Die Euler-Beziehung ist eine Gleichheit, die die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen in konvexen Polyedern in Beziehung setzt. Es besagt, dass die Anzahl der Flächen plus die Anzahl der Ecken gleich der Anzahl der Kanten plus zwei ist.
Die Euler-Beziehung ist gegeben durch:
Woher,
F ist die Anzahl der Gesichter,
v die Anzahl der Ecken,
DAS die Anzahl der Kanten.
Wir können die Euler-Beziehung verwenden, um unbekannte Werte von V, F oder A zu bestimmen oder zu bestätigen, wenn das Polyeder konvex ist.
| Polyeder | F | v | DAS | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Würfel | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| Dreieckige Pyramide | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Fünfeckiges Grundprisma | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| regelmäßiges Oktaeder | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Beispiel
Ein konvexer Polyeder hat 20 Flächen und 12 Ecken. Bestimmen Sie die Anzahl der Kanten.
Verwenden der Eulerschen Beziehung und Isolieren von A:
Ersetzen der Werte von F und V:
Flächen, Ecken und Kanten
Polyeder sind feste, dreidimensionale geometrische Formen ohne abgerundete Seiten. Diese Seiten sind die Flächen (F) des Polyeders.
Das Zusammentreffen der Flächen nennen wir Kanten (A).
Scheitelpunkte sind die Punkte, an denen sich drei oder mehr Kanten treffen.
konvexe Polyeder
Konvexe Polyeder sind geometrische Körper, die keine Konkavität aufweisen, daher gibt es auf keiner ihrer Flächen Innenwinkel von mehr als 180º.
Bei diesem Polyeder hat der blau markierte Innenwinkel mehr als 180°, es handelt sich also nicht um einen konvexen Polyeder.
Sehen Sie mehr über Polyeder.
Übungen zur Eulerschen Beziehung
Übung 1
Finden Sie die Anzahl der Flächen in einem Polyeder mit 9 Kanten und 6 Ecken.
Richtige Antwort: 5 Gesichter.
Unter Verwendung der Euler-Beziehung:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Übung 2
Ein Dodekaeder ist ein platonischer Körper mit 12 Flächen. Da Sie wissen, dass es 20 Ecken hat, bestimmen Sie die Anzahl der Kanten.
Richtige Antwort:
Unter Verwendung der Euler-Beziehung:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Übung 3
Wie heißt das Polyeder mit 4 Ecken und 6 Kanten im Verhältnis zu seiner Anzahl an Flächen, wobei die Flächen Dreiecke sind?
Antwort: Tetraeder.
Wir müssen die Anzahl der Flächen bestimmen.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Ein Polyeder, das 4 Flächen in Form von Dreiecken hat, wird Tetraeder genannt.
Wer war Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) war einer der fähigsten Mathematiker und Physiker der Geschichte und trug auch zu astronomischen Studien bei. Deutschschweizer, war er Professor für Physik an der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften und später an der Berliner Akademie. Er hat mehrere Studien zur Mathematik veröffentlicht.
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