A Identitätsmatrix ist eine besondere Art von Hauptquartier. Wir kennen es als Identitätsmatrix IN die quadratische Matrix der Ordnung n, bei der alle Terme auf der Diagonale gleich 1 und Terme, die nicht zur Hauptdiagonale gehören, gleich 0 sind. Die Identitätsmatrix gilt als neutrales Element der Multiplikation, also wenn wir eine Matrix multiplizieren M Durch die Identitätsmatrix finden wir als Ergebnis die Matrix selbst M.
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Zusammenfassung zur Identitätsmatrix
Die Identitätsmatrix ist die quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale gleich 1 sind und deren andere Elemente gleich 0 sind.
Es gibt Identitätsmatrizen unterschiedlicher Ordnung. Wir repräsentieren die Identitätsmatrix der Ordnung N von I N.
Die Identitätsmatrix ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation, das heißt \( A\cdot I_n=A.\)
Das Produkt einer quadratischen Matrix und ihrer inversen Matrix ist die Identitätsmatrix.
Was ist eine Identitätsmatrix?
Die Identitätsmatrix ist a
spezielle Art der quadratischen Matrix. Eine quadratische Matrix wird als Identitätsmatrix bezeichnet, wenn alle Elemente auf der Hauptdiagonale gleich 1 und alle anderen Elemente gleich 0 sind. Dann gilt in jeder Identitätsmatrix:
➝ Identitätsmatrixtypen
Es gibt Identitätsmatrizen unterschiedlicher Ordnung. die Bestellung N wird durch I repräsentiertN. Sehen wir uns unten einige Matrizen anderer Ordnungen an.
Ordnung 1 Identitätsmatrix:
\(I_1=\left[1\right]\)
Identitätsmatrix der Ordnung 2:
\(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Identitätsmatrix der Ordnung 3:
\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Identitätsmatrix der Ordnung 4:
\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Identitätsmatrix der Ordnung 5:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Nacheinander können wir Identitätsmatrizen unterschiedlicher Ordnung schreiben.
Eigenschaften der Identitätsmatrix
Die Identitätsmatrix hat eine wichtige Eigenschaft, da sie das neutrale Element der Multiplikation zwischen den Matrizen ist. Das bedeutet, dass Jede mit der Identitätsmatrix multiplizierte Matrix ist sich selbst gleich. Somit ist die Matrix M der Ordnung gegeben N,wir haben:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Eine weitere wichtige Eigenschaft der Identitätsmatrix ist, dass die Produkt einer quadratischen Matrix und ihrer inverse Matrix ist die Identitätsmatrix. Gegeben sei eine quadratische Matrix M der Ordnung N, das Produkt von M durch seine Umkehrung ist gegeben durch:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
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Multiplikation der Identitätsmatrix
Wenn wir eine Matrix M mit der Identitätsmatrix der Ordnung multiplizieren Nerhalten wir als Ergebnis die Matrix M. Sehen wir uns unten ein Beispiel für das Produkt der Matrix M der Ordnung 2 mit der Identitätsmatrix der Ordnung 2 an.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right) \) Es ist \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Angenommen, dass:
\(A\cdot I_n=B\)
Wir haben:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Also das Produkt von A by \(In\) es wird sein:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Beachten Sie, dass die Terme der Matrix B mit den Termen der Matrix A identisch sind, das heißt:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Beispiel:
Sein M Die Matrix \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), Berechnen Sie das Produkt zwischen der Matrix M und die Matrix \(I_3\).
Auflösung:
Wenn wir die Multiplikation durchführen, haben wir:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Übungen zur Identitätsmatrix gelöst
Frage 1
Es gibt eine quadratische Matrix der Ordnung 3, die definiert ist durch \(a_{ij}=1 \) Wenn \(i=j\) Es ist \(a_{ij}=0\) Es ist Wenn \(i\neq j\). Diese Matrix ist wie folgt:
A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
UND) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Auflösung:
Alternative D
Bei der Analyse der Matrix haben wir:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Die Matrix ist also gleich:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Frage 2
(UEMG) Wenn die inverse Matrix von \(A=\left[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \left[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), der Wert von x ist:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Auflösung:
Alternative A
Durch Multiplikation der Matrizen erkennen wir, dass ihr Produkt gleich der Identitätsmatrix ist. Wenn wir das Produkt der zweiten Zeile der Matrix mit der ersten Spalte ihrer Umkehrung berechnen, erhalten wir:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Von Raul Rodrigues de Oliveira
Mathematiklehrer
Quelle: Brasilien-Schule - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
