Du irrationelle tal forårsagede stor uro hos matematikere i lang tid. I dag, allerede veldefineret, kender vi som et irrationelt tal den, hvis decimalrepræsentation er altid en ikke-periodisk decimal. Det vigtigste kendetegn ved irrationelle, og hvad der adskiller dem fra rationelle tal, er at de kan ikke repræsenteres af en brøkdel.
Undersøgelsen af irrationelle tal blev uddybet, når der blev fundet ikke-nøjagtige rødder ved beregning af problemer med Pythagoras sætning. Handlingen med at lede efter en løsning på disse unøjagtige rødder gjorde eksistensen af ikke-nøjagtige tiende bemærkelsesværdig. periodisk, det vil sige af tal, hvis decimaldel er uendelig og ikke har en god sekvens. defineret. De vigtigste irrationelle tal er ikke-periodiske decimaler, ikke-nøjagtige rødder og π.
Læs også: Kvadratrod - tilfælde af rodning, hvor det radikale indeks er 2
Sæt med irrationelle tal
Før undersøgelsen af irrationelle tal blev sæt numre undersøgt naturlig
, heltal og rationelle. Når man dybere dybere ned i studiet af rektangeltrekanten, blev det klart, at der er nogle rødder, der ikke har nogen nøjagtig løsningisær var det muligt at se, at ikke-nøjagtige rodløsninger er tal kendt som ikke-periodiske tiende.Midt i denne uro har mange matematikere uden held forsøgt at demonstrere, at unøjagtige rødder er rationelle tal og som kan repræsenteres som en brøkdel, men hvad der blev realiseret var, at disse tal ikke kunne repræsenteres i dette form. Da indtil nu sættet med rationelle tal ikke omfattede disse tal, opstod behovet for at oprette et nyt sæt, kendt som sættet med irrationelle tal.
Et tal er irrationelt, når dets decimalrepræsentation er en ikke-periodisk decimal. |
Hvad er irrationelle tal?
For at være et irrationelt tal skal det tilfredsstille definitionen, dvs. dens decimalrepræsentation er en ikke-periodisk decimal. Hovedkarakteristikken ved ikke-periodiske decimaler er, at de ikke kan repræsenteres ved hjælp af en brøkdel, hvilket viser, at irrationelle tal er det modsatte af rationelle tal.
De vigtigste tal med denne funktion er rødder ikke nøjagtige.
Eksempler:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Når vi leder efter ikke-nøjagtige rodløsninger, det vil sige altid at udføre decimalrepræsentationen af disse tal vi finder en ikke-periodisk decimal, som gør disse tal til elementer i sættet af irrationel.
Ud over ikke-nøjagtige rødder er der ikke-periodiske decimaler, for eksempel, hvis vi beregner ikke-nøjagtige rødder, finder vi en ikke-periodisk decimal.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Irrationelle tal er almindeligt repræsenteret af græske bogstaver, fordi det ikke er muligt at skrive alle dens decimaler.
Den første er π (læs: pi), til stede i beregningen af areal og omkreds af cirkler. Har en værdi lig med 3,1415926535…
Ud over π er et andet meget almindeligt tal ϕ (læs: fi). Han findes i problemer, der involverer del gylden. Det har en værdi lig med 1.618033 ...
Se også: Hvad er primtal?
rationelt og irrationelt tal
Når man analyserer antal sæt, det er vigtigt at skelne mellem rationelle tal og irrationelle tal. Foreningen af disse to sæt danner et af de mest studerede sæt i matematik, sæt af realer, det vil sige sæt af reelle tal det er sammenføjningen af tal, der kan repræsenteres som brøker (rationelle) med tal, der ikke kan repræsenteres som brøker (irrationelle).
I sæt af rationelle tal, der er heltalene, de naturlige, de nøjagtige decimaler og de periodiske decimaler.
Eksempler på rationelle tal:
-60 → heltal
2,5 → nøjagtig decimal
5.1111111… → periodisk decimal
De irrationelle tal er ikke-periodiske decimaler, så der er intet tal, der er rationelt og irrationelt på samme tid.
Eksempel på irrationelle tal:
1.123149… → ikke-periodisk tiende
2.769235… → ikke-periodisk tiende
Operationer med irrationelle tal
addition og subtraktion
DET tilføjelse og subtraktion af to irrationelle tal er normalt lige repræsenteret, medmindre der anvendes en decimal tilnærmelse af disse tal, for eksempel:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Vi kan ikke tilføje eller trække værdierne på grund af radikaler, så vi har lige efterladt den angivne operation.
I decimalrepræsentationer er det heller ikke muligt at udføre den nøjagtige sum, så For at tilføje to irrationelle tal har vi brug for en rationel tilnærmelse., og denne repræsentation vælges efter behovet for præcision af disse data. Jo flere decimaler vi overvejer, jo tættere på den nøjagtige sum får vi.
Observation:sættet med irrationelle tal er ikke lukket for addition eller subtraktion, det betyder, at summen af to irrationelle tal kan resultere i et tal, der ikke er rationelt. For eksempel, hvis vi beregner forskellen på et irrationelt tal med det modsatte, skal vi:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Vi ved, at 0 ikke er et irrationelt tal.
Multiplikation og division
Multiplikationen og division af irrationelle tal kan gøres, hvis repræsentationen er en strålingmen ligesom tilføjelse, i decimalrepræsentation, det vil sige at multiplicere eller dividere to decimaler, kræves en rationel tilnærmelse af dette tal.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Bemærk også, at i eksempel b er 4 et rationelt tal, hvilket betyder, at multiplikationen og delingen af to irrationelle tal ikke lukkes, dvs. de kan have et rationelt resultat.
løste øvelser
Spørgsmål 1 - Gennemgå følgende tal:
I) 3.1415926535
II) 4.1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Disse er irrationelle tal:
A) Kun I, IV og V
B) Kun II, III og VI
C) Kun II, IV og VI
D) Kun I, II, III og VI
E) Kun III, IV, V og VI
Løsning
Alternativ B
I → tallet er nøjagtig decimal, rationel.
II → tallet er en ikke-periodisk, irrationel decimal.
III → π er irrationel, og dens dobbelte, dvs. 2π, er også irrationel.
IV → tallet er en periodisk, rationel decimal.
V → nøjagtig, rationel rod.
VI → rod ikke nøjagtig, irrationel.
Spørgsmål 2 - Bedøm følgende udsagn:
I - Sættet med reelle tal er foreningen af rationel og irrationel;
II - Summen af to irrationelle tal kan være et rationelt tal;
III - Tiende er irrationelle tal.
Når vi analyserer udsagnene, kan vi sige det:
A) Kun udsagn I er sandt.
B) Kun udsagn II er sandt.
C) Kun udsagn III er sandt.
D) Kun udsagn I og II er sande.
E) Alle udsagn er sande.
Løsning
Alternativ D
I → Sandt, fordi definitionen af sættet med reelle tal er foreningen mellem rationel og irrationel.
II → Sandt, når vi tilføjer et tal til det modsatte af det, vil vi som et resultat have tallet 0, som er rationelt.
III → Falske, ikke-periodiske tiende er irrationelle.
Af Raul Rodrigues de Oliveira
Matematiklærer
Kilde: Brasilien skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
