Permutationer er en del af tælleproblemer. Vi bruger permutationer til at kende antallet af rækkefølger af elementerne i et sæt. Øv din viden om permutation og løs din tvivl med de løste øvelser.
Øvelse 1
To venner spillede med sekssidede terninger. Det er kendt, at nummer 4, 1, 2 og 5 kom ud, ikke nødvendigvis i den rækkefølge. Hvor mange sekvenser af resultater kunne der have været?
Svar: 24
En vis rækkefølge af resultater kunne være:
1, 2, 4 og 5 eller
5, 4, 5 og 1 eller
4, 5, 1 og 2
For at bestemme det samlede antal mulige bestilling beregner vi en permutation med fire forskellige elementer.
Øvelse 2
En gruppe på seks venner gik for at se en film i biografen og købte deres billetter til den samme sæderække. I betragtning af at der er et par og de sad i nabostole, på hvor mange måder kunne disse venner passe ind i stolerækken?
Svar: 240
Da alle elementer i "venner"-sættet tages med i beregningen, er det et permutationsproblem.
For at beregne det samlede mulige antal permutationer overvejede vi 5 elementer, da parret altid skal være sammen.
Desuden skal vi af disse 120 muligheder gange med to, da parret kan bytte plads med hinanden.
Således er antallet af mulige måder for venner at organisere sig i stolerækken på:
120. 2 = 240
Øvelse 3
En klasse på 7 elever leger i gården og udnytter deres frikvarter. Efter at de hører signalet, der informerer tilbagevenden til klasseværelserne, bevæger eleverne sig for at danne en linje. På hvor mange forskellige måder kan eleverne danne køsekvensen?
Svar: 5040
Det samlede antal mulige måder at organisere køen på er en permutation af 7 forskellige elementer.
Øvelse 4
En fotograf justerer sit kamera til at fotografere 5 børn arrangeret på en bænk. I denne gruppe er der 3 piger og 2 drenge. Et muligt arrangement af børnene til billedet ville være:
I betragtning af de positioner, hvor børn kan sidde på bænken, på hvor mange måder kan fotografen organisere drengene og pigerne og få forskellige billeder?
Svar: 10
Dette er et tilfælde af permutation med gentagne elementer. Vi skal dividere det samlede antal permutationer med produktet mellem permutationerne af de elementer, der gentages.
Øvelse 5
Hvor mange anagrammer kan der laves med bogstaverne i ordet PREFEITURA?
Svar: 907 200
Ordet RÅDHUS har 10 bogstaver, hvoraf nogle gentages. Bogstavet E vises to gange, ligesom R.
Vi beregner divisionen mellem permutationen af 10 elementer og dividerer med produktet af permutationerne af gentagne elementer.
Øvelse 6
(UEMG 2019) Fra sættet af alle permutationer af bogstaverne i ordet PONTA fjernes en tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for at fjerne et ord, der begynder og slutter med en vokal?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Trin 1: antallet af alle permutationer med bogstaverne i ordet PONTA.
Da der er fem forskellige bogstaver, har vi:
Trin 2: antal permutationer, der begynder og slutter med en vokal.
For det første bogstav er der to vokalmuligheder, for det sidste bogstav vil der kun være 1.
For konsonanter er der 3! muligheder.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Trin 3: Bestem sandsynlighedsforholdet.
Øvelse 7
(EsPCex 2012) Sandsynligheden for at opnå et tal, der er deleligt med 2, når man tilfældigt vælger en af permutationerne af cifrene 1, 2, 3, 4, 5 er
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Trin 1: samlede permutationer.
Da der er fem forskellige elementer, har vi, at antallet af permutationer af 5 elementer er lig med 5 faktorielle.
Trin 2: permutationer af tal delelige med to med de fem cifre.
For at være delelig med 2 er betingelsen, at den er lige. Der er således to muligheder for det sidste ciffer, 2 og 4.
Til de øvrige stillinger er der 4! muligheder.
Trin 3: sandsynlighedsberegning.
Øvelse 8
(EsFCEx 2022) Lad P være sættet af permutationer af sekvensen 1, 3, 6, 9, 12, hvor det første led er forskelligt fra 1. Hvis en af disse sekvenser tegnes tilfældigt, er sandsynligheden for, at det andet led er 3, lig med p/q, med p, q ∈ IN* og gcd (p, q) = 1. Derfor er q – p lig med
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Trin 1: Bestem antallet af samlede mulige tilfælde i prøverummet.
Fra højre til venstre kan det første tal ikke være ét, så der er 4 muligheder for at indtage den første position.
Der er 4 til at besætte de andre positioner! muligheder.
Permutationerne er:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Trin 2: Bestem mulighederne for, at begivenheden indtræffer, den anden er tre, den første er forskellig fra en.
Permutationerne er:
3.1.3.2.1 = 18
Trin 3: sandsynlighedsforhold.
Sandsynlighedsforholdet er:
Med p = 18 og q = 96.
Der er dog stadig den betingelse, at den største fælles divisor mellem p og q er 1, hvilket ikke forekommer med 18 og 96.
Vi skal forenkle og teste brøker svarende til 18/96.
Trin 4: simplificering af sandsynlighedsbrøken og bestemmelse af p og q.
Som gcd (3, 16) = 1, p = 3 og q = 16.
Trin 5: konklusion.
q - p = 16 - 3 = 13
Lær mere om permutation.
For flere øvelser, se:
Kombinatoriske analyseøvelser
ASTH, Rafael. Permutationsøvelser løst og forklaret.Alt betyder noget, [n.d.]. Tilgængelig i: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Adgang på:
Se også
- Kombinatorisk analyse
- Kombinatoriske analyseøvelser
- Permutation: enkel og med gentagelse
- Arrangement i matematik: hvad det er, hvordan man regner, eksempler
- 27 Grundlæggende matematikøvelser
- Kombination i matematik: hvordan man regner og eksempler
- Sandsynlighedsøvelser
- Sandsynlighed
