Το mmc και το mdc αντιπροσωπεύουν, αντίστοιχα, το μικρότερο κοινό πολλαπλό και το μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη μεταξύ δύο ή περισσότερων αριθμών.
Μην χάσετε την ευκαιρία να ξεκαθαρίσετε όλες τις αμφιβολίες σας μέσω των σχολιασμένων και επιλυμένων ασκήσεων που παρουσιάζουμε παρακάτω.
Προτεινόμενες ασκήσεις
Ασκηση 1
Σε σχέση με τους αριθμούς 12 και 18, προσδιορίστε χωρίς να λάβετε υπόψη 1.
α) Οι διαιρέτες των 12.
β) Οι διαιρέτες των 18.
γ) Τα κοινά διαχωριστικά των 12 και 18.
δ) Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των 12 και 18.
α) 2, 3, 4, 6 και 12.
β) 2, 3, 6, 9, 18.
γ) 2, 3 και 6
δ) 6
Άσκηση 2
Υπολογίστε το MMC και το MDC μεταξύ 36 και 44.
Άσκηση 3
Σκεφτείτε έναν αριθμό x, φυσικό. Στη συνέχεια, ταξινομήστε τις δηλώσεις ως αληθείς ή ψευδείς και αιτιολογήστε.
α) Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των 24 και x μπορεί να είναι 7.
β) Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των 55 και 15 μπορεί να είναι 5.
α) Όχι, γιατί το 7 δεν είναι διαιρέτης των 24.
β) Ναι, καθώς το 5 είναι ένας κοινός διαιρέτης μεταξύ 55 και 15.
Άσκηση 4
Σε μια παρουσίαση για το λανσάρισμα του νέου αγωνιστικού αυτοκινήτου της ομάδας TodaMatéria, πραγματοποιήθηκε ένας ασυνήθιστος αγώνας. Συμμετείχαν τρία οχήματα: το αυτοκίνητο εκτόξευσης, το αυτοκίνητο της περασμένης σεζόν και ένα κανονικό επιβατικό αυτοκίνητο.
Το κύκλωμα είναι οβάλ, τα τρία ξεκίνησαν μαζί και κράτησαν σταθερές ταχύτητες. Το αυτοκίνητο εκκίνησης διαρκεί 6 λεπτά για να ολοκληρώσει έναν γύρο. Το αυτοκίνητο της προηγούμενης σεζόν διαρκεί 9 λεπτά για να ολοκληρώσει έναν γύρο και το επιβατικό αυτοκίνητο διαρκεί 18 λεπτά για να ολοκληρώσει έναν γύρο.
Μετά την έναρξη του αγώνα, πόσο καιρό θα χρειαστεί να περάσουν ξανά από το ίδιο σημείο εκκίνησης;
Για να προσδιορίσετε είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το mmc (6, 9, 18).
Έτσι πέρασαν από το ίδιο σημείο εκκίνησης 18 λεπτά αργότερα.
Άσκηση 5
Σε μια ζαχαροπλαστική, υπάρχουν ρολά πλέγματος διαστάσεων 120, 180 και 240 εκατοστών. Θα πρέπει να κόψετε το ύφασμα σε ίσα κομμάτια, όσο το δυνατόν μεγαλύτερο, και δεν μένει τίποτα. Ποιο θα είναι το μέγιστο μήκος κάθε ταινίας πλέγματος;
Για να προσδιορίσουμε, πρέπει να υπολογίσουμε το mdc (120.180.240).
Το μεγαλύτερο δυνατό μήκος, χωρίς προεξοχές, θα είναι 60 εκατοστά.
Άσκηση 6
Προσδιορίστε το MMC και το MDC από τους ακόλουθους αριθμούς.
α) 40 και 64
Σωστή απάντηση: mmc = 320 και mdc = 8.
Για να βρείτε mmc και mdc, η πιο γρήγορη μέθοδος είναι να διαιρέσετε τους αριθμούς ταυτόχρονα με τα μικρότερα δυνατά prime. Δες παρακάτω.
Σημειώστε ότι το mmc υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς που χρησιμοποιούνται στο factoring και το gcd υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς που χωρίζουν τους δύο αριθμούς ταυτόχρονα.
β) 80, 100 και 120
Σωστή απάντηση: mmc = 1200 και mdc = 20.
Η ταυτόχρονη αποσύνθεση των τριών αριθμών θα μας δώσει το mmc και mdc των παρουσιαζόμενων τιμών. Δες παρακάτω.
Η διαίρεση με τους πρώτους αριθμούς μας έδωσε το αποτέλεσμα των mmc πολλαπλασιάζοντας τους παράγοντες και mdc πολλαπλασιάζοντας τους παράγοντες που χωρίζουν τους τρεις αριθμούς ταυτόχρονα.
Άσκηση 7
Χρησιμοποιώντας την πρωταρχική παραγοντοποίηση, προσδιορίστε: ποιοι είναι οι δύο διαδοχικοί αριθμοί των οποίων το mmc είναι 1260;
α) 32 και 33
β) 33 και 34
γ) 35 και 36
δ) 37 και 38
Σωστή εναλλακτική λύση: γ) 35 και 36.
Πρώτον, πρέπει να συντελέσουμε τον αριθμό 1260 και να προσδιορίσουμε τους πρωταρχικούς παράγοντες.
Πολλαπλασιάζοντας τους παράγοντες, διαπιστώνουμε ότι οι διαδοχικοί αριθμοί είναι 35 και 36.
Για να το αποδείξουμε, ας υπολογίσουμε το mmc των δύο αριθμών.
Άσκηση 8
Θα πραγματοποιηθεί κυνήγι καθαριστή με μαθητές από τρία μαθήματα 6ης, 7ης και 8ης τάξης για να γιορτάσει την Ημέρα των Φοιτητών. Δείτε παρακάτω τον αριθμό των μαθητών σε κάθε τάξη.
| Τάξη | 6º | 7º | 8º |
| Αριθμός μαθητών | 18 | 24 | 36 |
Προσδιορίστε μέσω του mdc τον μέγιστο αριθμό μαθητών από κάθε τάξη που μπορούν να συμμετάσχουν στον διαγωνισμό ως μέρος μιας ομάδας.
Μετά από αυτό, απαντήστε: πόσες ομάδες μπορούν να σχηματιστούν από την 6η, 7η και 8η τάξη, αντίστοιχα, με τον μέγιστο αριθμό συμμετεχόντων ανά ομάδα;
α) 3, 4 και 5
β) 4, 5 και 6
γ) 2, 3 και 4
δ) 3, 4 και 6
Σωστή εναλλακτική λύση: δ) 3, 4 και 6.
Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, πρέπει να ξεκινήσουμε με την παραχώρηση των δεδομένων τιμών σε πρώτους αριθμούς.
Ως εκ τούτου, βρήκαμε τον μέγιστο αριθμό μαθητών ανά ομάδα και, με αυτόν τον τρόπο, κάθε τάξη θα έχει:
6ο έτος: 6/18 = 3 ομάδες
7ο έτος: 6/24 = 4 ομάδες
8ο έτος: 36/6 = 6 ομάδες
Οι εξετάσεις εισόδου επιλύθηκαν
ερώτηση 1
(Μαθητευόμενος Sailor - 2016) Ας A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) και y = mdc (A, B), τότε η τιμή του x + y είναι ίση με:
α) 460
β) 480
γ) 500
δ) 520
ε) 540
Σωστή εναλλακτική λύση: δ) 520.
Για να βρείτε την τιμή του αθροίσματος των x και y, είναι πρώτα απαραίτητο να βρείτε αυτές τις τιμές.
Με αυτόν τον τρόπο, θα συντελέσουμε τους αριθμούς σε πρωταρχικούς παράγοντες και στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τα mmc και mdc μεταξύ των δεδομένων αριθμών.
Τώρα που γνωρίζουμε την τιμή των x (mmc) και y (mdc), μπορούμε να βρούμε το άθροισμα:
x + y = 480 + 40 = 520
Εναλλακτική λύση: δ) 520
Ερώτηση 2
(Unicamp - 2015) Ο παρακάτω πίνακας ενημερώνει ορισμένες θρεπτικές αξίες για την ίδια ποσότητα δύο τροφών, Α και Β.
Εξετάστε δύο ισοκαλικές μερίδες (της ίδιας ενεργειακής τιμής) των τροφίμων Α και Β. Η αναλογία μεταξύ της ποσότητας πρωτεΐνης στο Α και της ποσότητας πρωτεΐνης στο Β είναι ίση με
α) 4.
β) 6.
γ) 8.
δ) 10.
Σωστή εναλλακτική λύση: γ) 8.
Για να βρούμε ισοκαλικές μερίδες τροφίμων Α και Β, ας υπολογίσουμε το mmc μεταξύ των αντίστοιχων ενεργειακών τιμών.
Έτσι, πρέπει να λάβουμε υπόψη την απαραίτητη ποσότητα κάθε τροφής για να λάβουμε τη θερμιδική αξία.
Λαμβάνοντας υπόψη το φαγητό Α, για να έχει θερμιδική τιμή 240 Kcal, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν οι αρχικές θερμίδες με 4 (60. 4 = 240). Για τα τρόφιμα Β, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστεί με 3 (80. 3 = 240).
Έτσι, η ποσότητα πρωτεΐνης στα τρόφιμα Α θα πολλαπλασιαστεί επί 4 και εκείνη στα τρόφιμα Β με 3:
Φαγητό Α: 6. 4 = 24 γρ
Τρόφιμα Β: 1. 3 = 3 γραμ
Έτσι, έχουμε ότι η αναλογία μεταξύ αυτών των ποσοτήτων θα δοθεί από:
Εναλλακτική λύση: γ) 8
ερώτηση 3
(UERJ - 2015) Στον παρακάτω πίνακα, αναφέρονται τρεις δυνατότητες για την τακτοποίηση n notebook σε πακέτα:
Εάν το n είναι μικρότερο από 1200, το άθροισμα των ψηφίων της μεγαλύτερης τιμής του n είναι:
α) 12
β) 17
γ) 21
δ) 26
Σωστή εναλλακτική λύση: β) 17.
Λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές που αναφέρονται στον πίνακα, έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Σημειώστε ότι αν προσθέσαμε 1 βιβλίο στην τιμή του n, δεν θα έχουμε πλέον υπόλοιπο στις τρεις καταστάσεις, καθώς θα σχηματίζαμε ένα άλλο πακέτο:
n + 1 = 12. x + 12
n + 1 = 20. x + 20
n + 1 = 18. x + 18
Έτσι, το n + 1 είναι ένα κοινό πολλαπλάσιο των 12, 18 και 20, οπότε αν βρούμε το mmc (το οποίο είναι το μικρότερο κοινό πολλαπλό), μπορούμε από εκεί να βρούμε την τιμή του n + 1.
Υπολογισμός του mmc:
Έτσι, η μικρότερη τιμή του n + 1 θα είναι 180. Ωστόσο, θέλουμε να βρούμε τη μεγαλύτερη τιμή n μικρότερη από 1200. Ας ψάξουμε λοιπόν ένα πολλαπλάσιο που πληροί αυτές τις προϋποθέσεις.
Για αυτό, ας πολλαπλασιάσουμε 180 έως ότου βρούμε την επιθυμητή τιμή:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (αυτή η τιμή είναι μεγαλύτερη από 1 200)
Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
η = 1079
Το άθροισμα των αριθμών του θα δοθεί από:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Εναλλακτική λύση: β) 17
Δείτε επίσης: MMC και MDC
ερώτηση 4
(Enem - 2015) Ένας αρχιτέκτονας ανακαινίζει ένα σπίτι. Προκειμένου να συμβάλει στο περιβάλλον, αποφασίζει να επαναχρησιμοποιήσει ξύλινες σανίδες που λαμβάνονται από το σπίτι. Διαθέτει 40 σανίδες διαστάσεων 540 cm, 30 με 810 cm και 10 με 1080 cm, όλα με το ίδιο πλάτος και πάχος. Ζήτησε από έναν ξυλουργό να κόψει τις σανίδες σε κομμάτια ίσου μήκους, χωρίς να φύγει υπολείμματα, και έτσι ώστε τα νέα κομμάτια ήταν όσο το δυνατόν μεγαλύτερα, αλλά μικρότερα σε μήκος ότι 2 μ.
Σε απάντηση στο αίτημα του αρχιτέκτονα, ο ξυλουργός πρέπει να παράγει
α) 105 τεμάχια.
β) 120 τεμάχια.
γ) 210 τεμάχια.
δ) 243 τεμάχια.
ε) 420 τεμάχια.
Σωστή εναλλακτική λύση: ε) 420 τεμάχια.
Καθώς τα κομμάτια καλούνται να έχουν το ίδιο μήκος και όσο το δυνατόν μεγαλύτερο, ας υπολογίσουμε το mdc (μέγιστος κοινός διαιρέτης).
Ας υπολογίσουμε το mdc μεταξύ 540, 810 και 1080:
Ωστόσο, η τιμή που βρέθηκε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, καθώς υπάρχει περιορισμός στο μήκος που είναι μικρότερο από 2 m.
Ας χωρίσουμε λοιπόν το 2,7 με το 2, καθώς η τιμή που θα βρεθεί θα είναι επίσης ένας κοινός διαιρέτης των 540, 810 και 1080, καθώς το 2 είναι ο μικρότερος κοινός πρωταρχικός παράγοντας αυτών των αριθμών.
Στη συνέχεια, το μήκος κάθε κομματιού θα είναι ίσο με 1,35 m (2,7: 2). Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε πόσα κομμάτια θα έχουμε για κάθε πίνακα. Για αυτό, θα κάνουμε:
5,40: 1,35 = 4 τεμάχια
8.10: 1.35 = 6 κομμάτια
10,80: 1,35 = 8 τεμάχια
Λαμβάνοντας υπόψη την ποσότητα κάθε πίνακα και προσθέτουμε, έχουμε:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 τεμάχια
Εναλλακτική λύση: ε) 420 τεμάχια
ερώτηση 5
(Enem - 2015) Ο διευθυντής ενός κινηματογράφου παρέχει ετησίως δωρεάν εισιτήρια στα σχολεία. Φέτος, 400 εισιτήρια θα διανεμηθούν για απογευματινή συνεδρία και 320 εισιτήρια για βραδινή συνεδρία της ίδιας ταινίας. Μπορούν να επιλεγούν πολλά σχολεία για να λάβουν εισιτήρια. Υπάρχουν ορισμένα κριτήρια για τη διανομή εισιτηρίων:
- κάθε σχολείο πρέπει να λάβει εισιτήρια για μία συνεδρία.
- όλα τα επιλέξιμα σχολεία πρέπει να λάβουν τον ίδιο αριθμό εισιτηρίων.
- δεν θα υπάρχουν εναπομείναντα εισιτήρια (δηλαδή όλα τα εισιτήρια θα διανεμηθούν).
Ο ελάχιστος αριθμός σχολείων που μπορούν να επιλεγούν για την απόκτηση εισιτηρίων, σύμφωνα με τα καθορισμένα κριτήρια, είναι
Α2.
β) 4.
γ) 9.
δ) 40.
ε) 80.
Σωστή εναλλακτική λύση: γ) 9.
Για να μάθουμε τον ελάχιστο αριθμό σχολείων, πρέπει να γνωρίζουμε τον μέγιστο αριθμό εισιτηρίων που μπορεί να λάβει κάθε σχολείο, λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι ίσος και στις δύο συνεδρίες.
Με αυτόν τον τρόπο, θα υπολογίσουμε το mdc μεταξύ 400 και 320:
Η τιμή mdc που βρίσκεται αντιπροσωπεύει τον μεγαλύτερο αριθμό εισιτηρίων που θα λάβει κάθε σχολείο, έτσι ώστε να μην υπάρχουν υπολείμματα.
Για να υπολογίσουμε τον ελάχιστο αριθμό σχολείων που μπορούν να επιλεγούν, πρέπει επίσης να διαιρέσουμε τον αριθμό των εισιτηρίων για κάθε συνεδρία με τον αριθμό των εισιτηρίων που θα λάβει κάθε σχολείο, οπότε έχουμε:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Επομένως, ο ελάχιστος αριθμός σχολείων θα είναι ίσος με 9 (5 + 4).
Εναλλακτική λύση: γ) 9.
ερώτηση 6
(Cefet / RJ - 2012) Ποια είναι η τιμή της αριθμητικής έκφρασης ?
α) 0,2222
β) 0,2323
γ) 0,2332
δ) 0,3222
Σωστή εναλλακτική λύση: α) 0,2222
Για να βρείτε την τιμή της αριθμητικής έκφρασης, το πρώτο βήμα είναι να υπολογίσετε το mmc μεταξύ των παρονομαστών. Ετσι:
Το mmc που βρίσκεται θα είναι ο νέος παρονομαστής των κλασμάτων.
Ωστόσο, για να μην αλλάξουμε την τιμή κλασμάτων, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την τιμή κάθε αριθμητή με το αποτέλεσμα της διαίρεσης του mmc με κάθε παρονομαστή:
Επίλυση της προσθήκης και της διαίρεσης, έχουμε:
Εναλλακτική λύση: α) 0,2222
ερώτηση 7
(EPCAR - 2010) Ένας αγρότης θα φυτέψει φασόλια σε ένα ίσιο κρεβάτι. Για αυτό, άρχισε να σημειώνει τα μέρη όπου θα φυτεύει τους σπόρους. Το παρακάτω σχήμα δείχνει τα σημεία που έχουν ήδη σημειωθεί από τον αγρότη και τις αποστάσεις, σε cm, μεταξύ τους.
Αυτός ο αγρότης στη συνέχεια σημείωσε άλλα σημεία μεταξύ των υπαρχόντων, έτσι ώστε η απόσταση ρε μεταξύ όλων ήταν το ίδιο και το μεγαλύτερο δυνατό. αν Χ αντιπροσωπεύει τον αριθμό των φορών της απόστασης ρε αποκτήθηκε από τον αγρότη, έτσι Χ είναι ένας αριθμός διαιρούμενος από
α) 4
β) 5
γ) 6
δ) 7
Σωστή εναλλακτική λύση: δ) 7.
Για να λύσουμε την ερώτηση, πρέπει να βρούμε έναν αριθμό που διαιρεί τους αριθμούς που παρουσιάζονται ταυτόχρονα. Καθώς ζητείται η απόσταση να είναι όσο το δυνατόν περισσότερο, θα υπολογίσουμε το mdc μεταξύ τους.
Με αυτόν τον τρόπο, η απόσταση μεταξύ κάθε σημείου θα είναι ίση με 5 cm.
Για να βρείτε πόσες φορές επαναλήφθηκε αυτή η απόσταση, ας διαιρέσουμε κάθε αρχικό τμήμα με 5 και προσθέστε τις τιμές που βρέθηκαν:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Ο αριθμός που βρέθηκε διαιρείται με 7, από 21,7 = 147
Εναλλακτική λύση: δ) 7
Δείτε επίσης: Πολλαπλά και διαχωριστικά
