Wahrheitstabelle ist ein logisches Instrument, das alle logischen Werte eines zusammengesetzten Satzes enthält. Die Erstellung einer Wahrheitstabelle für einen zusammengesetzten Satz umfasst die logischen Werte der einfachen Sätze, aus denen er besteht, und die logischen Operationen zwischen diesen Sätzen.
Lesen Sie auch: Denn was ist Logik?
Zusammenfassung der Wahrheitstabelle
Eine Wahrheitstabelle ist ein Instrument der mathematischen Logik, um alle logischen Werte eines zusammengesetzten Satzes anzuordnen.
Die wichtigsten logischen Operationen der Wahrheitstabelle sind Negation (~), Konjunktion (˄), Disjunktion (˅), Konditional (→) und Bikonditional (↔).
Um eine Wahrheitstabelle für einen zusammengesetzten Satz zu erstellen, ist es notwendig, die Wahrheitstabellen grundlegender logischer Operationen zu verwenden.
Was ist die Wahrheitstabelle?
In Betracht ziehen P Es ist Q einfache Sätze, also Sätze, denen einer der folgenden logischen Werte zugeordnet werden kann: wahr (V) oder falsch (F). Ein zusammengesetzter Satz, der durch Operationen zwischen gebildet wird
P Es ist Q ist auch ein Satz, der wahr oder falsch sein kann. Der logische Wert dieses zusammengesetzten Satzes hängt von den ihm zugewiesenen logischen Werten ab P Es ist Q und die Operation(en) zwischen ihnen.Die Wahrheitstabelle ist a Tabelle, die alle logischen Wertmöglichkeiten für den zusammengesetzten Satz basierend auf den logischen Werten von darstellt P Es ist Q.
In diesem Text verwenden wir den Buchstaben V, um den wahren logischen Wert eines Satzes anzuzeigen, und den Buchstaben F, um den falschen logischen Wert anzuzeigen.
Hauptkonnektive der Wahrheitstabelle
Logische Verknüpfungen (oder Operatoren) sind Symbole oder Wörter, die Operationen zugeordnet sind, die einen einfachen Satz mit einem anderen einfachen Satz verbinden einen zusammengesetzten Satz aufstellen.
Es gibt fünf Hauptverbindungen, deren Funktion, Symbol und Bedeutung in der folgenden Tabelle angegeben sind.
Betrieb |
Symbol |
Bedeutung |
Verweigerung |
~ |
NEIN |
Verbindung |
˄ |
Es ist |
Disjunktion |
˅ |
oder |
Bedingt |
→ |
Wenn... Dann |
Bikonditional |
↔ |
dann und nur dann, wenn |
Wie man liest:
~ P - "NEIN P”
P ˄ Q — “P Es ist Q”
P ˅ Q — “P oder Q”
P→Q - "Wenn P Dann Q”
P↔Q — “P dann und nur dann, wenn Q”
Überwachung: Die Bikondition ist das Ergebnis der bedingten Operation in beide Richtungen, d. h. P↔Q bedeutet P→Q Es ist Q→P.
Wie funktioniert die Wahrheitstabelle?
Die erste Zeile der Wahrheitstabelle gibt alle Sätze an, deren logische Werte wir analysieren möchten, zusätzlich zu den jeweiligen Operationen zwischen ihnen. Jede Zeile der Wahrheitstabelle stellt die Beziehung zwischen den logischen Werten der Sätze in der ersten Zeile dar.
Um eine Wahrheitstabelle für einen zusammengesetzten Satz zu erstellen, ist es notwendig, die Wahrheitstabellen der grundlegenden Operationen zu kennen, die sich aus den wichtigsten logischen Verknüpfungen ergeben. Sehen wir uns an, was diese Wahrheitstabellen sind, die durch die Regeln der Aussagenrechnung ermittelt werden.
Verleugnungs-Wahrheitstabelle
Gegeben eine einfache Aussage P, der logische Wert des Satzes ~ P ist das Gegenteil des logischen Werts von P. Also, wenn P Es ist wahr ~ P ist falsch; und wenn P Es ist eine Fälschung ~ P das ist wahr.
P |
~p |
V |
F |
F |
V |
Konjunktionswahrheitstabelle
Angesichts der Vorschläge P Es ist Q, der logische Wert des Satzes P ˄ Q ist nur wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
P |
Q |
Weil |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
F |
Disjunktions-Wahrheitstabelle
Angesichts der Vorschläge P Es ist Q, der logische Wert des Satzes P ˅ Q ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.
P |
Q |
Weil |
V |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
Bedingte Wahrheitstabelle
Angesichts der Vorschläge P Es ist Q, der logische Wert des Satzes P→Q ist falsch, wenn P ist wahr und Q ist falsch und in anderen Fällen wahr.
P |
Q |
p →Q |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
Bikonditionale Wahrheitstabelle
Angesichts der Vorschläge P Es ist Q, der logische Wert des Satzes P↔Q ist nur dann wahr, wenn beide Aussagen wahr oder beide falsch sind.
P |
Q |
P ↔ Q |
V |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
Konstruktion der Wahrheitstabelle
Basierend auf den Wahrheitstabellen grundlegender Operationen können wir Wahrheitstabellen für jeden zusammengesetzten Satz erstellen. Dafür Wir müssen die beteiligten Aussagen identifizieren und die Operationen gemäß den Wahrheitstabellen im vorherigen Thema durchführen.
Überwachung: Die Anzahl der Zeilen in einer Wahrheitstabelle eines zusammengesetzten Satzes, der von gebildet wird N einfache Sätze sind 2N.
Beispiel: Konstruieren Sie die Wahrheitstabelle des Satzes ~ (P ˄ Q).
Wir werden eine Wahrheitstabelle mit vier Spalten verwenden: eine für den Satz P, eins für den Satz Q, eins für den Satz P ˄ Q, und der letzte für den Schlusssatz, der ~ (P ˄ Q).
P |
Q |
Weil |
~ (p ˄ q) |
Wir können die ersten drei Spalten dieser Tabelle mit Informationen aus der Wahrheitstabelle der Konjunktionsoperation füllen.
P |
Q |
Weil |
~ (p ˄ q) |
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
|
F |
F |
F |
Die vierte Spalte schließlich ist die Negation jedes logischen Werts in der dritten Spalte.
P |
Q |
Weil |
~ (p ˄ q) |
V |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
Lesen Sie auch: Wie die Logik des Aristoteles funktioniert
Übungen zur Wahrheitstabelle
Frage 1
Erstellen Sie die Wahrheitstabelle des Satzes ~ (P ˄ ~ Q).
Auflösung
Wir werden eine Wahrheitstabelle mit fünf Spalten verwenden: eine für den Satz P, eins für den Satz Q, eins für den Satz ~ Q, eins für den Satz P ˄ ~ Q, und das letzte für den Schlusssatz, ~ (P ˄ ~ Q).
P |
Q |
~q |
p ˄ ~ q |
~ (p ˄ ~ q) |
Füllen Sie nun einfach jede Spalte aus und führen Sie die entsprechenden Operationen aus:
P |
Q |
~q |
p ˄ ~ q |
~ (p ˄ ~ q) |
V |
V |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
Frage 2
Konstruieren Sie die Wahrheitstabelle des Satzes ~ P ˅ Q → ~ Q.
Auflösung
Wir werden eine Wahrheitstabelle mit sechs Spalten verwenden: eine für den Satz P, eins für den Satz Q, eins für den Satz ~ P, eins für den Satz ~ Q, eine für den Satz ~ P ˅ Q, und das letzte für den Schlusssatz, ~ P ˅ Q → ~ Q.
P |
Q |
~p |
~q |
~ p˅ q |
~ p˅ q → ~q |
Füllen Sie nun einfach jede Spalte aus und führen Sie die entsprechenden Operationen aus:
P |
Q |
~p |
~q |
~ p˅ q |
~ p˅ q → ~q |
V |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
F |
V |
F |
V |
F |
V |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
V |
F |
V |
Quellen
ALENCAR FILHO, E. In. Einführung in die mathematische Logik. São Paulo: Nobelpreis, 2002.
VAZ, R. M. Formalisierung des logischen Denkens basierend auf mathematischer Logik. Dissertation (Professioneller Masterabschluss in Mathematik) – Bundesuniversität Mato Grosso do Sul, Três Lagoas, 2014. Verfügbar in https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/2333 .
Quelle: Brasilien-Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tabela-verdade.htm
