Was sind Primzahlen?

Primzahlen sind solche, die nur zwei Teiler haben: einen und die Zahl selbst. Sie sind Teil der Menge der natürlichen Zahlen.

Zum Beispiel ist 2 eine Primzahl, da sie nur durch eins und sich selbst teilbar ist.

Wenn eine Zahl mehr als zwei Teiler hat, werden sie zusammengesetzte Zahlen genannt und können als Produkt von Primzahlen geschrieben werden.

Zum Beispiel ist 6 keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl, da sie mehr als zwei Teiler (1, 2 und 3) hat und als Produkt zweier Primzahlen 2 x 3 = 6 geschrieben wird.

Einige Überlegungen zu Primzahlen:

• Die Zahl 1 ist keine Primzahl, da sie nur durch sich selbst teilbar ist;
• Die Zahl 2 ist die kleinste Primzahl und auch die einzige gerade;
• Die Zahl 5 ist die einzige Primzahl, die auf 5 endet;
• Die anderen Primzahlen sind ungerade und enden mit den Ziffern 1, 3, 7 und 9.

Wie erkennt man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Eine Möglichkeit, eine Primzahl zu finden, besteht darin, das Sieb des Eratosthenes zu verwenden.

1. Erstellen Sie eine Tabelle und schreiben Sie die Zahlen in einen Bereich, zum Beispiel von 1 bis 100.
2. Die Zahl 1 kann eliminiert werden, da sie keine Primzahl ist.
3. Markieren Sie alle Primzahlen kleiner als 10 (2, 3, 5 und 7) mit verschiedenen Farben.
4. Eliminieren Sie Vielfache dieser Zahlen, indem Sie sie mit ihren jeweiligen Farben markieren.
5. Die restlichen Zahlen in der Tabelle, die nicht überprüft wurden, sind die Primzahlen.

Aus der Tabelle können wir sehen, dass es 25 Primzahlen zwischen 1 und 100 gibt. Sind sie:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.

Eine andere Möglichkeit, eine Primzahl zu erkennen, besteht darin, Divisionen mit der untersuchten Zahl durchzuführen. Um den Prozess zu vereinfachen, sehen Sie sich einige an Teilbarkeitskriterien.

Teilbarkeit durch 2: jede Zahl, deren Einerziffer gerade ist, ist durch 2 teilbar;

Teilbarkeit durch 3: eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern eine durch 3 teilbare Zahl ist;

Teilbarkeit durch 5: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die Einheitsziffer 0 oder 5 ist.

Wenn die Zahl nicht durch 2, 3 und 5 teilbar ist, werden die Divisionen mit den nächsten Primzahlen kleiner als die Zahl fortgesetzt, bis:

• Wenn es sich um eine exakte Division handelt (Rest gleich Null), dann ist die Zahl keine Primzahl.
• Wenn es sich um eine ungenaue Division (Rest ungleich Null) handelt und der Quotient kleiner als der Teiler, dann ist die Zahl eine Primzahl.
• Wenn es sich um eine ungenaue Division (Rest ungleich Null) handelt und der Quotient gleich dem Teiler, dann ist die Zahl eine Primzahl.

Gelöstes Beispiel: Überprüfen Sie, ob die Zahl 113 eine Primzahl ist.

Über Nummer 113 haben wir:

• Es hat nicht die letzte gerade Ziffer und ist daher nicht durch 2 teilbar;
• Die Summe ihrer Ziffern (1+1+3 = 5) ist keine durch 3 teilbare Zahl;
• Es endet nicht auf 0 oder 5 und ist daher nicht durch 5 teilbar.

Wie wir gesehen haben, ist 113 nicht durch 2, 3 und 5 teilbar. Es bleibt nun abzuwarten, ob es durch Primzahlen, die kleiner als es sind, durch Divisionsoperation teilbar ist.

Division durch Primzahl 7:

Division durch Primzahl 11:

Beachten Sie, dass wir zu einer ungenauen Division gekommen sind, deren Quotient kleiner als der Divisor ist. Dies beweist, dass die Zahl 113 eine Primzahl ist.

Primzahlen von 1 bis 1000

Schauen Sie sich die 168 Primzahlen zwischen 1 und 1000 an.

Primzahlen von 1 bis 10:
2, 3, 5, 7
Primzahlen von 10 bis 100:
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Primzahlen von 100 bis 200:
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
Primzahlen von 200 bis 300:
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293
Primzahlen von 300 bis 400:
307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
Primzahlen von 400 bis 500:
401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499
Primzahlen von 500 bis 600:
503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599
Primzahlen von 600 bis 700:
601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691
Primzahlen von 700 bis 800:
701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797
Primzahlen von 800 bis 900:
809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887
Primzahlen von 900 bis 1000:
907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

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