Die Summe der Innenwinkel eines konvexen Vielecks lässt sich aus der Seitenzahl (n) ermitteln, indem man diesen Wert einfach mit zwei subtrahiert (n - 2) und mit 180° multipliziert.
Ein Polygon ist eine geschlossene Fläche, die durch eine polygonale Linie gebildet wird, d. h. die Seiten sind gerade Linien, und die Begegnung zwischen zwei Seiten bildet einen Winkel. Falls das Polygon konvex ist, sind alle Innenwinkel kleiner als 180°.
Summe der Innenwinkel eines konvexen Vielecks
Um die Innenwinkel eines konvexen Polygons zu addieren, kennen wir entweder die Werte aller Winkel und addieren sie, oder wir können die Summe bestimmen, indem wir die Anzahl der Seiten dieses Polygons kennen.
Die Kenntnis der Gesamtseiten eines Polygons ist in vielen Fällen einfacher zu erhalten als die Werte der einzelnen Winkel.
Formel für die Summe der Innenwinkel eines Vielecks
Um die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons zu bestimmen, bei dem nur die Anzahl der Seiten bekannt ist, verwenden wir die Formel:
Woher,
ja ist die Summe, die Summe der Grade aller Winkel.
nein ist die Anzahl der Seiten.
Beispiel
Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks ist:
Da ein Viereck 4 Seiten hat, ist n gleich 4.
Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks
Die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Polygons wird auf die gleiche Weise berechnet. Ein Polygon ist regelmäßig, wenn alle Seiten und Winkel gleich sind. Die Anzahl der Winkel ist immer gleich der Anzahl der Seiten.
Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks
Da alle Winkel das gleiche Maß haben, reicht es aus, die Summe der Innenwinkel durch die Anzahl der Winkel, also die Anzahl der Seiten, zu teilen.
Woher,
Si ist die Summe, die Summe der Grade aller Winkel.
n ist die Anzahl der Seiten.
Beispiel
Das Maß für die Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks ist:
Zuerst bestimmen wir die Summe seiner Innenwinkel mit n = 5.
Teile jetzt einfach durch die Anzahl der Seiten.
Name von Polygonen basierend auf Seiten
Nennen Sie einige Polygone nach der Anzahl der Seiten.
| Anzahl Seiten | Name |
|---|---|
| 3 | Dreieck |
| 4 | Viereck |
| 5 | Pentagon |
| 6 | Hexagon |
| 7 | Heptagon |
| 8 | Achteck |
| 9 | enagon |
| 10 | Zehneck |
| 11 | undecagon |
| 12 | Zwölfeck |
| 20 | Ikosagon |
Herleitung der Formel für die Summe der Innenwinkel eines Polygons
Wir gehen davon aus, dass jedes Dreieck als Summe seiner Innenwinkel 180° hat.
Von jedem Eckpunkt eines konvexen Polygons können wir Diagonalen ziehen und Dreiecke bilden.
Da die Summe der Innenwinkel jedes Dreiecks gleich 180° ist, multiplizierst du einfach die Anzahl der gebildeten Dreiecke mit 180°.
Wir können sehen, dass die Anzahl der gebildeten Dreiecke immer gleich der Anzahl der Seiten minus 2 ist.
Für ein Dreieck ist n = 3.
Für ein Viereck ist n = 4.
Es gibt 2 Dreiecke:
Für ein Fünfeck ist n = 5.
Es gibt 3 Dreiecke:
Auf diese Weise können wir den Begriff verallgemeinern und ersetzen Anzahl Dreiecke durch (n-2) und die Formel sieht so aus:
Lerne mehr über Polygone und Winkel.
Übungen
Übung 1
Finden Sie die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons mit 17 Seiten.
Antwort: 2 700º
Übung 2
Wie heißt ein Polygon, dessen Innenwinkel die Summe 1440° haben?
Antwort: Das Vieleck, dessen Summe der Innenwinkel 1440° beträgt, heißt Zehneck und hat 10 Seiten.
Übung 3
Finden Sie den Wert der Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks.
Antwort: In einem regelmäßigen Achteck misst jeder Innenwinkel 135°.
Zuerst müssen wir die Summe der Innenwinkel eines Achtecks bestimmen. Da es acht Seiten hat, ist n = 8.
Da das Polygon regelmäßig ist, haben alle Innenwinkel das gleiche Maß, und teilen Sie einfach die Summe durch 8.
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Auch sehen:
- Fläche und Umfang
- Polygonbereich
- Hexagon
- Vierecke
- Parallelogramm
