Ο περιοχή σε ένα στερεόςγεωμετρικός μπορεί να ληφθεί με το άθροισμα των περιοχών καθενός από τα γεωμετρικά σχήματα που το συνθέτουν. Ένα τετράεδρο, για παράδειγμα, είναι ένα πυραμίδα τριγωνικής βάσης. Αυτή η πυραμίδα σχηματίζεται από τέσσερα τρίγωνα: μία βάση και τρεις πλευρικές όψεις. Προσθέτοντας τις περιοχές καθενός από αυτά τα τρίγωνα μαζί, παίρνουμε την περιοχή του τετράεδρου.
Κανονικό τετράεδρο στα δεξιά και το επίπεδο του στα αριστερά
Ακολουθούν οι τύποι που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της περιοχής ορισμένων γεωμετρικών στερεών και παραδειγμάτων για τον τρόπο χρήσης τους.
πλακόστρωτη περιοχή
Εξετάστε ένα πλακόστρωτο του οποίου το μήκος μετρά "x", το πλάτος μετρά "y" και το ύψος μετρά "z", όπως στην ακόλουθη εικόνα:
Ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του περιοχή é:
A = 2xy + 2yz + 2xz
Ο ίδιος τύπος ισχύει για το περιοχή κύβου, η οποία είναι μια ειδική περίπτωση πλακόστρωτο. Ωστόσο, δεδομένου ότι όλες οι άκρες του κύβου είναι ίδιες, αυτή τύπος Μπορεί να είναι μειωμένος. Έτσι, η περιοχή ενός ακραίου κύβου L καθορίζεται από:
A = 6L2
Παράδειγμα 1
ποια είναι η περιοχή ενός ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟορθογώνιος με μήκος και πλάτος ίσο με 10 cm και ύψος ίσο με 5 cm;
Ως μήκος = πλάτος = 10 cm, θα έχουμε x = 10 και y = 10. Ως ύψος = 5 cm, θα έχουμε z = 5. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την παράλληλη περιοχή, θα έχουμε:
A = 2xy + 2yz + 2xz
A = 2 · 10 · 10 + 2 · 10 · 5 + 2 · 10 · 5
A = 200 + 100 + 100
Η = 400 εκ2
Παράδειγμα 2
Ποια είναι η περιοχή ενός κύβου με άκρη 10 cm;
A = 6L2
Α = 6 · 102
Α = 6 · 100
H = 600 εκ2
Περιοχή κυλίνδρου
Δεδομένου του κύλινδρος ακτίνας r και ύψους h, που απεικονίζεται από το παρακάτω σχήμα, α τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του περιοχή é:
A = 2πr (r + h)
Παράδειγμα 3
Προσδιορίστε το περιοχή ενός κυλίνδρου του οποίου το ύψος μετρά τα 40 cm και η διάμετρος των 16 cm. Σκεφτείτε π = 3.
μια δεκάρα κύκλος ισούται με το ήμισυ της διαμέτρου του (16: 2 = 8). Έτσι, η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι ίση με 8 cm. Απλώς αντικαταστήστε αυτές τις τιμές στον τύπο:
A = 2πr (r + h)
A = 2 · 3 · 8 (8 + 40)
Α = 2 · 3 · 8 · 48
Α = 6 · 384
Η = 2304 εκ2
περιοχή κώνου
Ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του περιοχή κώνου é:
A = πr (r + g)
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι το r είναι η ακτίνα του κώνου και το g είναι το μέτρο της γεννήτριας του.
Παράδειγμα 4
υπολογίστε το περιοχή σε ένα κώνος με διάμετρο 24 cm και ύψος 16 cm. Σκεφτείτε π = 3.
Για να ανακαλύψετε το μετρούνδίνειgeneratrix του κώνου, χρησιμοποιήστε την ακόλουθη έκφραση:
σολ2 = r2 + ω2
Δεδομένου ότι η ακτίνα του κώνου είναι ίση με το ήμισυ της διαμέτρου του, το μέτρο της ακτίνας είναι 24: 2 = 12 cm. Αντικαθιστώντας τις τιμές στην έκφραση, θα έχουμε:
σολ2 = r2 + ω2
σολ2 = 122 + 162
σολ2 = 144 + 256
σολ2 = 400
g = √400
g = 20 εκ
Αντικατάσταση της ακτίνας κώνου και της γεννήτριας μέτρησης στο τύπος σε περιοχή, θα έχουμε:
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
A = πr (r + g)
A = 3 · 12 (12 + 20)
Α = 36 · 32
Η = 1152 εκ2
περιοχή σφαίρας
Ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του περιοχή σφαίρας της ακτίνας r είναι:
Α = 4πr2
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε την περιοχή της σφαίρας στην παρακάτω εικόνα. Σκεφτείτε π = 3.
Χρησιμοποιώντας το τύποςδίνειπεριοχή δίνει μπάλα, θα έχουμε:
Α = 4πr2
Α = 4 · 3 · 52
Α = 12 · 25
Η = 300 εκ2
Πυραμίδα
Εσείς πρίσματα και πυραμίδες δεν έχω τύποςειδικός για τον υπολογισμό περιοχή, επειδή το σχήμα των πλευρικών του προσώπων και των βάσεών του είναι πολύ μεταβλητό. Ωστόσο, είναι πάντοτε δυνατό να υπολογιστεί η περιοχή ενός γεωμετρικού στερεού ισοπεδώνοντας και προσθέτοντας τις μεμονωμένες περιοχές κάθε μιας από τις όψεις του.
Όταν αυτά τα στερεά είναι ευθεία, όπως το πρίσμαευθεία και το πυραμίδαευθεία, είναι δυνατό να προσδιοριστεί συγγένειες ανάμεσα σε μέτρα των πλευρικών του προσώπων.
Δείτε επίσης:Υπολογισμός της περιοχής ενός πρίσματος
Παράδειγμα 6
Ενας πυραμίδα ευθεία με μια τετράγωνη βάση έχει ένα απόθεμα ίσο με 10 cm και ένα άκρο βάσης ίσο με 5 cm. Ποια είναι η περιοχή σας;
Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, δείτε την εικόνα της πυραμίδας παρακάτω:
Μια ευθεία πυραμίδα με τετράγωνη βάση έχει όλες τις πλευρικές όψεις σύμφωνες. Έτσι, απλώς υπολογίστε την περιοχή ενός από αυτά, πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με 4 και προσθέστε το στο αποτέλεσμα που αποκτήθηκε κατά τον υπολογισμό του περιοχή της βάσης της πυραμίδας.
Για να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός από αυτά τα τρίγωνα, χρειαζόμαστε το μέτρο του ύψους του. Αυτό το μέτρο είναι ίσο με το απόθεμα της πυραμίδας, επομένως 10 cm. Στον ακόλουθο τύπο, το απόθεμα θα αντιπροσωπεύεται από το γράμμα h. Επιπλέον, όλες οι βάσεις των τριγώνων είναι σύμφωνες, καθώς είναι όλες οι πλευρές του α τετράγωνο και μετρήστε 5 cm.
Περιοχή πλευρικής όψης:
Α = βχ
2
Α = 5·10
2
Α = 50
2
Η = 25 εκ2
Περιοχή των τεσσάρων πλευρικών όψεων:
Α = 4,25
Η = 100 εκ2
Βασική επιφάνεια (η οποία είναι ίση με την επιφάνεια ενός τετραγώνου):
Α = 12
Α = 52
Η = 25 εκ2
Συνολική έκταση αυτής της πυραμίδας:
A = 100 + 25 = 125 εκ2
περιοχή πρίσματος
Όπως αναφέρθηκε, δεν υπάρχει συγκεκριμένος τύπος για την περιοχή του πρίσματος. Πρέπει να υπολογίσουμε την επιφάνεια κάθε προσώπου του και να τις προσθέσουμε στο τέλος.
Παράδειγμα 7
Τι είναι το περιοχή πρίσματος ευθεία βάση τετράγωνο, γνωρίζοντας ότι το ύψος αυτού του στερεού είναι 10 cm και ότι το άκρο της βάσης του έχει μέγεθος 5 cm;
Λύση:
Παρακάτω, δείτε μια εικόνα του εν λόγω πρίσματος για να βοηθήσετε στη δημιουργία της λύσης:
Η άσκηση πληροφορεί ότι το βάσητουπρίσμα είναι τετράγωνο. Επιπλέον, οι δύο βάσεις πρίσματος είναι σύμφωνες, δηλαδή, η εύρεση της περιοχής μιας από αυτές τις βάσεις, πολλαπλασιάστε αυτήν τη μέτρηση με 2 για να προσδιορίσετε την περιοχή των δύο βάσεων πρίσματος.
Οσι = 12
Οσι = 52
Οσι = 25 εκ2
Επίσης, καθώς έχει τετραγωνική βάση, είναι εύκολο να το δούμε τέσσεραπρόσωπαπλευρές, που είναι επίσης σύμφωνες, αφού το στερεό είναι ίσιο. Έτσι, εντοπίζοντας την περιοχή μιας από τις πλευρικές όψεις, πολλαπλασιάστε αυτήν την τιμή με 4 για να βρείτε την πλευρική περιοχή του πρίσματος.
Οfl = β · ω
Οfl = 5·10
Οfl = 50 εκ2
Οεκεί = 4Αfl
Οεκεί = 4·50
Οεκεί = 200 εκ2
Ο περιοχήσύνολοτουπρίσμα é:
Α = Ασι + Αεκεί
A = 25 + 200
Η = 225 εκ2
Του Luiz Paulo Silva
Πτυχίο Μαθηματικών
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Περιοχή γεωμετρικών στερεών". Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-solidos-geometricos.htm. Πρόσβαση στις 27 Ιουνίου 2021.
