Trigonometriøvelser i højre trekant kommenterede

Trigonometri er et vigtigt tema i matematik, der gør det muligt at kende sider og vinkler i en ret trekant gennem sinus, cosinus og tangens ud over andre trigonometriske funktioner.

For at forbedre dine studier og udvide din viden skal du følge listen over 8 øvelser plus 4 spørgsmål til optagelseseksamen, alt sammen løst trin for trin.

Øvelse 1

Om morgenen observerede skyggen af en bygning på jorden, fandt en person, at den målte 63 meter, når solens stråler gjorde en vinkel på 30 ° med overfladen. Baser på disse oplysninger, beregne bygningens højde.

Se svar

Korrekt svar: Ca. 36,37 m.

Bygningen, skyggen og solens stråle bestemmer en rigtig trekant. Ved hjælp af 30 ° vinklen og tangenten kan vi bestemme bygningens højde.

$tan g e n t e space svarer til tæller space c a t e t o space o po s t o over nævneren c a t e t space a d j a c e n t e end of fraction$

Da bygningens højde er h, har vi:

tan plads 30 graders tegn plads lig med plads h over 63 plads plads h plads lig med plads 63 plads multiplikation tegn plads tan rum 30 graders tegn plads plads plads plads h plads svarende til plads 63 plads multiplikation tegn plads tæller kvadratroden af 3 ca. nævner 3 slutning af brøk h rum svarende til plads 21 kvadratrode af 3 rum m h plads omtrent lige plads 36 komma 37 plads m

Øvelse 2

På en omkreds med en diameter på 3 danner et segment AC, kaldet en akkord, en 90 ° vinkel med en anden akkord CB af samme længde. Hvad er målene for strengene?

Se svar

Korrekt svar: rebets længde er 2,12 cm.

Da segmenterne AC og CB danner en vinkel på 90 ° og har samme længde, er den dannede trekant ligebenede og basisvinklerne er ens.

instagram story viewer

Da summen af de indre vinkler i en trekant er lig med 180 °, og vi allerede har en vinkel på 90 °, er der endnu 90 ° tilbage, der skal opdeles ligeligt mellem de to basisvinkler. Således er værdien af disse lig med 45º hver.

Da diameteren er lig med 3 cm, er radiusen 1,5 cm, og vi kan bruge cosinus på 45 ° til at bestemme længden af strengen.

cos rum 45 graders tegn plads lig med tæller 1 komma 5 over nævneren c o rd slutningen af fraktionen c o rd et mellemrum lig med rummet tæller 1 komma 5 over nævneren cos rum 45 graders tegn slutning af brøk c eller d et mellemrum svarende til plads tæller 1 komma 5 over nævneren start stil vis tæller kvadratroden af 2 over nævneren 2 slutningen af brøkdelen slutningen af stilen slutningen af brøk c o rd et mellemrum er lig med plads 1 komma 5 rum multiplikationstegn plads tæller 2 over nævneren kvadratroden af 2 slutningen af fraktion c eller d en omtrent lige stor plads 2 komma 12 mellemrum cm

Øvelse 3

En cyklist, der deltager i et mesterskab, nærmer sig målstregen øverst i en skråning. Den samlede længde af denne sidste del af testen er 60 m, og vinklen dannet mellem rampen og den vandrette er 30 °. Når du ved dette, beregner du den lodrette højde, som cyklisten skal klatre.

Se svar

Korrekt svar: Højden vil være 30 m.

Når vi kalder højden h, har vi:

s og n mellemrum 30. plads svarende til rumtæller h mellemrum over nævneren 60 slutning af brøkdel rum h rum svarende til mellemrum 60 plads tegn på multiplikationsrum s og n 30 graders tegnrum h rum svarende til plads 60 plads multiplikationsskilt plads 1 halvt h rum svarende til rum 30 m plads

Øvelse 4

Den følgende figur er dannet af tre trekanter, hvor højden h bestemmer to rette vinkler. Elementværdierne er:

α = 30°
β = 60°
h = 21

Find værdien af a + b.

Se svar

Ret svar:

Vi kan bestemme målingerne af segment a og b ved hjælp af tangenterne for de givne vinkler.

Beregning af a:

tan plads alfa plads lig med plads a over h plads plads et rum svarende til plads h plads multiplikation tegn rum tan alfa plads plads a plads svarende til plads 21 plads multiplikation tegn plads tæller kvadratroden af 3 over nævneren 3 slutningen af brøkdelen plads lig med 7 kvadratroden af 3

Beregning af b:

Dermed,

et mellemrum plus mellemrum b mellemrum er lig med plads 28 kvadratroden af 3

Øvelse 5

Et fly startede fra by A og fløj 50 km i lige linje, indtil det landede i by B. Derefter fløj den yderligere 40 km, denne gang mod retning D. Disse to ruter er i en vinkel på 90 ° i forhold til hinanden. På grund af ugunstige vejrforhold modtog piloten imidlertid en meddelelse fra kontroltårnet, der informerede ham om, at han ikke kunne lande i by D, og at han skulle vende tilbage til by A.

For at gøre U-sving fra punkt C, ville piloten være nødt til at dreje hvor mange grader til højre?

Overveje:

sin 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
tan 51 ° = 1,25

Se svar

Korrekt svar: Piloten skal dreje 129 ° til højre.

Når vi analyserer figuren, ser vi, at stien danner en ret trekant.

Lad os kalde den vinkel, vi leder efter W. Vinklerne W og Z er supplerende, dvs. de danner en lavvinkel på 180 °.

Således er W + Z = 180 °.

W = 180 - Z (ligning 1)

Vores opgave er nu at bestemme Z-vinklen, og til det skal vi bruge dens tangens.

tan plads Z plads lig med plads 50 over 40 tan plads Z plads lig med plads 1 komma 25

Vi må spørge os selv: Hvad er vinklen, hvis tangens er 1,25?

Problemet giver os disse data, tan 51 ° = 1,25.

Denne værdi kan også findes i en trigonometrisk tabel eller med en videnskabelig lommeregner ved hjælp af funktionen:

tan til kraften af minus 1 ende af den eksponentielle

Ved at erstatte værdien af Z i ligning 1 har vi:

W = 180 ° - 51 ° = 129 °

Øvelse 6

En stråle af monokromatisk lys, når den passerer fra et medium til et andet, lider afvigelse mod det. Denne ændring i dets formering er relateret til mediens brydningsindeks, som vist i følgende forhold:

Snells lov - Descartes

s og n mellemrum r mellemrum x mellemrum n med 2 abonnementsrum svarende til mellemrum s og n mellemrum i mellemrum x mellemrum n med 1 abonnement

Hvor i og r er vinklerne for indfald og brydning, og n1 og n2, brydningsindekserne for middel 1 og 2.

Når man rammer overfladen af adskillelsen mellem luft og glas, ændrer en lysstråle sin retning som vist på figuren. Hvad er glasets brydningsindeks?

Data: Luftbrydningsindeks lig med 1.

Se svar

Korrekt svar: Glasets brydningsindeks er lig med kvadratroden af 3 .

Udskiftning af de værdier, vi har:

s og n mellemrum 30 graders tegnrummultiplikation tegnrum n med vi i d r abonnementsenden af abonnementsrum svarende til pladsplads n med en r abonnements slutning af abonnementsrums tegn på multiplikationsrum s og n mellemrum 60 graders tegnrum n med vi i d r abonnementsenden af abonnementsrum svarende til tællerplads n med et r plads abonnements slut af abonnements tegn på multiplikationsrum s e n mellemrum 60 graders tegn over nævner s e rum mellemrum 30 graders tegn slutning af brøkdel n med v i d r abonnementets ende af abonnementsrummet lig med plads tæller 1 mellemrum multiplikationstegn start stil visning tæller kvadratroden af 3 over nævneren 2 slut fraktion slut stil over nævneren start stil vis 1 midterste stil stil slut brøkdel n med v i d r tegnet slutningen af tegnet plads lig med tælleren plads kvadratroden af 3 over nævneren 2 slutningen af brøkdelen plads multiplikation tegn plads 2 over 1 mellemrum lig med kvadratroderum på 3

Øvelse 7

For at trække en træstamme ind i sit værksted bundet en låsesmed et reb til stammen og trak den 10 meter over en vandret overflade. En kraft på 40 N gennem strengen lavede en vinkel på 45 ° med kørselsretningen. Beregn arbejdet for den påførte kraft.

Se svar

Korrekt svar: Det udførte arbejde er ca. 84,85 J.

Arbejde er en skalar mængde opnået af produktet af kraft og forskydning. Hvis kraften ikke har samme retning som forskydningen, skal vi nedbryde denne kraft og kun betragte komponenten i denne retning.

I dette tilfælde skal vi multiplicere kraftens størrelse med vinkelens cosinus.

Så vi har:

T-rummet er lig med F-rummet. rum d rum. space cos space 45 graders tegn T space svarer til space 40 space. plads 3 plads. plads tæller kvadratroden af 2 over nævneren 2 slutningen af brøkdel T plads svarende til plads 60 plads. 2 T kvadratroderum tilnærmelsesvis ens plads 84 komma 85 J rum

Øvelse 8

Mellem to bjerge måtte beboerne i to landsbyer rejse hårdt op og ned. For at løse situationen blev det besluttet, at der skulle bygges en kabelbro mellem landsbyerne A og B.

Det ville være nødvendigt at beregne afstanden mellem de to landsbyer ved den lige linje, hvorpå broen ville blive strakt. Da beboerne allerede vidste byernes højde og stigningerne, kunne denne afstand beregnes.

Baseret på nedenstående diagram og vel vidende, at byernes højde var 100 m, skal du beregne broens længde.

Se svar

Korrekt svar: Broen skal have en længde på ca. 157,73 m.

Broens længde er summen af siderne, der støder op til de givne vinkler. Når vi kalder højden h, har vi:

Beregning med 45 ° vinklen

tan space 45 graders tegnrum lig med tælleren h over nævneren c a t e t the space a d j a c e n t og slutningen af fraktionen c a t e t the space a d j a c e n t e space svarende til space teller h over nævneren tan space 45 graders tegn slutning af fraktion c a t e t space a d j a c e n t e equal space en mellemrumstæller 100 over nævneren startstil vis 1 slutningen af stilen slutningen af brøk c a t e t space a d j a c e n t e space svarende til 100 space m

Beregning med en vinkel på 60 °

$tan plads 60 graders tegnrum lig med tælleren h over nævneren c a t e t the space a d j a c e n t e end of the fraction c a t e t the space a d j a c e n t e mellemrum svarende til rumtæller h over nævneren tan rum 60 graders tegn slutning af brøk c a t e t mellemrum a d j a c e n t e mellemrum lig med plads tæller 100 over nævneren startstil viser kvadratroden af 3 slutningen af stilen slutningen af brøk c a t e t space a d j a c e n t e space approximativt lige mellemrum 57 komma 73 m plads$

For at bestemme broens længde summerer vi de opnåede værdier.

c o m pr i m e n t plads er lig med plads 100 plads plus plads 57 komma 73 plads omtrent lige plads 157 komma 73 plads m

Spørgsmål 1

Cefet - SP

I trekanten ABC nedenfor er CF = 20 cm og BC = 60 cm. Marker målingerne af henholdsvis segmenterne AF og BE.

a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5

Se svar

Svar: b) 10, 20

At bestemme AF

Vi bemærker, at AC = AF + CF, så vi skal:

AF = AC - CF (ligning 1)

CF er givet af problemet, der er lig med 20 cm.

AC kan bestemmes ved hjælp af 30 ° sinus.

s og n mellemrum 30 graders tegnrum svarende til rumtæller A C over nævner B C slutning af brøkdel mellemrum A C mellemrum lig med mellemrum B C rummultiplikationstegn rum s og n mellemrum 30 graders tegn plads

BC leveres af problemet, der er lig med 60 cm.

A C-plads er lig med plads 60 mellemrum multiplikationstegn plads 1 halvdel er lig med plads 30 mellemrum c m.

Ved at erstatte i ligning 1 har vi:

A F-rum er lig med rum A C-rum minus rum C F-rum-rum A F-rum er lig med rum 30 rum minus rum 20 rum er lig med plads 10 rum c m

At bestemme BE

Første observation:

Vi verificerer, at figuren inde i trekanten er et rektangel på grund af de rette vinkler bestemt i figuren.

Derfor er deres sider parallelle.

Anden observation:

BE-segmentet danner en retvinklet trekant med en vinkel på 30 ° hvor: højden er lig med AF, som vi netop har bestemt, og BE er hypotenusen.

