Εσείς σύνθετοι αριθμοί προκύπτουν από την ανάγκη επίλυσης εξισώσεις που έχουν αρνητική ρίζα αριθμού, το οποίο, μέχρι τότε, δεν ήταν δυνατό να επιλυθεί δουλεύοντας με πραγματικούς αριθμούς. Οι σύνθετοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με τρεις τρόπους: α αλγεβρική μορφή (ζ = a + bi), αποτελούμενο από πραγματικό μέρος ο και ένα φανταστικό μέρος σι; ο Γεωμετρική μορφή, αντιπροσωπεύεται στο σύνθετο επίπεδο, επίσης γνωστό ως αεροπλάνο Argand-Gauss. και το δικό σου τριγωνομετρική μορφή, επίσης γνωστή ως πολική μορφή. Με βάση την αναπαράστασή τους, καθώς εργαζόμαστε με ένα αριθμητικό σύνολο, οι σύνθετοι αριθμοί έχουν καλά καθορισμένες λειτουργίες: προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση και ενίσχυση.
Μέσα από τη γεωμετρική αναπαράσταση στο σύνθετο επίπεδο, ορίζουμε επίσης την ενότητα (που αντιπροσωπεύεται από το |ζ|) ενός σύνθετου αριθμού - που είναι η απόσταση από το σημείο που αντιπροσωπεύει τον σύνθετο αριθμό έως την προέλευση - και ποιο είναι το επιχείρημα του α σύνθετος αριθμός - που είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του οριζόντιου άξονα και του ίχνους που συνδέει την προέλευση με το σημείο που αντιπροσωπεύει τον αριθμό συγκρότημα.
ανάγκη για πολύπλοκους αριθμούς
Στα μαθηματικά, η επέκταση ενός αριθμητικού συνόλου σε ένα νέο σύνολο, σε όλη την ιστορία, ήταν κάτι πολύ κοινό. Αποδεικνύεται ότι, κατά τη διάρκεια αυτού, τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν και, στη συνέχεια, να ανταποκρίνεται στις ανάγκες της εποχής, παρατηρήθηκε ότι υπήρχαν αριθμοί που δεν ανήκαν στο αριθμητικό σύνολο στο οποίο αναφέρεται. Ήταν έτσι με την εμφάνιση του αριθμητικά σύνολα ακέραιοι, λογικοί, παράλογοι και πραγματικοί, και δεν ήταν διαφορετικό όταν υπήρχε ανάγκη επέκτασης του συνόλου των πραγματικών αριθμών σε αυτό των σύνθετων αριθμών.
Όταν προσπαθούμε να λύσουμε τετραγωνικές εξισώσεις, είναι αρκετά κοινό που βρίσκουμε το τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, το οποίο είναι αδύνατο να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, εξ ου και η ανάγκη για πολύπλοκους αριθμούς. Η αρχή της μελέτης αυτών των αριθμών έλαβε συνεισφορές από σημαντικούς μαθηματικούς, όπως ο Giralmo Cardono, αλλά το σετ τους επισημοποιήθηκε από τους Gauss και Argand.
Διαβάστε επίσης: Γεωμετρική αναπαράσταση του αθροίσματος των σύνθετων αριθμών
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
αλγεβρική μορφή ενός σύνθετου αριθμού
Όταν προσπαθούσατε να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση, όπως x² = –25, συχνά λέγεται ότι δεν επιλύεται. Ωστόσο, σε μια προσπάθεια αλγεβρίσματος, το αλγεβρική αναπαράσταση, η οποία καθιστά δυνατή την εκτέλεση λειτουργιών με αυτούς τους αριθμούς, παρόλο που δεν μπορείτε να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού.
Για να διευκολύνετε την επίλυση καταστάσεων στις οποίες εργάζεστε με το τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, το φανταστική ενότητα.
Έτσι, αναλύοντας την εξίσωση που παρουσιάζεται x² = -25, έχουμε ότι:
Έτσι, οι λύσεις για την εξίσωση είναι -5Εγώ ε5Εγώ.
Για να ορίσετε την αλγεβρική μορφή, το γράμμα Εγώ, γνωστός ως φανταστική μονάδα ενός σύνθετου αριθμού. Ένας σύνθετος αριθμός αντιπροσωπεύεται από:
z = ο + σιΕγώ
Σε τι ο και σι είναι πραγματικοί αριθμοί.
Ο: πραγματικό μέρος, που υποδεικνύεται από a = Re (z);
σι: φανταστικό μέρος, που υποδεικνύεται από Im (z);
Εγώ: φανταστική ενότητα.
Παραδείγματα
Ο) 2 + 3Εγώ
ΣΙ) -1 + 4Εγώ
ντο) 5 – 0,2Εγώ
ρε) -1 – 3Εγώ
όταν ο το πραγματικό μέρος είναι μηδενικό, ο αριθμός είναι γνωστός ως καθαρό φανταστικό, για παράδειγμα, -5Εγώ και 5Εγώ είναι καθαρά φανταστικά επειδή δεν έχουν πραγματικό ρόλο.
Όταν το φανταστικό μέρος είναι μηδενικό, ο σύνθετος αριθμός είναι επίσης πραγματικός αριθμός.
Λειτουργίες με πολύπλοκους αριθμούς
Όπως κάθε αριθμητικό σύνολο, οι λειτουργίες πρέπει να είναι καλά καθορισμένο, επομένως, είναι δυνατόν να εκτελεστούν οι τέσσερις βασικές λειτουργίες των πολύπλοκων αριθμών λαμβάνοντας υπόψη την παρουσίαση της αλγεβρικής φόρμας.
Προσθήκη δύο σύνθετων αριθμών
Για την εκτέλεση του πρόσθεση δύο σύνθετων αριθμών z1 γεια2, θα προσθέσουμε το πραγματικό μέρος του z1 γεια2 και το άθροισμα του φανταστικού μέρους, αντίστοιχα.
Είναι:
ζ1 = α + βΕγώ
ζ2 = γ + δΕγώ
ζ1 +ζ2 = (a + c) + (b + d)Εγώ
Παράδειγμα 1
Πραγματοποίηση του αθροίσματος του z1 και ζ2.
ζ1 = 2 + 3Εγώ
ζ2 = 1 + 2Εγώ
ζ1 +ζ2= (2 + 1) + (3 + 2)Εγώ
ζ1 +ζ2= 3 + 5Εγώ
Παράδειγμα 2
Πραγματοποίηση του αθροίσματος του z1 και ζ2.
ζ1 = 5 – 2Εγώ
ζ2 = – 3 + 2Εγώ
ζ1+ζ2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)Εγώ
ζ1+ζ2 = (5 – 3) + 0Εγώ
ζ1 +ζ2= 3 + 0Εγώ = 3
Δείτε επίσης: Γεωμετρική αναπαράσταση του αθροίσματος των σύνθετων αριθμών
Αφαίρεση δύο σύνθετων αριθμών
Πριν μιλήσουμε αφαίρεση, πρέπει να καθορίσουμε τι είναι αντίστροφο ενός σύνθετου αριθμού, δηλαδή, z = a + bΕγώ. Το αντίστροφο του z, που αντιπροσωπεύεται από –z, είναι ο σύνθετος αριθμός –z = –a –bΕγώ.
Για να πραγματοποιήσετε την αφαίρεση μεταξύ του z1και -z2, καθώς και επιπλέον, θα κάνουμε το αφαίρεση μεταξύ πραγματικών τμημάτων και μεταξύ φανταστικών τμημάτων ξεχωριστά, αλλά είναι απαραίτητο να το καταλάβουμε αυτό -z2 Είναι το αντίστροφο ενός πολύπλοκου αριθμού, το οποίο καθιστά απαραίτητο να παίξετε το παιχνίδι σημαδιών.
Παράδειγμα 1
Εκτέλεση της αφαίρεσης του z1 και ζ2.
ζ1 = 2 + 3Εγώ
ζ2 = 1 + 2Εγώ
ζ1–ζ2 = (2 – 1) + (3 – 2)Εγώ
ζ1–ζ2= 1 + 1Εγώ = 1+ Εγώ
Παράδειγμα 2
Εκτέλεση της αφαίρεσης του z1 και ζ2.
ζ1= 5 – 2Εγώ
ζ2 = – 3 + 2Εγώ
ζ1–ζ2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)Εγώ
ζ1–ζ2= (5 + 3) + (–4)Εγώ
ζ1 –ζ2= 8 + (–4)Εγώ
ζ1 –ζ2= 8 –4Εγώ
Εξαιρετικές δυνάμεις μονάδας
Πριν μιλήσουμε για πολλαπλασιασμό, πρέπει να κατανοήσουμε τη δύναμη της φανταστικής μονάδας. Στην αναζήτηση μιας μεθόδου για τον υπολογισμό των δυνάμεων του Εγώόχι, είναι απαραίτητο να συνειδητοποιήσουμε ότι αυτές οι δυνάμεις συμπεριφέρονται με κυκλικό τρόπο. Για αυτό, ας υπολογίσουμε μερικά δραστικότητες σε Εγώ.
Αποδεικνύεται ότι οι επόμενες δυνάμεις δεν είναι τίποτα περισσότερο από την επανάληψή της, σημειώστε ότι:
Εγώ 4 = Εγώ 2 · Εγώ 2 = (–1) (–1) = 1
Εγώ 5 = Εγώ 2 · Εγώ 3 = (–1) (–Εγώ) = Εγώ
Καθώς συνεχίζουμε να υπολογίζουμε τις δυνάμεις, οι απαντήσεις θα είναι πάντα στοιχεία του συνόλου {1, i, –1, -Εγώ}, στη συνέχεια για να βρείτε μια δύναμη της μονάδας Εγώόχι, θα διαιρέσουμε το n (ο εκθέτης) με το 4, και το υπόλοιποαυτού του τμήματος (ρ = {0, 1, 2, 3}) θα είναι ο νέος εκθέτης του Εγώ.
Παράδειγμα1
Υπολογισμός του i25
Όταν διαιρούμε 25 με 4, το πηλίκο θα είναι 6 και το υπόλοιπο θα είναι ίσο με 1. Πρέπει λοιπόν:
Εγώ 25 = Εγώ1 = Εγώ
Παράδειγμα 2
Υπολογισμός του Εγώ 403
Όταν διαιρούμε το 403 με το 4, το πηλίκο θα είναι 100, επειδή 100 · 4 = 400 και το υπόλοιπο θα είναι 3, οπότε πρέπει:
Εγώ 403 =Εγώ 3 = -Εγώ
Πολλαπλασιασμός πολύπλοκων αριθμών
Για να εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό δύο σύνθετων αριθμών, ας εφαρμόσουμε το επιμεριστική ιδιότητα. Είναι:
ζ1= α + βΕγώ
ζ2= γ + δΕγώ, τότε το προϊόν:
ζ1 · ζ2 = (α + βΕγώ) (γ + δΕγώ), εφαρμόζοντας τη διανομή ιδιοκτησίας,
ζ1 · ζ2 = ac + διαφήμισηΕγώ + cbΕγώ + bdΕγώ 2, αλλά όπως έχουμε δει, Εγώ ² = -1
ζ1 · ζ2 = ac + διαφήμισηΕγώ + cbΕγώ - βδ
ζ1 · ζ2= (ac – bd) + (διαφήμιση + cb)Εγώ
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορείτε να βρείτε το προϊόν οποιουδήποτε δύο πολύπλοκων αριθμών, αλλά σε ένα Σε γενικές γραμμές, δεν χρειάζεται να είναι διακοσμημένο, καθώς, για τον εν λόγω υπολογισμό, απλώς εφαρμόζουμε την ιδιοκτησία διανεμητικός.
Παράδειγμα
Υπολογισμός του προϊόντος (2 + 3Εγώ) (1 – 4Εγώ):
(2+3Εγώ) (1 – 4Εγώ) = 2 – 8Εγώ + 3Εγώ– 12Εγώ ², θυμάμαι αυτό i² = -1:
(2 + 3Εγώ) (1 – 4Εγώ) = 2 – 8Εγώ + 3Εγώ+ 12
(2 + 3Εγώ) (1 – 4Εγώ) = (2 + 12) + (– 8 + 3)Εγώ
(2+3Εγώ) (1 – 4Εγώ) = 14 – 5Εγώ
Επίσης πρόσβαση: Σύνθετη προσθήκη αριθμού, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός
Σύμπλοκο σύνθετου αριθμού
Πριν μιλήσουμε για διαίρεση, πρέπει να καταλάβουμε τι είναι το σύζευγμα ενός σύνθετου αριθμού. Η ιδέα είναι απλή, για να βρείτε το σύζευγμα ενός σύνθετου αριθμού, ακριβώς ανταλλάσσωΜωμ το σημάδι του φανταστικού μέρους.
