Sündengesetz: Anwendung, Beispiel und Übungen

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DAS Gesetz der Sünden bestimmt, dass in jedem Dreieck die Sinusbeziehung eines Winkels immer proportional zum Maß der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite ist.

Dieser Satz zeigt, dass im gleichen Dreieck das Verhältnis zwischen dem Wert einer Seite und dem Sinus des entgegengesetzten Winkels immer Konstante.

Somit lässt das Gesetz der Sünden für ein Dreieck ABC mit den Seiten a, b, c die folgenden Beziehungen zu:

Darstellung der Sündengesetze im Dreieck

Beispiel

Zum besseren Verständnis berechnen wir das Maß der Seiten AB und BC dieses Dreiecks als Funktion des Maßes b der Seite AC.

Nach dem Sinusgesetz können wir folgende Beziehung herstellen:

Daher ist AB = 0,816b und BC = 1,115b.

Hinweis: Die Sinuswerte wurden in. konsultiert Tabelle der trigonometrischen Verhältnisse. Darin finden wir die Werte der Winkel von 1 ° bis 90 ° jeder trigonometrischen Funktion (Sinus, Kosinus und Tangens).

Die Winkel von 30º, 45º und 60º werden am häufigsten bei trigonometrischen Berechnungen verwendet. Daher werden sie bemerkenswerte Winkel genannt. Sehen Sie sich eine Tabelle mit den folgenden Werten an:

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Trigonometrische Beziehungen	30°	45°	60°
Sinus	1/2	√2/2	√3/2
Kosinus	√3/2	√2/2	1/2
Tangente	√3/3	1	√3

Anwendung des Gesetzes der Sünden

Wir verwenden das Sinusgesetz in spitzen Dreiecken, bei denen die Innenwinkel kleiner als 90º (scharf) sind; oder in stumpfen Dreiecken, die Innenwinkel größer als 90º haben (stumpf). In diesen Fällen können Sie auch die Kosinusgesetz.

Das Hauptziel der Anwendung des Gesetzes der Sünden oder des Kosinus ist es, die Abmessungen der Seiten eines Dreiecks und auch seiner Winkel zu entdecken.

Darstellung von Dreiecken nach ihren Innenwinkeln

Und das Gesetz der Sünden im Rechteckdreieck?

Wie oben erwähnt, wird das Gesetz der Sünden sowohl in spitzen als auch in stumpfen Dreiecken verwendet.

In den rechtwinkligen Dreiecken, die durch einen Innenwinkel von 90º (gerade) gebildet werden, haben wir den Satz des Pythagoras und die Beziehungen zwischen seinen Seiten verwendet: gegenüberliegende, benachbarte Seite und Hypotenuse.

Darstellung des rechtwinkligen Dreiecks und seiner Seiten

Dieser Satz hat die folgende Aussage: "die Summe der Quadrate ihrer Beine entspricht dem Quadrat ihrer Hypotenuse". Seine Formel lautet:

H² = ca²+ co²

Wenn wir also ein rechtwinkliges Dreieck haben, ist der Sinus das Verhältnis zwischen der Länge des gegenüberliegenden Beins und der Länge der Hypotenuse:

Auf der Hypotenuse steht das Gegenteil.

Der Kosinus entspricht dem Verhältnis zwischen der Länge des Nachbarbeins und der Länge der Hypotenuse, dargestellt durch den Ausdruck:

Es wird neben der Hypotenuse gelesen.

Übungen zur Aufnahmeprüfung

1.(UFPB) Das Rathaus einer bestimmten Stadt wird über einen Fluss, der diese Stadt durchquert, eine Brücke bauen, die gerade sein muss und zwei Punkte A und B an den gegenüberliegenden Ufern des Flusses verbindet. Um die Entfernung zwischen diesen Punkten zu messen, lokalisierte ein Vermesser einen dritten Punkt, C, 200 m von Punkt A entfernt und am selben Flussufer wie Punkt A. Mit einem Theodoliten (einem Präzisionsinstrument zur Messung von Horizontal- und Vertikalwinkeln, das häufig bei topographischen Arbeiten verwendet wird) beobachtete der Vermesser, dass die Winkel B C mit hochgestellter logischer Konjunktion A Leerzeichen und Leerzeichen C A mit hochgestellter logischer Konjunktion B 30º bzw. 105º gemessen, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Basierend auf diesen Informationen ist es richtig, dass die Entfernung in Metern von Punkt A zu Punkt B beträgt:

a rechter Klammerraum 200 Quadratwurzel von 2 Endraum von Wurzel b rechter Klammerraum 180 Quadratwurzel von 2 Endraum von Wurzel c Klammer rechtes Leerzeichen 150 Quadratwurzel aus 2 Leerzeichen d Rechte Klammer Leerzeichen 100 Quadratwurzel aus 2 Leerzeichen und rechte Klammer Leerzeichen 50 Quadratwurzel aus 2

Siehe Antwort

R e s p o st a Leerzeichen c o r r e t a Doppelpunkt Leerzeichen d rechte Klammer Leerzeichen 100 Quadratwurzel aus 2

Zielsetzung: Bestimmen Sie das Maß von AB.

Idee 1 - Gesetz der Sünden zur Bestimmung von AB

Die Figur bildet das Dreieck ABC, wobei die Seite AC 200 m misst und wir zwei Winkel bestimmt haben.

der Winkel sein B mit hochgestellter logischer Konjunktion gegenüber der Seite AC von 200 m und dem Winkel C gegenüber der Seite AB können wir AB durch. bestimmen Sündengesetz.

