Pythagoras sætning: Løst og kommenteret øvelser

Pythagoras 'sætning indikerer, at den firkantede hypotenusemål i en ret trekant er lig med summen af ​​firkantene af benmålene.

Udnyt de løste og kommenterede øvelser for at besvare al din tvivl om dette vigtige indhold.

Foreslåede øvelser (med beslutning)

Spørgsmål 1

Carlos og Ana forlod hjemmet for at arbejde fra det samme punkt, garagen i bygningen, hvor de bor. Efter 1 min., Med en lodret sti, var de 13 m fra hinanden.

Hvis Carlos 'bil klarede 7 m mere end Ana i løbet af den tid, hvor langt var de da fra garagen?

a) Carlos var 10 m fra garagen og Ana 5 m.
b) Carlos var 14 m fra garagen og Ana 7 m.
c) Carlos var 12 m fra garagen og Ana 5 m.
d) Carlos var 13 m fra garagen og Ana var 6 m.

Se svar

Korrekt svar: c) Carlos var 12 m fra garagen og Ana 5 m.

Siderne af den højre trekant dannet i dette spørgsmål er:

• hypotenuse: 13 m
• større ben: 7 + x
• kortere ben: x

Ved at anvende værdierne i Pythagoras 'sætning har vi:

Nu anvender vi Bhaskara's formel for at finde værdien af ​​x.

Da det er et mål for længden, skal vi bruge den positive værdi. Derfor er siderne af den højre trekant dannet i dette spørgsmål:

• hypotenuse: 13 m
• længere ben: 7 + 5 = 12 m
• kortere ben: x = 5 m

Således var Ana 5 meter fra garagen og Carlos 12 meter væk.

spørgsmål 2

Da Carla ledte efter sin killing, så han ham oven på et træ. Hun bad derefter sin mor om hjælp, og de placerede en stige ved træet for at hjælpe katten ned.

Ved at vide, at katten var 8 meter fra jorden, og stigenes bund var placeret 6 meter fra træet, hvor lang var stigen brugt til at redde killingen?

a) 8 meter.
b) 10 meter.
c) 12 meter.
d) 14 meter.

Se svar

Korrekt svar: b) 10 meter.

Bemærk, at den højde, katten er i, og afstanden, hvor stigen er placeret, udgør en ret vinkel, det vil sige en 90 graders vinkel. Da stigen er placeret modsat den rigtige vinkel, svarer dens længde til hypotenusen i den rigtige trekant.

Ved at anvende de værdier, der er givet i Pythagoras 'sætning, opdager vi værdien af ​​hypotenusen.

Derfor er stigen 10 meter lang.

spørgsmål 3

Hvilke præsenterer værdierne for en ret trekant i henhold til målene i nedenstående alternativer?

a) 14 cm, 18 cm og 24 cm
b) 21 cm, 28 cm og 32 cm
c) 13 cm, 14 cm og 17 cm
d) 12 cm, 16 cm og 20 cm

Se svar

Korrekt svar: d) 12 cm, 16 cm og 20 cm.

For at finde ud af om de præsenterede mål danner en ret trekant, skal vi anvende Pythagoras sætning på hvert alternativ.

a) 14 cm, 18 cm og 24 cm

b) 21 cm, 28 cm og 32 cm

c) 13 cm, 14 cm og 17 cm

d) 12 cm, 16 cm og 20 cm

Derfor svarer målene 12 cm, 16 cm og 20 cm til siderne af en højre trekant, da kvadratet af hypotenusen, den længste side, er lig med summen af ​​kvadratet af benene.

spørgsmål 4

Bemærk følgende geometriske figurer, som har den ene side i hypotenusen af ​​en højre trekant, der måler 3 m, 4 m og 5 m.

Find højden (h) af den ligesidede trekant BCD og den diagonale værdi (d) af firkanten BCFG.

a) h = 4,33 m og d = 7,07 m
b) h = 4,72 m og d = 8,20 m
c) h = 4,45 m og d = 7,61 m
d) h = 4,99 m og d = 8,53 m

Se svar

Korrekt svar: a) h = 4,33 m og d = 7,07 m.

Da trekanten er ligesidig, betyder det, at dens tre sider har samme mål. Ved at tegne en linje, der svarer til højden af ​​trekanten, deler vi den i to højre trekanter.

Det samme gælder for firkanten. Når vi tegner dens diagonale linje, kan vi se to højre trekanter.

Anvendelse af data fra udsagnet i Pythagoras 'sætning, opdager vi værdierne som følger:

1. Beregning af trekants højde (højre trekantben):

Vi ankommer derefter til formlen til beregning af højden. Nu skal du bare erstatte værdien af ​​L og beregne den.

2. Beregning af kvadratets diagonal (hypotenus af højre trekant):

Derfor er højden af ​​den ligesidede trekant BCD 4,33, og den diagonale værdi af firkanten BCFG er 7,07.

Se også: Pythagoras sætning

Problemer med adgangseksamen løst

spørgsmål 5

(Cefet / MG - 2016) En drage, hvis figur er vist nedenfor, blev bygget i ABCDs firkantede format, idet og . pinden af dragen skærer stangen ved midtpunktet E og danner en ret vinkel. I konstruktionen af ​​denne drage måler målingerne af anvendt er henholdsvis 25 cm og 20 cm og målingen af lige med af mål for .

Under disse forhold måles målene for , i cm, er lig med

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Se svar

Korrekt alternativ: c) 55.

Når man observerer spørgsmålet, ser vi, at DE-segmentet, som vi vil finde, er det samme som BD-segmentet ved at trække BE-segmentet.

Så som vi ved, at segment BE er lig med 20 cm, er vi nødt til at finde værdien af ​​segment BD.

Bemærk, at problemet giver os følgende oplysninger:

Så for at finde mål for BD er vi nødt til at kende værdien af ​​segmentet AC.

Da punkt E deler segmentet i to lige store dele (midtpunkt), så . Derfor er det første trin at finde CE-segmentmål.

For at finde CE-måling identificerede vi, at trekanten BCE er et rektangel, at BC er hypotenusen, og BE og CE er benene, som vist på billedet nedenfor:

Vi anvender derefter Pythagoras 'sætning for at finde mål for benet.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
x² = 625 - 400
x² = 225
x = √225
x = 15 cm

For at finde kraven kunne vi også have observeret, at trekanten er pythagorean, dvs. målingerne af dens sider er flere tal af målingerne af trekanten 3, 4, 5.

Således når vi multiplicerer 4 med 5, har vi kraven på kraven (20), og hvis vi multiplicerer 5 med 5, har vi hypotenusen (25). Derfor kunne det andet ben kun være 15 (5. 3).

Nu hvor vi har fundet EC-værdien, kan vi finde de andre mål:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm

Derfor måler målene for er lig med 55 cm.

Se også: Pythagoras

spørgsmål 6

(IFRS - 2017) Overvej en ligesidet trekant med en 5√3 ܿ݉ side. Hvad er henholdsvis højden og arealet af denne trekant?

Se svar

Korrekt alternativ: e) 7,5 cm og 75√3 / 4 cm²

Lad os først tegne den ligesidede trekant og tegne højden, som vist på billedet nedenfor:

Bemærk, at højden deler basen i to segmenter af samme mål, da trekanten er ligesidet. Bemærk også, at trekanten ACD i figuren er en højre trekant.

For at finde højdemålet bruger vi således den Pythagoras sætning:

Når vi kender højdemåling, kan vi finde området gennem formlen:

spørgsmål 7

(IFRS - 2016) I nedenstående figur er værdien på henholdsvis x og y

Se svar

Korrekt alternativ: a) 4√2 og √97.

For at finde værdien af ​​x, lad os anvende Pythagoras 'sætning på den højre trekant, der har sider lig med 4 cm.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm

For at finde værdien af ​​y vil vi også bruge Pythagoras 'sætning, nu i betragtning af at det ene ben måler 4 cm og det andet 9 cm (4 + 5 = 9).

y² = 4² + 9²
y² = 16 + 81
y = √97 cm

Derfor er værdien af ​​henholdsvis x og y 4√2 og √97.

spørgsmål 8

(Apprentice Sailor - 2017) Se på nedenstående figur.

I figuren ovenfor er der en ensartet trekant ACD, hvor segmentet AB måler 3 cm, den ulige side AD måler 10√2 cm, og segmenterne AC og CD er vinkelrette. Derfor er det korrekt at anføre, at BD-segmentet måler:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm

Se svar

Korrekt alternativ: d) √149 cm

I betragtning af de oplysninger, der præsenteres i problemet, bygger vi nedenstående figur:

Ifølge figuren finder vi, at for at finde værdien af ​​x vil det være nødvendigt at finde mål for den side, vi kalder en.

Da trekanten ACD er et rektangel, anvender vi Pythagoras 'sætning for at finde værdien af ​​benet a.

Nu hvor vi kender værdien af ​​a, kan vi finde værdien af ​​x ved at overveje den rigtige trekant BCD.

Bemærk, at benet BC er lig med målingen af ​​benet minus 3 cm, det vil sige 10 - 3 = 7 cm. Ved at anvende Pythagoras 'sætning til denne trekant har vi:

Derfor er det korrekt at angive, at BD-segmentet måler √149 cm.

spørgsmål 9

(IFRJ - 2013) Sportshaven på et føderalt institut Arrozal Campus er rektangulær, 100 m lang og 50 m bred, repræsenteret af ABCD-rektanglet i denne figur.

Alberto og Bruno er to studerende, der driver sport i gården. Alberto går fra punkt A til punkt C langs diagonalen af ​​rektanglet og vender tilbage til startpunktet langs den samme sti. Bruno starter fra punkt B, går helt rundt i gården, går langs sidelinierne og vender tilbage til startpunktet. I betragtning af √5 = 2,24 anføres det således, at Bruno gik mere end Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

Se svar

Korrekt alternativ: c) 76 m.

Rektanglets diagonale deler den i to højre trekanter, hvor hypotenusen er diagonalen og siderne er lig med siderne af rektanglet.

Så for at beregne det diagonale mål, lad os anvende Pythagoras sætning:

Mens Alberto gik og kom tilbage, dækkede han 224 m.

Bruno dækkede en afstand svarende til rektangelets omkreds, med andre ord:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Derfor gik Bruno 76 m længere end Alberto (300 - 112 = 76 m).

spørgsmål 10

(Enem - 2017) For at dekorere et festbord til børn bruger en kok en sfærisk melon med en diameter på 10 cm, som vil tjene som en støtte til spyd af forskellige slik. Det fjerner en kugleformet navkapsel fra melonen, som vist i figuren, og for at sikre stabiliteten af ​​denne understøtning gør det vanskeligt for melonen at rulle på bordet, vil bossen skære, så radius r af det cirkulære snit er hår. minus 3 cm. På den anden side vil kokken have det størst mulige område i regionen, hvor slikene ordnes.

For at nå alle sine mål skal chefen skære melonhætten i en højde h, i centimeter, lig med

Se svar

Korrekt alternativ: c) 1

Ved at observere figuren præsenteret i spørgsmålet identificerede vi, at højden h kan findes ved at reducere målingen af ​​segmentet OA fra målet for kuglens radius (R).

Kuglens radius (R) er lig med halvdelen af ​​dens diameter, som i dette tilfælde er lig med 5 cm (10: 2 = 5).

Så vi er nødt til at finde værdien af ​​OA-segmentet. Til dette vil vi overveje trekanten OAB, der er repræsenteret i nedenstående figur, og anvende den Pythagoras sætning.

5² = 3² + x²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Vi kunne også finde værdien af ​​x direkte og bemærke, at det er den pythagoreanske trekant 3,4 og 5.

Så værdien af ​​h vil være lig med:

h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm

Derfor skal kokken skære melonhætten i en højde på 1 cm.

spørgsmål 11

(Enem - 2016 - 2. ansøgning) Boccia er en sport, der spilles på baner, som er fladt og plant terræn, begrænset af perimeter træplatforme. Formålet med denne sport er at kaste boule, som er kugler lavet af et syntetisk materiale, for at placer dem så tæt som muligt på bolim, som er en mindre kugle, fortrinsvis lavet af stål, tidligere lanceret. Figur 1 illustrerer en boccia-bold og en bolim, der blev spillet på en bane. Antag, at en spiller har kastet en kugle med en radius på 5 cm, som har lænet sig mod bollinen, med en radius på 2 cm, som vist i figur 2.

Overvej punkt C som centrum af bolden og punkt O som centrum for bolden. Det er kendt, at A og B er de punkter, hvor henholdsvis boccia-kuglen og bollinen berører banen på banen, og at afstanden mellem A og B er lig med d. Hvad er forholdet mellem d og bolimens radius under disse forhold?

Se svar

Korrekt alternativ: e) √10

For at beregne værdien af ​​afstanden d mellem punkterne A og B, lad os bygge en figur, der forbinder midten af ​​de to kugler, som vist nedenfor:

Bemærk, at den blå stiplede figur er formet som en trapeze. Lad os opdele denne trapes, som vist nedenfor:

Ved at opdele trapes får vi et rektangel og en ret trekant. Trekantens hypotenus er lig med summen af ​​boccia-kuglens radius med bolimens radius, det vil sige 5 + 2 = 7 cm.

Målingen af ​​et af benene er lig med d, og målingen af ​​det andet ben er lig med målingen af ​​segmentet CA, som er radius af boccia-kuglen minus bolimens radius (5 - 2 = 3) .

På denne måde kan vi finde målet på d ved at anvende Pythagoras sætning til denne trekant, det vil sige:

7² = 3² - af²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Derfor vil forholdet mellem afstanden d og bolim blive givet ved:.

spørgsmål 12

(Enem - 2014) Dagligt forbruger en bolig 20 160 Wh. Denne bolig har 100 solceller rektangulær (enheder, der kan omdanne sollys til elektrisk energi), der måler 6 cm x 8 cm. Hver sådan celle producerer hele dagen 24 Wh per centimeter diagonal. Ejeren af ​​dette hus ønsker at producere pr. Dag nøjagtigt den samme mængde energi, som hans hus bruger. Hvad skal denne ejer gøre for ham for at nå sit mål?

a) Fjern 16 celler.
b) Fjern 40 celler.
c) Tilføj 5 celler.
d) Tilføj 20 celler.
e) Tilføj 40 celler.

Se svar

Korrekt alternativ: a) Fjern 16 celler.

For det første bliver du nødt til at finde ud af, hvad energiudgangen for hver celle er. Til det er vi nødt til at finde målene for rektanglets diagonale.

Diagonalen er lig med hypotenusen i trekanten med ben lig med 8 cm og 6 cm. Vi beregner derefter diagonalen ved at anvende den Pythagoras sætning.

Vi bemærker dog, at den pågældende trekant er pythagorean, idet den er et multiplum af trekanten 3,4 og 5.

På denne måde vil måling af hypotenusen være lig med 10 cm, da siderne af den pythagoranske trekant 3,4 og 5 ganges med 2.

Nu hvor vi kender den diagonale måling, kan vi beregne energien produceret af de 100 celler, dvs.

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Da den forbrugte energi er lig med 20 160 Wh, bliver vi nødt til at reducere antallet af celler. For at finde dette nummer vil vi gøre:

24 000 - 20 160 = 3840 Wh

Ved at dividere denne værdi med den energi, der produceres af en celle, finder vi antallet, der skal reduceres, det vil sige:

3 840: 240 = 16 celler

Derfor skal ejerens handling for at nå sit mål være at fjerne 16 celler.

For at lære mere, se også: Trigonometri øvelser