Ein Polygon ist regelmäßig, wenn es konvex ist und alle Seiten und Winkel das gleiche Maß hat. Daher ist ein regelmäßiges Polygon gleichseitig, da alle Seiten gleich lang sind, und gleichwinklig, da alle Winkel das gleiche Maß haben.
Die Definition eines Polygons ist eine geschlossene, flache Figur, die aus nicht ausgerichteten und sich nicht schneidenden Liniensegmenten besteht. Diese Segmente sind die Seiten des Polygons, die, wenn sie regelmäßig sind, die gleiche Länge haben.
Das Zusammentreffen zweier Seiten ist ein Scheitelpunkt, und der Bereich zwischen den Seiten wird als Innenwinkel bezeichnet und in Grad gemessen. Bei regelmäßigen Polygonen sind die Winkel kongruent.
Ein Polygon hat die gleiche Anzahl von Seiten, Ecken, Innenwinkeln (ai) und Außenwinkeln (ae).
Regelmäßige Polygone sind konvex, gleichseitig und gleichwinklig, weil ihre Seiten und Winkel kongruent sind. Die drei Bedingungen müssen erfüllt sein.
Ein Polygon ist konvex, wenn jedes einzelne Segment zwei Punkte darin verbindet, ohne dass ein Teil des Segments aus der Fläche des Polygons herausfällt.
Umfang regelmäßiger Polygone
Der Umfang eines Polygons ist die Summe der Maße seiner Seiten. Wie bei einem regelmäßigen Polygon haben alle Seiten die gleiche Länge, multiplizieren Sie einfach die Länge einer Seite mit der Anzahl der Seiten des Polygons.
Wo,
P ist der Umfang,
n ist die Anzahl der Seiten,
L ist die Länge der Seiten.
Beispiel
Der Umfang eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 7 cm beträgt:
Innenwinkel
Ein Innenwinkel ist der Bereich, der zwischen zwei Seiten gebildet wird, die sich an einem Scheitelpunkt treffen. Bei einem regelmäßigen Polygon haben alle Innenwinkel das gleiche Maß.
Ebenso ist, wenn der Wert der Winkelsumme bekannt ist, das Maß eines Winkels die Summe geteilt durch die Anzahl der Winkel.
Summe der Polygoninnenwinkel
Wenn das Maß eines Innenwinkels bekannt ist, können Sie die Summe der Innenwinkel bestimmen, indem Sie ihren Wert mit der Anzahl der Winkel multiplizieren.
Wo: die Summe der Innenwinkel des Polygons ist;
ist das Maß eines Innenwinkels;
n ist die Anzahl der Innenwinkel.
Um die Summe der Innenwinkel eines Polygons zu bestimmen, ohne das Maß eines Winkels zu kennen, verwenden wir die Formel:
Beispiel
Die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Polygons mit 6 Seiten und das Maß jedes Winkels ist:
.
Das Maß für jeden Winkel ist
.
Apothem eines regelmäßigen Vielecks
Der Apothem eines regelmäßigen Polygons ist ein Liniensegment, das die Mitte des Polygons mit dem Mittelpunkt einer Seite verbindet und einen Winkel von 90° bildet.
Auf diese Weise teilt das Apothem eine Seite in zwei gleiche Teile und ist eine Winkelhalbierende, weil es die Seite genau in zwei Hälften teilt.
Die Anzahl der Apotheme eines Polygons ist gleich der Anzahl seiner Seiten. Da das Polygon regelmäßig ist, haben die Apotheme das gleiche Maß.
Fläche regelmäßiger Polygone
Eine Möglichkeit, die Fläche eines beliebigen regelmäßigen Polygons unabhängig von seiner Seitenzahl zu berechnen, besteht darin, seinen Halbumfang mit seinem Apothem zu multiplizieren.
Der Halbumfang ist der halbe Umfang.
Wo,
P ist der Halbumfang (Umfang geteilt durch zwei)
Das ist das Maß des Apothems.
Beispiel
Ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 4 cm und Apothema cm hat als Fläche:
Auflösung
Die Fläche kann als Produkt aus Apothem und Halbumfang berechnet werden.
Da ein Sechseck 6 Seiten hat, beträgt sein Umfang 6,4 = 24 cm und sein Halbumfang 24/2 = 12 cm.
Das Gebiet ist also
Sehen Sie mehr über Fläche und Umfang.
Regelmäßige Polygonübungen
Übung 1
Klassifizieren Sie Polygone als regelmäßig und nicht regelmäßig.
A: nicht regelmäßig.
B: nicht regelmäßig.
C: regelmäßig.
D: regelmäßig.
E: nicht regelmäßig.
F: regelmäßig.
Übung 2
Finden Sie die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen 10-seitigen Polygons und das Maß für jeden Winkel.
Die Summe der Winkel wird bestimmt durch:
Da das Polygon regelmäßig ist, teilen Sie einfach die Summe durch 10, um das Maß der Winkel zu bestimmen.
Übung 3
Finden Sie die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit Seiten gleich cm und Apothema gleich 4 cm.
Der Umfang des Dreiecks ist: .
Sein Halbumfang ist:
Seine Fläche ist das Produkt aus dem Apothem und dem Halbumfang.
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