Zähler A B über Nenner s und n Leerzeichen 30 Grad Vorzeichen Bruchende Leerzeichen gleich Leerzeichen Zähler A C über Nenner s und n Leerzeichen start style show B mit logischer Konjunktion hochgestellt end style end of Fraktion

DAS Sündengesetz bestimmt, dass die Verhältnisse zwischen den Maßen der Seiten und den Sinus der gegenüberliegenden Winkel in Bezug auf diese Seiten im gleichen Dreieck gleich sind.

Idee 2 - Bestimmen Sie den Winkel

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°, also können wir den Winkel B bestimmen.

B + 105° + 30° = 180°
B = 180° - 105° - 30°
B = 45°

Ersetzen des Wertes von B mit hochgestellter logischer Konjunktion im Sinusgesetz und machen die Berechnungen.

Zähler A B Raum über Nenner s und n Raum 30 Grad Vorzeichen Ende des Bruches Raum gleich Zählerraum A C über Nenner Raum s und n Raum B Bruchende Zähler A B Raum über Nenner s und n Raum 30 Grad Vorzeichen Bruchende Raum gleich Zählerraum A C über Nenner Raum s en Leerzeichen 45-Grad-Zeichen Ende des Bruchs Zähler A B Leerzeichen über dem Nenner Startstil zeigen 1 halbes Ende des Stils Ende des Bruchs Leerzeichen gleich Zählerraum A C über Nennerraum Startstil Zähler Quadratwurzel von 2 über Nenner 2 Ende des Bruchs Ende des Stils Ende des Bruchs 2 A B Raum gleich Zähler 2 A C über Nenner Quadratwurzel von 2 Ende des Bruchs A B Raum gleich Zähler A C über Nenner Quadratwurzel von 2 Ende des Bruchs

Beachten Sie, dass ein Nenner eine Quadratwurzel hat. Lassen Sie uns diese Wurzel ziehen, indem wir die Rationalisierung durchführen, die die Multiplikation sowohl des Nenners als auch des Zählers des Bruchs mit der Wurzel selbst ist.

A B Raum gleich Zähler A C über Nenner Quadratwurzel von 2 Ende des Bruches Raum gleich Zähler A C Raum. Quadratwurzelraum von 2 über Nenner Quadratwurzel von 2 Raum. Quadratwurzelraum von 2 Ende des Bruchs Raum gleich Zählerraum A C-Raum. Raum Quadratwurzel von 2 über Nenner Quadratwurzel von 4 Ende des Bruchs Raum gleich Zählerraum A C Raum. Quadratwurzelraum von 2 über Nenner 2 Ende des Bruchs

Ersetzen des AC-Werts haben wir:

Ein B-Raum gleich dem Raum-Zähler 200 Raum. Raum Quadratwurzel von 2 über Nenner 2 Ende des Bruchs Raum gleich Raum 100 Quadratwurzel von 2

Daher ist der Abstand zwischen den Punkten A und B 100 Quadratwurzel aus 2 m Raum .

2. (Mackenzie – SP) Drei Inseln A, B und C erscheinen auf einer Karte im Maßstab 1:10000, wie in der Abbildung gezeigt. Von den Alternativen ist diejenige, die den Abstand zwischen den Inseln A und B am besten annähert:

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Siehe Antwort

Richtige Antwort: e) 1,7 km

Zweck: Um das Maß des Segments AB zu bestimmen.

Idee 1: Verwenden Sie das Sinusgesetz, um das Maß von AB. zu finden

Gesetz der Sünden: Die Abmessungen der Seiten eines Dreiecks sind proportional zu den Sinus ihrer entgegengesetzten Winkel.

Zähler 12 über Nenner s und n Leerzeichen 30 Bruchende Leerzeichen gleich Leerzeichen Zähler A B über Nenner Leerzeichen s und n Leerzeichen Startstil zeigen C mit logischer Konjunktion hochgestellter Endstil Ende von Raumanteil

Idee 2: Bestimmen Sie den Winkel

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Idee 3: Wende den Wert von C im Sinusgesetz an

Zähler 12 über Nenner s und n Leerzeichen 30 Bruchende Leerzeichen gleich Leerzeichen Zähler A B über Nenner space s und n space start style show 45 end of style end of break space 12 space. Raum s und n Raum 45 Raum gleich Raum A B Raum. Leerzeichen s und n Leerzeichen 30 12 Leerzeichen. Zählerraum Quadratwurzel von 2 über Nenner 2 Ende des Bruches Raum gleich Raum A B Raum. Leerraum 1 Mitte 6 Wurzel aus 2 Leerraum gleich Zähler A B über Nenner 2 Ende des Bruchs 12 Wurzel aus 2 Leerraum gleich Leerraum A B

Idee 4: Nähern Sie den Quadratwurzelwert und verwenden Sie die Skala

Herstellung Quadratwurzel aus 4 ungefähr gleiches Leerzeichen 1 Komma 4

12. 1,4 = 16,8

Der Maßstab sagt 1:10000, multipliziert mit:

16,8. 10000 = 168 000 cm

Idee 5: von cm zu km. wechseln

168 000 cm / 100 000 = 1,68 km

Fazit: Da die berechnete Entfernung 1,68 km beträgt, ist die nächste Alternative der Buchstabe e.

Hinweis: Um von cm zu km zu gelangen, dividieren wir durch 100 000, da wir auf der folgenden Skala von Zentimetern zu km 5 Stellen nach links zählen.

km -5- hm -4- Damm -3- m -2- dm -1- cm mm

3. (Unifor-CE) Es ist bekannt, dass in jedem Dreieck das Maß jeder Seite direkt proportional zum Sinus des der Seite gegenüberliegenden Winkels ist. Aus diesen Informationen schließen wir, dass das Maß der Seite AB des unten gezeigten Dreiecks ist: