Linjens ligning kan bestemmes ved at plotte den på det kartesiske plan (x, y). At kende koordinaterne for to forskellige punkter, der hører til linjen, kan vi bestemme dens ligning.
Det er også muligt at definere en ligning af den lige linje baseret på dens hældning og koordinaterne for et punkt, der hører til den.
Generel ligning af linjen
To punkter definerer en linje. På denne måde kan vi finde linjens generelle ligning ved at tilpasse to punkter med et generisk punkt (x, y) på linjen.
Lad punkterne A (xDetyyDet) og B (xByyB), ikke sammenfaldende og tilhører den kartesiske plan.
Tre punkter er justeret, når determinanten for matricen, der er knyttet til disse punkter, er lig med nul. Så vi skal beregne determinanten for følgende matrix:
Udvikling af determinanten finder vi følgende ligning:
(yDet -yB) x + (xB - xDet) y + xDetyB - xByDet = 0
Lad os ringe:
a = (yDet -yB)
b = (xB - xDet)
c = xDetyB - xByDet
Den generelle ligning for den lige linje er defineret som:
ax + ved + c = 0
Hvor Det, B og ç er konstante og Det og B de kan ikke være nul samtidigt.
Eksempel
Find en generel ligning af linjen, der passerer gennem punkterne A (-1, 8) og B (-5, -1).
Først skal vi skrive trepunktsopretningstilstanden, der definerer matrixen, der er knyttet til de givne punkter, og et generisk punkt P (x, y), der hører til linjen.
Udvikling af determinanten finder vi:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Den generelle ligning for linjen, der passerer gennem punkterne A (-1,8) og B (-5, -1), er:
9x - 4y + 41 = 0
For at lære mere, læs også:
- Hovedkvarter
- determinant
- Laplace's sætning
Linie reduceret ligning
Vinklet koefficient
Vi kan finde en ligning af linjen r at kende dens hældning (retning), det vil sige værdien af den vinkel θ, som linjen præsenterer i forhold til x-aksen.
Til dette forbinder vi et tal m, der kaldes linjens hældning, således at:
m = tg θ
skråningen m det kan også findes ved at kende to punkter, der hører til den lige linje.
Som m = tg θ, så:
Eksempel
Bestem hældningen af linien r, der passerer gennem punkt A (1,4) og B (2,3).
At være,
x1 = 1 og y1 = 4
x2 = 2 og y2 = 3
Kendskab til linjens vinkelkoefficient m og et punkt P0(x0yy0) der hører til det, kan vi definere dets ligning.
Til dette vil vi erstatte det kendte punkt P i hældningsformlen.0 og et generisk punkt P (x, y), der også hører til linjen:
Eksempel
Bestem en ligning af linjen, der passerer gennem punkt A (2,4) og har hældning 3.
For at finde linjens ligning skal du bare erstatte de givne værdier:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
lineær koefficient
den lineære koefficient ingen lige r er defineret som det punkt, hvor linjen skærer y-aksen, det vil sige punktet for koordinaterne P (0, n).
Ved hjælp af dette punkt har vi:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (formindsket ligning).
Eksempel
Ved at vide, at ligningen for linien r er givet ved y = x + 5, skal du identificere dens hældning, dens hældning og det punkt, hvor linjen skærer y-aksen.
Da vi har den reducerede ligning af linjen, så:
m = 1
Hvor m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Skæringspunktet for linjen med y-aksen er punktet P (0, n), hvor n = 5, så vil punktet være P (0,5)
Læs også Beregning af hældning
Linjesegmentligning
Vi kan beregne hældningen ved hjælp af det punkt A (a, 0), som linjen skærer x-aksen og punktet B (0, b), der skærer y-aksen:
I betragtning af n = b og erstatning i reduceret form har vi:
Ved at opdele alle medlemmer efter ab finder vi linjens segmentlige ligning:
Eksempel
Skriv i segmentform ligningen af den lige linje, der passerer gennem punkt A (5.0) og har hældning 2.
Lad os først finde punkt B (0, b), der erstatter hældningsudtrykket:
Ved at erstatte værdierne i ligningen har vi den linjære segmentligning:
Læs også om:
- Kartesisk plan
- Afstand mellem to punkter
- Konisk
- lige
- Parallelle linjer
- Vinkelrette linjer
- Linjestykke
- Lineær funktion
- Affine-funktion
- Relaterede funktionsøvelser
Løst øvelser
1) Givet linjen, der har ligningen 2x + 4y = 9, skal du bestemme dens hældning.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Derfor er m = - 1/2
2) Skriv ligningen for linjen 3x + 9y - 36 = 0 i reduceret form.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Til en videnskabsmesse bygges to raketprojektiler, A og B, der skal lanceres. Planen er, at de skal lanceres sammen med det formål, at projektil B opfanger A, når det når sin maksimale højde. For at dette kan ske, vil et af projektilerne beskrive en parabolsk bane, mens den anden vil beskrive en angiveligt lige bane. Grafen viser de højder, som disse projektiler har nået som en funktion af tiden, i de udførte simuleringer.
Baseret på disse simuleringer blev det observeret, at projektil B's bane skulle ændres, således at
mål blev nået.
For at nå målet skal vinkelkoefficienten for den linje, der repræsenterer B-banen
a) fald med 2 enheder.
b) fald med 4 enheder.
c) øges med 2 enheder.
d) øges med 4 enheder.
e) øges med 8 enheder.
Først skal vi finde den oprindelige værdi af hældningen på linjen B.
Husk at m = tg Ɵ, vi har:
m1 = 12/6 = 2
For at passere gennem det maksimale højdepunkt for A-banen skal linie B's hældning have følgende værdi:
m2 = 16/4 = 4
Således bliver hældningen på linien B nødt til at ændre sig fra 2 til 4, så øges den med 2 enheder.
Alternativ c: øg 2 enheder
Se også: Øvelser på analytisk geometri
