Σκεψου το πολυωνυμική εξίσωση κάτω από όπου όλοι οι συντελεστές οόχιείναι ακέραιοι:
οόχιΧόχι + τον-1Χν-1 + τον-2Χν-2 +… + Το2Χ2 + το1x + α0 = 0
Ο Rationals Roots Θεώρημα εγγυάται ότι εάν αυτή η εξίσωση αναγνωρίζει τον λογικό αριθμό Π/τι ως ρίζα (με Π
, τι 
και mdc (p, q) = 1), έπειτα ο0 διαιρείται από Π και οόχι διαιρείται από τι.
Σχόλια:
1º) Το λογικό θεώρημα ριζών δεν εγγυάται ότι η πολυωνυμική εξίσωση έχει ρίζες, αλλά εάν υπάρχουν, το θεώρημα μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε όλες οι ρίζες της εξίσωσης?
2º) αν οόχι= 1 και οι άλλοι συντελεστές είναι όλοι ακέραιοι, η εξίσωση έχει μόνο ακέραιες ρίζες.
3°) αν q = 1 και υπάρχουν λογικές ρίζες, αυτές είναι ολόκληρες και διαιρέτες ο0.
Εφαρμογή του Θεωρήματος Rational Roots:
Ας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα για να βρούμε όλες τις ρίζες της πολυωνυμικής εξίσωσης 2χ4 + 5χ3 - 11χ2 - 20x + 12 = 0.
Αρχικά, ας προσδιορίσουμε τις πιθανές λογικές ρίζες αυτής της εξίσωσης, δηλαδή τις ρίζες της φόρμας Π/τι. Σύμφωνα με το θεώρημα, ο0 διαιρείται από Π; με αυτόν τον τρόπο, πώς
ο0 = 12, τότε οι πιθανές τιμές του Π είναι {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Αναλογικά, πρέπει να οόχι διαιρείται από τι και οόχι = 2, έπειτα τι μπορεί να έχει τις ακόλουθες τιμές: {± 1, ± 2}. Επομένως, διαιρώντας τις τιμές του Π ανά τι, έχουμε πιθανές τιμές Π/τι ρίζες της εξίσωσης: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Για να επιβεβαιώσουμε ότι οι τιμές που βρήκαμε είναι πραγματικά η ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης, ας αντικαταστήσουμε κάθε τιμή στη θέση του Χ της εξίσωσης. Διά μέσου αλγεβρικός λογισμός, εάν το πολυώνυμο έχει ως αποτέλεσμα μηδέν, έτσι ο υποκατεστημένος αριθμός είναι στην πραγματικότητα η ρίζα της εξίσωσης.
2χ4 + 5χ3 - 11χ2 - 20x + 12 = 0
Για x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Για x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
Για x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Για x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Για x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Για x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Για x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Για x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Για x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Για x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Για x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Για x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Για x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Για x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Για x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Για x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Επομένως, οι ρίζες της πολυωνυμικής εξίσωσης 2χ4 + 5χ3 - 11χ2 - 20x + 12 = 0 αυτοί είναι {– 3, – 2, ½, 2}. Διά μέσου πολυώνυμο θεώρημα αποσύνθεσης, θα μπορούσαμε να γράψουμε αυτήν την εξίσωση ως (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Από την Amanda Gonçalves
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Θεωρηματικό Rationals Roots"; Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Πρόσβαση στις 28 Ιουνίου 2021.
