Γνωρίζουμε ως πραγματικούς αριθμούς όλους τους λογικούς αριθμούς και παράλογος. Μελετώντας το αριθμητικά σύνολα, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι ακολουθούν τις ανάγκες και την ιστορία της ανθρωπότητας, τα αριθμητικά σύνολα είναι:
- σύνολο φυσικών αριθμών
- σύνολο αριθμού
- σύνολο λογικών αριθμών
- σύνολο παράλογων αριθμών
- σύνολο πραγματικών αριθμών
Εσείς οι πραγματικοί αριθμοί έχουν ιδιότητες όπως: συσχετιστικός, μεταγωγικός, ύπαρξη του ουδέτερου στοιχείου για προσθήκη και πολλαπλασιασμός, ύπαρξη ενός αντίστροφου στοιχείου στον πολλαπλασιασμό και διανομή τους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να αναπαρασταθεί στην πραγματική γραμμή - πώς να τα αντιπροσωπεύσετε με ομαλό τρόπο.
Διαβάστε επίσης: Τι είναι οι πρώτοι αριθμοί;
Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί;
Γνωρίζουμε ως πραγματικούς αριθμούς το σύνολο που σχηματίζεται από ένωση λογικών και παράλογων αριθμών. Είναι πολύ κοινό να δουλεύεις μαζί τους, αλλά το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν ήταν το πρώτο που εμφανίστηκε στην ιστορία.
φυσικοί αριθμοί
Ο πρώτο αριθμητικό σύνολο σχηματίστηκε από τους φυσικούς αριθμούς. Δημιουργήθηκαν από τη βασική ανάγκη των ανθρώπων να μετράνε και να μετράνε αντικείμενα της καθημερινής τους ζωής. Εσείς φυσικοί αριθμοί αυτοί είναι:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
ακέραιοι
Με την εξέλιξη της κοινωνίας, οι επιθυμίες του ανθρώπου άλλαζαν και το πρέπει να εργαστείτε με αρνητικούς αριθμούς. Λειτουργίες όπως το 4 - 6, οι οποίες, στο σύνολο των φυσικών αριθμών, δεν είχαν νόημα, άρχισαν να το κάνουν με την εμφάνιση αυτού του νέου σετ. Το σύνολο των ολόκληροι αριθμοί ήρθε με την προσθήκη αρνητικών αριθμών στο σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλαδή, είναι σχηματίζεται από τους φυσικούς αριθμούς και το αντίθετο από αυτούς.
Ζ = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
ρητοί αριθμοί
Αποδεικνύεται ότι, παρόλα αυτά, με την προσθήκη των αρνητικών αριθμών, το σύνολο ολόκληρων αριθμών δεν ήταν αρκετό, δεδομένου ότι το αρχαία Αίγυπτος, είναι πολύ κοινό να χρησιμοποιείτε αριθμούς που δεν είναι ακέραιοι. Τότε έγινε η ανάγκη τυποποίησης ενός νέου σετ: το σετ που σχηματίστηκε από όλους αριθμοί που μπορούν να αναπαρασταθούν από ένα κλάσμα είναι γνωστό ως λογικοί αριθμοί.
Σε αντίθεση με το σύνολο ολόκληρων αριθμών, στο λογικό Δεν είναι δυνατόν να γράψετε μια λίστα όρων με τους προκατόχους και τους διαδόχους τους, επειδή, λαμβάνοντας υπόψη τους λογικούς αριθμούς, θα υπάρχει πάντα ένας άλλος ρητός αριθμός μεταξυ τους. Για παράδειγμα, μεταξύ 1 και 2 υπάρχει 1,5. μεταξύ 1 και 1,5 υπάρχει 1,25. και ούτω καθεξής. Επομένως, για να αντιπροσωπεύσουμε τους λογικούς αριθμούς, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό:
Σε αυτόν τον συμβολισμό, ο λογικός αριθμός είναι αυτός που μπορεί να αντιπροσωπεύεται από το κλάσμα ο υπό σι, σε τι ο είναι ακέραιος και σι είναι ακέραιος μη μηδενικός.
Στο σύνολο των λογικών αριθμών, περιλαμβάνονται όλοι οι ακέραιοι που ήταν ήδη γνωστά, καθώς όλα μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, εκτός από τους ακριβείς δεκαδικούς αριθμούς και το περιοδικά δέκατα, ΘΕΤΙΚΟ και ΑΡΝΗΤΙΚΟ.
Δείτε επίσης: Τι είναι οι κανονικοί αριθμοί;
παράλογοι αριθμοί
Σε αντίθεση με τον ορισμό των λογικών αριθμών, υπάρχουν αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα. Μερικοί μαθηματικοί τους έχουν μελετήσει εγκαίρως, σε μια προσπάθεια να κάνουν αυτήν την αναπαράσταση, αλλά αυτό δεν είναι δυνατό. Αυτοί οι αριθμοί είναι οι μη περιοδικά δέκατα και το ρίζες όχι ακριβές, τα οποία καταλήγουν να δημιουργούν μη περιοδικά δέκατα ως αποτέλεσμα. Ο αριθμός π, για παράδειγμα, είναι ένας παράλογος αριθμός που είναι αρκετά κοινός στην καθημερινή ζωή. Το σύνολο των παράλογων αριθμών δεν είναι καταχωρήσιμο, όπως και οι λογικοί αριθμοί και αντιπροσωπεύεται από το γράμμα Εγώ.
Παραδείγματα:
- √2 → οι μη ακριβείς ρίζες είναι παράλογοι αριθμοί.
- -√5 → οι ρίζες δεν είναι ακριβείς ακόμη και αν οι αρνητικές είναι παράλογοι αριθμοί.
- 3.123094921… → τα μη περιοδικά δεκαδικά είναι παράλογοι αριθμοί.
πραγματικοί αριθμοί
Δεδομένου ότι όλοι οι φυσικοί και ακέραιοι αριθμοί θεωρούνται λογικοί, μέχρι στιγμής, οι αριθμοί μπορούν να είναι ταξινομούνται σε δύο μεγάλα σύνολα, το σύνολο λογικών αριθμών και το σύνολο αριθμών παράλογος. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι τίποτα περισσότερο από το ένωση λογικών και παράλογων αριθμών.
R = {Q U Ι}
Μέχρι στιγμής, όλοι οι αριθμοί που γνωρίζουμε ονομάζονται πραγματικοί αριθμοί.
Λειτουργίες με πραγματικούς αριθμούς
Οι πράξεις που περιλαμβάνουν πραγματικούς αριθμούς είναι εκείνες που είναι γνωστές για όλα τα προηγούμενα σύνολα αριθμών. Είναι αυτοί:
- πρόσθεση
- αφαίρεση
- διαίρεση
- πολλαπλασιασμός
- ενίσχυση
- ακτινοβολία
Για να εκτελέσετε οποιαδήποτε από αυτές τις λειτουργίες μεταξύ πραγματικών αριθμών, δεν υπάρχει διαφορά από τις λειτουργίες με προηγούμενους αριθμούς.
Επίσης, λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις λειτουργίες, είναι σημαντικό να τονιστεί αυτό υπάρχουν ιδιότητες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Ιδιότητες πραγματικών αριθμών
Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι οι ιδιότητες των πραγματικών αριθμών είναι συνέπειες του ορισμού του και είναι χρήσιμα για την εκτέλεση λειτουργιών. Είναι αυτοί:
- ύπαρξη ενός ουδέτερου στοιχείου για προσθήκη και πολλαπλασιασμό
- ανταλλακτική ιδιότητα
- συσχετιστική ιδιοκτησία
- επιμεριστική ιδιότητα
- ύπαρξη αντίστροφης
ουδέτερο στοιχείο
Είναι ο πραγματικός αριθμός.
Υπάρχει ένας αριθμός στον οποίο προστέθηκε ο, αποτελέσματα από μόνη της ο:
ο + 0 = ο
0 είναι το ουδέτερο στοιχείο του αθροίσματος..
Υπάρχει ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιάζεται με ο, αποτελέσματα από μόνη της Ο.
ο · 1 = ο
1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού.
Υπολογιστική ιδιότητα
Είναι ο και σι δύο πραγματικούς αριθμούς.
Σε προσθήκη ή πολλαπλασιασμό, η σειρά των αριθμών δεν θα αλλάξει το αποτέλεσμα.
ο + σι = σι + ο
α · β = β · α
συσχετιστική ιδιοκτησία
Είναι ο, σι και ντο πραγματικοί αριθμοί.
Τόσο στην προσθήκη όσο και στον πολλαπλασιασμό, οι δύο αριθμοί που λειτουργούν είναι αδιάφοροι με οποιαδήποτε σειρά.
(ο + σι) + ντο = ο + (σι + ντο)
(α · β) · Ç = ο· (προ ΧΡΙΣΤΟΥ)
επιμεριστική ιδιότητα
Είναι ο, σι και ντο πραγματικοί αριθμοί.
Η ιδιοκτησία διανομής δείχνει ότι το το προϊόν του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των προϊόντων.
ντο (α + β) = ca + cb
Ύπαρξη αντίστροφου
Είναι ο έναν μη μηδενικό πραγματικό αριθμό.
για κάθε πραγματικό αριθμό ο διαφορετικό από το μηδέν, υπάρχει ένας αριθμός που εισέρχεται το προϊόν ο και αυτός ο αριθμός είναι ίσος με 1.
αναπαράσταση στην ευθεία
Μπορούμε να αντιπροσωπεύσουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών σε μια γραμμή, αφού υπάρχει καλά καθορισμένη αρχή τάξης για αυτόν. Αυτή η αναπαράσταση στη γραμμή είναι γνωστή ως πραγματική γραμμή ή σχετικά μεείναι αριθμητικό και είναι αρκετά κοινό, ακόμη και στη μελέτη του Καρτεσιανού αεροπλάνου.
Επίσης πρόσβαση: Τι είναι το κλάσμα;
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Παρακαλώ κρίνετε τις ακόλουθες δηλώσεις:
I - Τα περιοδικά δεκαδικά είναι πραγματικοί αριθμοί.
II - Κάθε πραγματικός αριθμός είναι λογικός ή παράλογος.
III - Δεν είναι φυσιολογικός κάθε ακέραιος αριθμός.
Αναλύοντας τις δηλώσεις, μπορούμε να πούμε ότι:
Α) μόνο είμαι ψευδής.
Β) μόνο το II είναι ψευδές.
C) μόνο το III είναι ψευδές.
Δ) όλα είναι αλήθεια.
Ε) όλα είναι ψεύτικα.
Ανάλυση
Εναλλακτική Δ.
I - Αλήθεια, δεδομένου ότι τα δέκατα είναι παράλογοι αριθμοί, κατά συνέπεια, είναι πραγματικοί αριθμοί.
II - Αλήθεια, δεδομένου ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι η ένωση των πραγματικών και παράλογων αριθμών.
III - Σωστό, ως αρνητικοί αριθμοί, όπως -2 και -5, είναι ακέραιοι, αλλά όχι φυσικοί.
Ερώτηση 2 - Δείτε τις ακόλουθες ιδιότητες:
I - ανταλλακτική ιδιοκτησία
II - διανομή ιδιοκτησίας
III - Συνεργατική ιδιοκτησία
Αναλύστε τις ακόλουθες λειτουργίες και σημειώστε τις με τον αριθμό των αντίστοιχων ιδιοτήτων τους:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Ποια από τις εναλλακτικές λύσεις αντιστοιχεί στη σωστή σειρά ιδιοτήτων:
A) II - I - III - I
Β) I - III - III - II
Γ) III - II - III - III
Δ) II - I - III - II
Ε) II - III - II - I
Ανάλυση
Εναλλακτική Α.
1 - (II) Σε αυτήν την περίπτωση, η διανομή ιδιοκτησίας συνέβη, δεδομένου ότι σημειώθηκε ότι 3 πολλαπλασιάστηκαν με κάθε έναν από τους παράγοντες της λειτουργίας.
2 - (I) Σε αυτήν την περίπτωση, η σειρά των παραγόντων δεν αλλάζει το προϊόν, μεταγωγικότητα του πολλαπλασιασμού.
3 - (III) Έχουμε τη σχετική ιδιότητα, καθώς η σειρά με την οποία προστίθενται αυτά τα στοιχεία δεν αλλάζει το άθροισμα.
4 - (I) Εδώ έχουμε και πάλι τη μεταβλητότητα, καθώς η σειρά των δεμάτων δεν αλλάζει το άθροισμα.
