Σύνθετες ασκήσεις αριθμού: Λίστα επιλυμένων ερωτήσεων και σχολίων

Εσείς σύνθετοι αριθμοί να καταστεί δυνατή η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων που δεν έχουν λύσεις στο σύνολο των πραγματικοί αριθμοί.

Σε έναν σύνθετο αριθμό γραμμένο ως $\ dpi {120} z = a + bi$ , το λέμε αυτό $\ dpi {120} έως$ είναι το πραγματικό μέρος, $\ dpi {120} β$ είναι το φανταστικό μέρος και $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ είναι η φανταστική ενότητα.

Να εκτελέσει λειτουργίες με σύνθετους αριθμούς, υπάρχουν κάποιες εκφράσεις που διευκολύνουν τους υπολογισμούς. Σκεφτείτε $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ και $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Έκφραση προσθήκης μεταξύ σύνθετων αριθμών:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Έκφραση αφαίρεσης μεταξύ σύνθετων αριθμών:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Έκφραση πολλαπλασιασμού μεταξύ σύνθετων αριθμών:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (διαφήμιση + cb) i$

Έκφραση διαίρεσης μεταξύ σύνθετων αριθμών:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - διαφήμιση)} {c ^ 2 + d ^ 2 }Εγώ$

Παρακάτω είναι μια λίστα με οι ερωτήσεις λύθηκαν με ασκήσεις σε πολύπλοκους αριθμούς. Μάθετε να χρησιμοποιείτε καθεμία από τις έννοιες που περιλαμβάνουν αυτούς τους αριθμούς!

Δείκτης

Λίστα ασκήσεων σε σύνθετους αριθμούς
Επίλυση της ερώτησης 1
Επίλυση της ερώτησης 2
Ψήφισμα του ερωτήματος 3
Επίλυση της ερώτησης 4
Επίλυση της ερώτησης 5
Ψήφισμα της ερώτησης 6
Επίλυση της ερώτησης 7
Ψήφισμα της ερώτησης 8

Λίστα ασκήσεων σε σύνθετους αριθμούς

instagram story viewer

Ερώτηση 1. Λαμβάνοντας υπόψη τους σύνθετους αριθμούς $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ και $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ καθορίστε την τιμή του $\ dpi {120} Α$ , Πότε $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Ερώτηση 2. Βρείτε τις τιμές του $\ dpi {120} x$ και $\ dpi {120} ε$ έτσι $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Ερώτηση 3. Λαμβάνοντας υπόψη τους σύνθετους αριθμούς $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ και $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , προσδιορίστε την τιμή του $\ dpi {120} A \ cdot Β$ , Πότε $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ και $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Ερώτηση 4. Υπολογίστε την τιμή του $\ dpi {120} σελ$ και $\ dpi {120} q$ για τι $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Πότε $\ dpi {120} z_1 = 3 - π$ και $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Ερώτηση 5. Προσδιορίστε την τιμή του $\ dpi {120} έως$ για τι $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ να είναι ένας καθαρός φανταστικός αριθμός.

Ερώτηση 6. Υπολογίστε τις ακόλουθες φανταστικές δυνάμεις μονάδας $\ dpi {120} θ$ :

Ο) $\ dpi {120} i ^ {16}$
ΣΙ) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ντο) $\ dpi {120} i ^ {829}$
ρε) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Ερώτηση 7. Βρείτε τη λύση στην εξίσωση $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ στο σύνολο των σύνθετων αριθμών.

Ερώτηση 8. Προσδιορίστε τη λύση της εξίσωσης $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ στο σύνολο των σύνθετων αριθμών.

Επίλυση της ερώτησης 1

Εχουμε $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ και $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ και $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ και θέλουμε να προσδιορίσουμε την τιμή του $\ dpi {120} Α$ , Πότε $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Πρώτα, ας υπολογίσουμε $\ dpi {120} 4z_3$ και $\ dpi {120} 3z_1$ , ξεχωριστά:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Τώρα ας υπολογίσουμε $\ dpi {120} Α$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Επίλυση της ερώτησης 2

Θέλουμε να βρούμε x και y έτσι $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Με την έκφραση του αθροίσματος μεταξύ δύο σύνθετων αριθμών, πρέπει:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Πρέπει λοιπόν να έχουμε $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ και $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Ας λύσουμε αυτές τις δύο εξισώσεις για να βρούμε x και y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Ψήφισμα του ερωτήματος 3

Εχουμε $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ και $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ και θέλουμε να προσδιορίσουμε την τιμή του $\ dpi {120} A \ cdot Β$ , Πότε $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ και $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Πρώτα, υπολογίζουμε $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Με την έκφραση του πολλαπλασιασμού μεταξύ δύο πολύπλοκων αριθμών, πρέπει:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Τώρα ας υπολογίσουμε $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Ως εκ τούτου, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Επίλυση της ερώτησης 4

Θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή του $\ dpi {120} σελ$ και $\ dpi {120} q$ για τι $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Πότε $\ dpi {120} z_1 = 3 - π$ και $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Σημαίνει εύρεση $\ dpi {120} σελ$ και $\ dpi {120} q$ έτσι ώστε:

Δείτε μερικά δωρεάν μαθήματα

Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα εκπαίδευσης χωρίς αποκλεισμούς
Δωρεάν online βιβλιοθήκη παιχνιδιών και μάθημα εκμάθησης
Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα μαθηματικών μαθημάτων στην παιδική ηλικία
Δωρεάν διαδικτυακό μάθημα παιδαγωγικών πολιτιστικών εργαστηρίων

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Με την έκφραση της διαίρεσης μεταξύ δύο πολύπλοκων αριθμών, πρέπει:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Συμμετέχοντας στις δύο προϋποθέσεις, πρέπει να έχουμε:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Δηλαδή:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Ας λύσουμε καθεμία από αυτές τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη που εξαρτάται μόνο από το p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Τώρα, βρίσκουμε το q με την άλλη εξίσωση:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Επίλυση της ερώτησης 5

Θέλουμε να βρούμε την αξία του $\ dpi {120} έως$ για τι $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ να είναι ένας καθαρός φανταστικός αριθμός.

Ένας καθαρός φανταστικός αριθμός είναι αυτός του οποίου το πραγματικό μέρος είναι μηδέν.

Λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση της διαίρεσης μεταξύ δύο πολύπλοκων αριθμών, έχουμε ότι:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - α \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Για να είναι αυτός ο αριθμός καθαρός φανταστικός, πρέπει να έχουμε:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Δεξί βέλος a = -2$

Ψήφισμα της ερώτησης 6

Ορίζοντας τις δυνάμεις και τους πολύπλοκους αριθμούς πρέπει:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Παρατηρήστε ένα μοτίβο που επαναλαμβάνεται κάθε τέσσερις διαδοχικές δυνάμεις: 1, i, -1 και -i.

Έτσι, για να βρείτε το αποτέλεσμα σε οποιαδήποτε ισχύ του i, απλώς διαιρέστε τον εκθέτη με το 4. Το υπόλοιπο τμήμα θα είναι 0, 1, 2 ή 3 και αυτή η τιμή θα είναι ο εκθέτης που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε.

Ο) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 και το υπόλοιπο είναι 0.

Επειτα, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .