Volumen eines Kegelstumpfes: Wie berechnet man?

Ö Kegelstumpfvolumen ist der Raum, den dieser runde Körper einnimmt. Da der Querschnitt eines Kegels mit Radius R einen kleineren Kegel mit Radius ergibt R und ein Kegelstumpf, die Volumina dieser drei Festkörper hängen zusammen.

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Zusammenfassung zum Volumen des Kegelstumpfes

Ein Kegel mit dem Radius R, der quer in einer Höhe geschnitten ist H der Basisebene ist in zwei geometrische Körper unterteilt: einen Kegel mit Radius R Es ist ein Stammkegel.
Die Hauptelemente des Kegelstumpfes sind die Höhe H, die kleinste Basis des Radius R und größere Basis mit Radius R.
Das Volumen des Kegelstumpfes ist die Differenz zwischen dem Volumen des Kegels mit Radius R und dem Volumen des Kegels mit Radius R.
Die Formel für das Volumen des Kegelstumpfes lautet:

\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)

Videolektion zum Volumen des Kegelstumpfes

Aus welchen Elementen besteht der Kegelstumpf?

Die Elemente eines Kegelstumpfes, der aus dem Abschnitt eines rechten Kegels mit dem Radius R gebildet wird, sind:

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Moll-Basis – Radiuskreis R, erhalten im Abschnitt des Kegels mit dem Radius R .
größere Basis – kreisförmige Basis des Kegels mit Radius R .
Höhe (h) – Abstand zwischen den Ebenen der Basen.
Generatrix – Segment mit Enden an den Umfängen, die die Basen begrenzen.

A Das Bild unten zeigt die Elemente eines Kegelstumpfes. Beachten Sie, dass die Neben- und Hauptbasen parallel sind.

Stamm-des-Kegel-Volumenformel

Als nächstes leiten wir die Formel für das Volumen eines Höhenkegelstumpfs ab H, kleinerer Basisradius R und Radius der größten Basis R .

Betrachten Sie den Querschnitt eines Kegels mit dem Radius R und der Höhe H₁ erzeugt zwei Feststoffe:

ein Blitzkegel R und Höhe h₂ Es ist
ein hoher Stammkegel H .

realisieren dass \(H_1=H_2+h\).

Das Volumen des Kegels mit dem Radius R (den wir den größeren Kegel nennen werden) wird durch VR dargestellt; das Volumen des Radiuskegels R (den wir den kleineren Kegel nennen werden) durch Vr; und das Volumen des Kegelstumpfes durch Vt. Daher:

\(V_R=V_r+V_t\)

Beachten Sie, dass:

\( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
\( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)

Überwachung: VR und Vr sind Kegelvolumina. Um diese Angelegenheit zu überprüfen, klicken Sie auf Hier.

So was:

\(V_R=V_r+V_t\)

\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)

\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)

\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)

\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)

\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)

Der H2-Term entspricht der Höhe des kleineren Kegels. Indem wir die Höhen der Kegel mit den jeweiligen Radien der Basen in Beziehung setzen, können wir eine Formel für das Volumen des Stammes erhalten, die nur von den Elementen des Stammes abhängt (R, R Es ist H).

Den Radius und die Höhe des größeren Kegels (R und H) zuordnen₁ ) mit dem Radius und der Höhe des kleineren Kegels (R und H₂), haben wir folgenden Anteil:

\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)

\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)

\(RH_2=rH_2+rh\)

\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)

Bald, Wir können das Kofferraumvolumen neu schreiben VT wie folgt:

\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)

So was, Die Formel für das Volumen des Kegelstumpfes lautet:

\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)

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Wie berechnet man das Volumen des Kegelstumpfes?

Um das Volumen eines Kegelstumpfes zu berechnen, Ersetzen Sie einfach die Maße der Höhe, des Radius der kleineren Basis und des Radius der größeren Basis in der Formel.

Beispiel: Wie groß ist das Volumen (in Kubikzentimetern) eines Kegelstumpfes, bei dem der Radius der größeren Grundfläche R beträgt? = 5 cm beträgt der Radius der kleineren Basis r = 3 und die Höhe beträgt h = 2 cm? (Verwenden Sie π=3 )

Wenn wir die Daten in die Formel einsetzen, erhalten wir:

\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)

\(V_t=2⋅(49)\)

\(V_t=98 cm³\)

Gelöste Übungen zum Volumen des Kegelstumpfes

Frage 1

Ein Topf hat die Form eines Kegelstumpfes mit dem größten Grundradius R = 8 cm, dem kleinsten Grundradius r = 4 und die Höhe h = 2 cm. Das Volumen dieses Topfes beträgt in cm³:

a) 48 pi

b) 64 Pi

c) 112 Pi

d) 448 pi

e) 1344 pi

Auflösung

Wenn wir die Daten in die Formel einsetzen, erhalten wir:

\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)

\(V_t=4π⋅(112)\)

\(V_t=448 π\)

Alternative D

Frage 2

(Enem 2021) Eine Person kaufte einen Becher, um Suppe zu trinken, wie abgebildet.

Darstellung eines kegelförmigen Bechers.

Es ist bekannt, dass 1 cm³ = 1 ml ist und dass die Oberseite des Bechers ein Kreis mit einem Durchmesser (D) von 10 cm und der Boden ein Kreis mit einem Durchmesser (d) von 8 cm ist.

Darüber hinaus ist bekannt, dass die Höhe (h) dieses Bechers 12 cm beträgt (Abstand zwischen der Mitte des oberen und unteren Kreises).

Verwenden Sie 3 als Näherungswert für π.

Wie groß ist das Fassungsvermögen dieses Bechers in Millilitern?

a) 216

b) 408

c) 732

d) 2196

e) 2928

Auflösung

Die Form des Bechers ist ein Kegelstumpf, bei dem die Oberseite die größere Basis darstellt. Auch R=5, R = 4 cm und H = 12. Bald:

\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)

\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)