διαίρεση δύο σύνθετων αριθμών
Για την εκτέλεση του διαίρεση δύο σύνθετων αριθμών, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα με το συζυγές του παρονομαστή έτσι ώστε ποιο είναι το πραγματικό μέρος και ποιο είναι το φανταστικό μέρος να είναι καλά καθορισμένο.
Παράδειγμα
Υπολογισμός διαίρεσης του (6 - 4Εγώ): (4 + 2Εγώ)
Δείτε επίσης: Απέναντι, σύζευξη και ισότητα πολύπλοκων αριθμών
Πολύπλοκο αεροπλάνο ή Argand-Gauss
Γνωστό ως σύνθετο σχέδιο ή Ενα σχέδιοrgand-γκαζ, επιτρέπει το αναπαράσταση σε γεωμετρική μορφή ενός πολύπλοκου αριθμού, αυτό το σχέδιο είναι μια προσαρμογή στο Καρτεσιανό αεροπλάνο για να αντιπροσωπεύσει σύνθετους αριθμούς Ο οριζόντιος άξονας είναι γνωστός ως πραγματικός άξονας ανταλλακτικού Re (z), και ο κάθετος άξονας είναι γνωστός ως άξονας του φανταστικού μέρους Im (z). Έτσι, ο σύνθετος αριθμός αντιπροσωπεύεται από α + βΕγώ δημιουργεί τα σημεία στο σύνθετο επίπεδο που σχηματίζεται από το διατεταγμένο ζεύγος (a, b).
Παράδειγμα
Αναπαράσταση του αριθμού 3 + 2Εγώ στη γεωμετρική μορφή Z (3,2).
Ενότητα και όρισμα ενός σύνθετου αριθμού
Το μέτρο ενός σύνθετου αριθμού, γεωμετρικά, είναι το απόσταση από το σημείο (a, b) που αντιπροσωπεύει αυτόν τον αριθμό στο σύνθετο επίπεδο στην προέλευση, δηλαδή, το σημείο (0,0).
Όπως μπορούμε να δούμε, | z | είναι η υποτελής χρήση του ορθογώνιο τρίγωνο, επομένως, μπορεί να υπολογιστεί εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, έτσι πρέπει:
Παράδειγμα:
Υπολογισμός του συντελεστή z = 1 + 3Εγώ
Ο οδιαφωνία ενός σύνθετου αριθμού, γεωμετρικά, είναι το γωνία σχηματίζεται από τον οριζόντιο άξονα και το | z |
Για να βρούμε την τιμή γωνίας, πρέπει:
Ο στόχος είναι να βρεθεί η γωνία θ = arg z.
Παράδειγμα:
Βρείτε το σύνθετο αριθμητικό όρισμα: z = 2 + 2Εγώ:
Δεδομένου ότι τα a και b είναι θετικά, γνωρίζουμε ότι αυτή η γωνία βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, οπότε ας υπολογίσουμε | z |.
Γνωρίζοντας το | z |, είναι δυνατόν να υπολογιστεί το ημίτονο και το συνημίτονο.
Εφόσον, σε αυτήν την περίπτωση, τα a και b είναι ίσα με 2, τότε, όταν υπολογίζουμε το sinθ, θα βρούμε την ίδια λύση για το συνημίτονο.
Γνωρίζοντας τις τιμές των sinθ και cosθ, συμβουλευτείτε τον πίνακα των αξιοσημείωτων γωνιών και γνωρίζοντας αυτό Το θ ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο, οπότε το θ μπορεί να βρεθεί σε μοίρες ή ακτίνια, συνεπώς καταλήγουμε τι:
Τριγωνομετρική ή πολική μορφή
Η αναπαράσταση του σύνθετου αριθμού στο τριγωνομετρική μορφή είναι δυνατή μόνο αφού καταλάβουμε την έννοια της ενότητας και του επιχειρήματος. Με βάση αυτήν την αναπαράσταση, αναπτύσσονται σημαντικές έννοιες για τη μελέτη σύνθετων αριθμών σε πιο προχωρημένο επίπεδο. Για να εκτελέσουμε την τριγωνομετρική αναπαράσταση, θα θυμόμαστε την αλγεβρική μορφή της z = a + bi, ωστόσο, όταν αναλύουμε το σύνθετο επίπεδο, πρέπει:
Αντικαθιστώντας, σε αλγεβρική μορφή, τις τιμές a = | z | cos θ και b = | z | sen θ, πρέπει να:
z = a + bΕγώ
Με z = | z | cos θ + | z | senθ Εγώ, βάζοντας | z | ενδεικτικά, φτάνουμε στον τύπο της τριγωνομετρικής μορφής:
z = | z | (cos θ + Εγώ · Αμαρτία θ) |
Παράδειγμα: Γράψτε, σε τριγωνομετρική μορφή, τον αριθμό
Για να γράψουμε σε τριγωνομετρική μορφή, χρειαζόμαστε το επιχείρημα και το συντελεστή του z.
1ο βήμα - Υπολογισμός | z |
Γνωρίζοντας το | z |, είναι δυνατόν να βρούμε την τιμή του θ συμβουλεύοντας τον πίνακα των αξιοσημείωτων γωνιών.
Είναι πλέον δυνατό να γράψετε τον αριθμό z στην τριγωνομετρική του μορφή με τη γωνία σε μοίρες ή με τη γωνία που μετριέται σε ακτίνια.
Διαβάστε επίσης: Ακτινοβολία σύνθετων αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - (UFRGS) Δεδομένων των πολύπλοκων αριθμών z1 = (2, –1) και z2 = (3, x), είναι γνωστό ότι το προϊόν μεταξύ z1 και ζ2 είναι ένας πραγματικός αριθμός. Έτσι το x είναι ίσο με:
α) -6
β) -3/2
γ) 0
δ) 3/2
ε) 6
Ανάλυση
Εναλλακτική Δ.
Για να είναι το προϊόν ένας πραγματικός αριθμός, τότε το φανταστικό μέρος είναι ίσο με το μηδέν.
Γράφοντας αυτούς τους αριθμούς σε αλγεβρική μορφή, πρέπει:
ζ1 = 2 – 1Εγώ και ζ2 = 3 + xΕγώ
ζ1 · Ζ2 = (2 – 1Εγώ) (3 + xΕγώ)
ζ1 · Ζ2 = 6 + 2χΕγώ –3Εγώ - ΧΕγώ ²
ζ1 · Ζ2 = 6 + 2χΕγώ –3εγώ + Χ
ζ1 · Ζ2 = 6+ x + (2x - 3)Εγώ
Δεδομένου ότι το ενδιαφέρον μας είναι ότι το φανταστικό μέρος είναι ίσο με το μηδέν, τότε θα λύσουμε για 2x - 3 = 0
Ερώτηση 2 - (UECE) Εάν είμαι ο σύνθετος αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με -1, τότε η τιμή του 5Εγώ 227 + Εγώ 6 – Εγώ 13 είναι το ίδιο με:
Ο) Εγώ + 1
β) 4Εγώ –1
γ) -6Εγώ –1
δ) -6Εγώ
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ.
Για την επίλυση αυτής της έκφρασης, είναι απαραίτητο να βρείτε το υπόλοιπο καθένα από τους αριθμούς σε διαίρεση με 4.
227: 4 οδηγεί σε πηλίκο 56 και το υπόλοιπο 3.
Εγώ 227 = Εγώ 3 = –Εγώ
6: 4 οδηγεί στο πηλίκο 1 και το υπόλοιπο 2.
Εγώ 6 = Εγώ 2 = –1
13: 4 οδηγεί στο πηλίκο 3 και το υπόλοιπο 1.
Εγώ 13 = Εγώ1 = Εγώ
Πρέπει λοιπόν:
5Εγώ 227 + Εγώ 6 – Εγώ 13
5 (–Εγώ) + (–1) – Εγώ
–5Εγώ –1 – Εγώ
–6Εγώ – 1
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
