με 2 στην τυχαία επιλογή μιας από τις παραλλαγές των ψηφίων 1, 2, 3, 4, 5 είναι
Λύση
Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να μάθουμε τον αριθμό των πιθανών συμβάντων, δηλαδή πόσους διαφορετικούς αριθμούς λαμβάνουμε αλλάζοντας τη σειρά των δεδομένων 5 ψηφίων (n = 5).
Καθώς, σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά των ψηφίων σχηματίζει διαφορετικούς αριθμούς, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο παραλλαγής. Επομένως, έχουμε:
Πιθανά γεγονότα:
Επομένως, με 5 ψηφία μπορούμε να βρούμε 120 διαφορετικούς αριθμούς.
Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα, πρέπει ακόμη να βρούμε τον αριθμό των ευνοϊκών γεγονότων που, σε αυτήν την περίπτωση, είναι να βρείτε έναν αριθμό διαιρούμενο με 2, ο οποίος θα συμβεί όταν το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι 2 ή 4.
Λαμβάνοντας υπόψη ότι για την τελευταία θέση έχουμε μόνο αυτές τις δύο δυνατότητες, τότε θα πρέπει να ανταλλάξουμε τις άλλες 4 θέσεις που αποτελούν τον αριθμό, όπως αυτό:
Ευνοϊκές εκδηλώσεις:
Η πιθανότητα θα βρεθεί κάνοντας:
Διαβάστε επίσης:
- Το τρίγωνο του Pascal
- Σύνθετοι αριθμοί
- Μαθηματικά στο Enem
Η άσκηση λύθηκε
1) PUC / RJ - 2013
Εάν a = 2n + 1 με n ∈ {1, 2, 3, 4}, τότε η πιθανότητα του αριθμού ο το να είσαι ζευγάρι είναι
έως 1
β) 0,2
γ) 0,5
δ) 0,8
ε) 0
Καθώς αντικαθιστούμε κάθε πιθανή τιμή n στην παράσταση για τον αριθμό a, παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα ένας περίεργος αριθμός.
Επομένως, το "να είσαι ένας ζυγός αριθμός" είναι ένα αδύνατο γεγονός. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα είναι ίση με το μηδέν.
Εναλλακτική: e) 0
2) UPE - 2013
Σε μια ομάδα μαθημάτων ισπανικών, τρία άτομα σκοπεύουν να κάνουν ένα πρόγραμμα ανταλλαγών στη Χιλή, και επτά στην Ισπανία. Μεταξύ αυτών των δέκα ατόμων, επιλέχθηκαν δύο για τη συνέντευξη που θα αντλήσει υποτροφίες για σπουδές στο εξωτερικό. Η πιθανότητα αυτά τα δύο επιλεγμένα άτομα να ανήκουν στην ομάδα εκείνων που σκοπεύουν να κάνουν ανταλλαγή στη Χιλή είναι
Αρχικά, ας βρούμε τον αριθμό των πιθανών καταστάσεων. Καθώς η επιλογή των 2 ατόμων δεν εξαρτάται από την παραγγελία, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο συνδυασμού για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των πιθανών περιπτώσεων, δηλαδή:
Υπάρχουν λοιπόν 45 τρόποι για να επιλέξετε 2 άτομα από μια ομάδα 10 ατόμων.
Τώρα, πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των ευνοϊκών γεγονότων, δηλαδή, τα δύο άτομα που τραβήχτηκαν θέλουν να κάνουν την ανταλλαγή στη Χιλή. Και πάλι θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο συνδυασμού:
Υπάρχουν λοιπόν 3 τρόποι για να επιλέξετε 2 άτομα από τα 3 που θέλουν να σπουδάσουν στη Χιλή.
Με τις τιμές που βρέθηκαν, μπορούμε να υπολογίσουμε την απαιτούμενη πιθανότητα αντικατάστασης στον τύπο:
Εναλλακτική: β)
Διαβάστε περισσότερα σχετικά με ορισμένα σχετικά θέματα:
- Διωνυμία του Νεύτωνα
- Ασκήσεις πιθανότητας (εύκολο)
- Ασκήσεις πιθανότητας
- Στατιστικός
- Στατιστικά - Ασκήσεις
- Μαθηματικοί τύποι