Beregning:

Vi bruger 30 ° sinus til at bestemme BE

s og n mellemrum 30 graders tegnrum svarende til 10 tællerrum over nævneren B E slutning af brøkrum B rum E rum lig med 10 tællerrum over nævneren s og n mellemrum 30 gradstegn slutning af brøkrum B E rum svarende til plads tæller 10 over nævneren start stil viser 1 midterste ende af stil slut fraktion B E plads lig med mellemrum 20 mellemrum c m

spørgsmål 2

EPCAR-MG

Et fly starter fra punkt B under en konstant hældning på 15 ° til vandret. 2 km fra B er den lodrette fremspring C for det højeste punkt D i en 600 m høj bjergkæde, som vist i figuren.

Data: cos 15 ° = 0,97; sin 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27

Det er korrekt at sige, at:

a) Flyet kolliderer ikke med saven, før det når 540 m i højden.
b) Der vil være en kollision mellem flyet og saven i en højde på 540 m.
c) Flyet kolliderer med saven i D.
d) Hvis flyet starter 220 m før B og opretholder samme hældning, vil der ikke være nogen kollision mellem flyet og saven.

Se svar

Svar: b) Der vil være en kollision mellem flyet og saven i en højde af 540 m.

For det første er det nødvendigt at bruge det samme multiplum af længdemåleenheden. Derfor går vi 2 km til 2000 m.

Efter de samme indledende flyveforhold kan vi forudsige den højde, hvormed planet vil være i den lodrette projektion af punkt C.

Ved hjælp af 15 ° tangenten og definerer højden som h har vi:

tan plads 15 graders tegn plads lig med plads tæller h plads over nævneren 2000 slutning af brøkdel plads h plads lig med plads 2000 plads multiplikation tegn rum tan plads 15. rum plads h plads lig med plads 2000 rum multiplikation tegn plads 0 komma 27 rum plads plads h plads lig med plads 540 plads m

spørgsmål 3

ENEM 2018

For at dekorere en lige cirkulær cylinder anvendes en rektangulær strimmel med gennemsigtigt papir, hvorpå en diagonal, der danner 30 ° med den nederste kant, er tegnet med fed skrift. Radien på cylinderens bund måler 6 / π cm, og når båndet vikles, opnås en linje i form af en helix, som vist i figuren.

Værdien af måling af cylinderens højde i centimeter er:

a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72

Se svar

Svar: b) 24√3

Overholdende figuren bemærker vi, at der blev foretaget 6 omdrejninger omkring cylinderen. Da det er en lige cylinder, hvor som helst i dens højde, vil vi have en cirkel som base.

At beregne målene for trekantsgrunden.

Længden af en cirkel kan fås fra formlen:

Hvor r er radius e, lig med typografisk 6 på lige pi ,vi har:

2 pladser. lige mellemrum pi rum. mellemrum 6 mellemrum over lige pi

Hvordan er 6 omgange:

6 pladser. plads 2 plads. lige mellemrum pi rum. mellemrum 6 over lige pi mellemrum er lig med plads 72 mellemrum

Vi kan bruge 30 ° tan til at beregne højden.

tan plads 30 graders tegn plads lig med plads tæller a l t u r et mellemrum over nævneren b a s og slutningen af brøkdel plads mellemrum a l t u r a mellemrum svarende til rum b a s og rum multiplikation tegn rum tan rum 30 grad tegn rum a l t u r et mellemrum svarende til rum 72 rum multiplikationstegn plads tæller kvadratroden af 3 over nævneren 3 slutningen af fraktionen a l t u r et mellemrum svarende til mellemrum 24 kvadratroden af 3

spørgsmål 4

ENEM 2017

Solstråler når overfladen af en sø i en X-vinkel med dens overflade, som vist i figuren.

Under visse betingelser kan det antages, at disse stråleres lysstyrke på søoverfladen gives omtrent ved I (x) = k. sin (x), k er konstant, og forudsat at X er mellem 0 ° og 90 °.

Når x = 30º, reduceres lysstyrken til hvilken procentdel af dens maksimale værdi?

A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%

Se svar

Svar: B) 50%

Udskiftning af sinusværdien på 30 ° i funktionen får vi: