Περιοχή πρίσματος: τρόπος υπολογισμού, παραδείγματα, ασκήσεις

πρίσματα είναι τρισδιάστατα σχήματα που σχηματίζονται από δύο σύμφωνες και παράλληλες βάσεις, οι βάσεις, με τη σειρά τους, σχηματίζονται από κυρτά πολύγωνα. Τα άλλα πρόσωπα που ονομάζονται πλευρικές όψεις σχηματίζονται από παραλληλόγραμμα. Για να προσδιορίσετε την περιοχή ενός πρίσματος, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε το σχεδίαση και στη συνέχεια υπολογίστε την περιοχή της επίπεδης εικόνας.

Διαβάστε επίσης: Διαφορές μεταξύ επίπεδων και χωρικών μορφών

Σχεδιάζοντας ένα πρίσμα

Η ιδέα του σχεδιασμού είναι να μετατρέψει μια τρισδιάστατη φιγούρα σε α δισδιάστατη φιγούρα. Στην πράξη θα ήταν το ισοδύναμο της κοπής των άκρων του πρίσματος. Ακολουθεί ένα παράδειγμα σχεδιασμού ενός τριγωνικού πρίσματος.

Η ίδια διαδικασία μπορεί να υιοθετηθεί για κάθε πρίσμαΩστόσο, σημειώστε ότι καθώς αυξάνουμε τον αριθμό των πλευρών των βασικών πολυγώνων, η εργασία γίνεται όλο και πιο δύσκολη. Για αυτόν τον λόγο, θα κάνουμε γενικεύσεις βάσει του σχεδιασμού αυτού πολύγωνο.

Υπολογισμός της πλευρικής περιοχής

Παρατηρώντας την εικόνα του τριγωνικού πρίσματος, έχουμε ότι τα παραλληλόγραμμα ABFC, ABFD και ACDE είναι τα

πλαϊνά πρόσωπα. Σημειώστε ότι το Οι πλευρικές όψεις ενός πρίσματος θα είναι πάντα παραλληλόγραμμα ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών των βασικών πολυγώνων, αυτό συμβαίνει επειδή είναι παράλληλα και ομοιόμορφα.

Κοιτάζοντας το τριγωνικό σχήμα του πρίσματος, βλέπουμε επίσης ότι έχουμε τρία πλευρικά πρόσωπα. Αυτό συμβαίνει λόγω του αριθμού των πλευρών του βασικού πολυγώνου, δηλαδή, εάν οι βάσεις του πρίσματος είναι τετράπλευρες, θα έχουμε τέσσερις πλευρικές όψεις, εάν οι βάσεις είναι ένα πεντάγωνο, θα έχουμε πέντε πλευρικές όψεις, και ούτω καθεξής. Ετσι: Ο αριθμός πλευρών του βασικού πολυγώνου επηρεάζει τον αριθμό των πλευρικών όψεων του πρίσματος.

Επομένως, ο πλευρική περιοχή (Α_μεγάλο) οποιουδήποτε πρίσματος δίνεται από την περιοχή μιας πλευρικής όψης πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό των πλευρικών όψεων, δηλαδή είναι η περιοχή του παραλληλόγραμμου πολλαπλασιαζόμενη με τον αριθμό των πλευρών του προσώπου.

Ο_μεγάλο = (βάση · ύψος) · αριθμός πλευρών του προσώπου

• Παράδειγμα

Υπολογίστε την πλευρική περιοχή ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος με ακμή βάσης ίση με 3 cm και ύψος ίσο με 11 cm.

Το εν λόγω πρίσμα αντιπροσωπεύεται από:

Στη συνέχεια, η πλευρική περιοχή υπολογίζεται από την περιοχή του ορθογωνίου επί τον αριθμό των πλευρών του βασικού πολυγώνου, που είναι 6, έτσι:

Ο_μεγάλο = (βάση · ύψος) · αριθμός πλευρών του προσώπου

Ο_μεγάλο = (3 · 11) · 6

Ο_μεγάλο = 198 εκ²

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)

Υπολογισμός της βασικής έκτασης

Τα πρίσματα μπορούν να έχουν διαφορετικά σχήματα.

Ο βασική έκταση (Ο_σι) ενός πρίσματος εξαρτάται από το πολύγωνο που το συνθέτει. Όπως σε ένα πρίσμα έχουμε δύο παράλληλες και σύμφωνες όψεις, η βασική περιοχή δίνεται από το άθροισμα των περιοχών των παράλληλων πολυγώνων, δηλαδή διπλάσια από την περιοχή του πολυγώνου.

Ο_σι = 2 · περιοχή πολυγώνου

Διαβάστε επίσης:Επίπεδες περιοχές

• Παράδειγμα

Υπολογίστε την επιφάνεια βάσης ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος με ακμή βάσης ίση με 3 cm και ύψος ίσο με 11 cm.

Η βάση αυτού του πρίσματος είναι ένα κανονικό εξάγωνο, και αυτό, που φαίνεται από ψηλά, μοιάζει με:

Σημειώστε ότι το τρίγωνα σχηματίζονται μέσα στο εξάγωνο είναι ισόπλευρα, έτσι η περιοχή του εξαγώνου δίνεται από έξι φορές το ισόπλευρη περιοχή τριγώνου.

Ωστόσο, παρατηρήστε ότι, στο πρίσμα, έχουμε δύο εξάγωνα, οπότε η περιοχή βάσης είναι διπλάσια από την περιοχή του πολυγώνου.

Υπολογισμός της συνολικής έκτασης

Ο συνολική έκταση (Α_Τ) ενός πρίσματος δίνεται από το άθροισμα της πλευρικής περιοχής (Ο_μεγάλο) με τη βασική έκταση (Ο_σι).

Ο_Τ = Α_μεγάλο + Α_σι

• Παράδειγμα

Υπολογίστε τη συνολική επιφάνεια ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος με ακμή βάσης ίση με 3 cm και ύψος ίσο με 11 cm.

Από τα προηγούμενα παραδείγματα, έχουμε αυτό το Α_μεγάλο = 198 εκ² και το_σι = 27√3 εκ². Επομένως, η συνολική έκταση δίνεται από:

λύσεις ασκήσεις

ερώτηση 1 - Ένα υπόστεγο έχει σχήμα πρίσματος που βασίζεται σε τραπεζάκι, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Θέλετε να βάψετε αυτό το υπόστεγο και είναι γνωστό ότι η τιμή του χρώματος είναι 20 reais ανά τετραγωνικό μέτρο. Πόσο θα κοστίσει η βαφή αυτού του υπόστεγου; (Δεδομένα: √2 = 1.4)

Λύση

Αρχικά, ας προσδιορίσουμε την περιοχή του υπόστεγου. Η βάση του είναι τραπεζοειδής, έτσι:

Επομένως, η βασική έκταση είναι:

Ο_σι = 2 · Α_{τραπέζιο}

Ο_σι = 2 ·10

Ο_σι = 20 μ²

Η πλευρική περιοχή με κόκκινο χρώμα είναι ορθογώνιο και έχουμε τον πυθμένα, οπότε αυτή η περιοχή είναι:

Ο_Β = 2 · 4· 14

Ο_Β= 112 μ²

Η περιοχή με μπλε χρώμα είναι επίσης ορθογώνιο, αλλά δεν έχουμε τη βάση του. Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο που σχηματίζεται από το τραπεζοειδές, έχουμε:

Χ² = 2² + 2²

Χ² = 8

x = 2√2

Έτσι η ορθογώνια περιοχή με μπλε χρώμα είναι:

Ο_Ο = 2 ·14·2√2

Ο_Ο = 54√2 μ²

Επομένως, η πλευρική περιοχή του πρίσματος είναι ίση με:

Ο_μεγάλο = 112 + 54√2

Ο_μεγάλο = 112 + 75,6

Ο_μεγάλο = 187,6 μ²

Και έτσι η συνολική έκταση αυτού του πρίσματος είναι:

Ο_Τ= 20 + 187,6

Ο_Τ= 207,6 μ²

Δεδομένου ότι η τιμή της βαφής είναι 20 reais ανά τετραγωνικό μέτρο, το ποσό που δαπανάται για τη βαφή του υπόστεγου είναι:

20 · 207.6 = 4.152 reais

Απάντηση: Το ποσό που δαπανάται για τη βαφή του υπόστεγου είναι 4.152,00 R $

από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών