Analytisk geometri: hovedbegreber og formler

Analytisk geometri studerer geometriske elementer i et koordinatsystem i et plan eller et rum. Disse geometriske objekter er bestemt af deres placering og position i forhold til punkter og akser i dette orienteringssystem.

Siden oldtidens folk, såsom egypterne og romerne, er ideen om koordinater allerede dukket op i historien. Men det var i det 17. århundrede, med værker af René Descartes og Pierre de Fermat, at dette felt af matematik blev systematiseret.

Kartesisk ortogonalt system

Det ortogonale kartesiske system er en referencebase til lokalisering af koordinater. Den består i et plan af to vinkelrette akser på hinanden.

O(0,0) oprindelsen af dette system er skæringspunktet mellem disse akser.
X-aksen er abscissen.
Y-aksen er ordinaten.
De fire kvadranter vender mod uret.

bestilte par

Ethvert punkt på planet har koordinaten P(x, y).

x er abscissen af punktet P og udgør afstanden fra dets ortogonale projektion på x-aksen til origo.
y er ordinaten af punktet P og er afstanden fra dets ortogonale projektion på y-aksen til origo.

instagram story viewer

afstand mellem to punkter

Afstanden mellem to punkter på det kartesiske plan er længden af det segment, der forbinder disse to punkter.

Formel for afstand mellem to punkter lige A venstre parentes lige x med lige A sænket komma lige mellemrum y med lige A sænket højre parentes og lige B åben parentes lige x med lige B underskrift komma lige mellemrum y med lige B sænket mellemrum luk parentes nogen.

startstil matematik størrelse 22px lige d med AB sænket er lig kvadratroden af venstre parentes lige x med lige B sænket minus lige x med lige A sænket højre kvadrat parentes plus venstre parentes lige y med lige B sænket minus lige y med lige A sænket højre kvadrat parentes slutningen af rodenden af stil

Midtpunktskoordinater

Midtpunkt er det punkt, der deler et segment i to lige store dele.

Væren M åbner parentes x med M sænket komma mellemrum y med M sænket parentes lukker parentes midtpunktet af et segment stak A B med stang over , dens koordinater er de aritmetiske middelværdier af abscissen og ordinaten.

startstil matematik størrelse 22px x med lige M sænket lig med tæller lige x med lige B sænket plus lige x med lige A sænket over nævner 2 slutningen af brøk slutningen af stilen og

Tre-punkts justering tilstand

I betragtning af pointerne: .

Disse tre punkter vil blive justeret, hvis determinanten af den følgende matrix er lig med nul.

start stil matematik størrelse 22px det mellemrum åbne firkantede parenteser tabelrække med celle med lige x med lige A subscript end celle med lige y med lige A slutningen af celle sænket 1 række med celle med lige x med lige B sænket slutning af celle celle med lige y med lige B sænket slutning af celle 1 række med celle med lige x med lige C sænket ende af celle celle med lige y med lige C sænket ende af celle 1 ende af tabellen lukker firkantede parenteser mellemrum lig med mellemrum 0 slutning af stil

Eksempel

Vinkelkoefficient for en linje

skråningen lige m af en ret linje er tangenten af dens hældning alfa i forhold til x-aksen.

start stil matematik størrelse 22px lige m mellemrum lig med mellemrum tg lige mellemrum alpha end of style

For at få hældningen fra to punkter:

startstil matematik størrelse 22px lige m lig med tæller lige y med lige B sænket minus lige y med lige A sænket over nævner lige x med lige B sænket minus lige x med lige A sænket slutningen af brøk slutningen af stil

Hvis m > 0, er linjen stigende, ellers, hvis m < 0, er linjen faldende.

linjens generelle ligning

Hvor Det,B og ç er konstante reelle tal og, Det og B de er ikke samtidigt nul.

Eksempel

Linjeligning ved at kende et punkt og hældningen

givet et point lige A åbner parentes lige x med 0 sænket komma lige mellemrum y med 0 sænket parentes lukker parentes og skråningen lige m .

Linjens ligning vil være:

start stil matematik størrelse 22px lige y minus lige y med 0 sænket er lig med lige m venstre parentes lige x minus lige x med 0 sænket højre parentes slutningen af stilen

Eksempel

Reduceret form af den lige ligning

start stil matematik størrelse 22px lige y er lig mx lige n slutningen af stilen

Hvor:
m er hældningen;
n er den lineære koefficient.

ingen er ordnet, hvor linjen skærer y-aksen.

Eksempel

Se Linjeligning.

Relativ position mellem to parallelle linjer i et plan

To distinkte linjer er parallelle, når deres hældninger er lige store.

hvis en straight r har hældning lige m med lige r underskrift , og en straight s har hældning lige m med lige s underskrift , disse er parallelle, når:

startstil matematik størrelse 22px lige m med lige r sænket er lig lige m med lige s sænket slutning af stil

Til dette skal dine tilbøjeligheder være lige store.

m med s sænket skrift lig med t g alfa mellemrum med s sænket mellemrum slutningen af sænket

Tangenter er ens, når vinklerne er ens.

Relativ position mellem to konkurrerende lige linjer i et plan

To linjer er samtidige, når deres hældninger er forskellige.

Fejl ved konvertering fra MathML til tilgængelig tekst.

Til gengæld adskiller skråningerne sig, når deres hældningsvinkler i forhold til x-aksen er forskellige.

alfa med r underskrift ikke lig alfa med s underskrift

vinkelrette linjer

To rester er vinkelrette, når produktet af deres hældninger er lig med -1.

to straights r og s, tydelig, med skråninger m med r subscript og m med s tilmeldt , er vinkelrette, hvis og kun hvis:

start stil matematik størrelse 22px lige m med lige r subscript. lige m med s underskrift er lig med minus 1 ende af stil

eller

startstil matematik størrelse 22px lige m med lige r sænket er lig med minus 1 over lige m med lige s sænket slutning af stil

En anden måde at vide, om to linjer er vinkelrette, er fra deres ligninger i generel form.

Ligningerne for linjerne r og s er:

r kolon et mellemrum med r sænket x plus b med r sænket y plus mellemrum c med r sænket mellemrum s kolon et mellemrum med s sænket x plus b med s sænket y plus c med s sænket

To linjer vinkelret på det, når:

start stil matematik størrelse 22px lige a med lige r subscript. lige a med lige s underskrift plus lige b med lige r underskrift. lige b med lige s underskrift lig med 0 slutningen af stilen

Se Vinkelrette linier.

Omkreds

Omkreds er det sted på planet, hvor alle punkter P(x, y) har samme afstand r fra dets centrum C(a, b), hvor r er målet for at være radius.

Omkredsligning i reduceret form

startstil matematik størrelse 22px åbne firkantede parenteser x minus lige a tæt firkantede parenteser plus åben parentes y minus lige b lukker firkantet parentes lig med lige r kvadratisk ende af stil

Hvor:
r er radius, afstanden mellem ethvert punkt på din bue og midten. Ç.
Det og B er centrums koordinater Ç.

generel ligning af cirklen

startstil matematik størrelse 22px lige x kvadrat plus lige y kvadrat minus 2 økse minus 2 gange plus åben parentes lige a kvadrat plus lige b kvadrat minus lige r kvadrat lukker parentes lig med 0 ende af stil

Det opnås ved at udvikle de kvadrerede led i den reducerede ligning af omkredsen.

Det er meget almindeligt at vise den generelle form af omkredsligningen i øvelser, også kendt som normalformen.

konisk

Ordet kegle kommer fra en kegle og refererer til kurverne opnået ved at sektionere den. Ellipse, hyperbel og parabel er kurver kaldet koniske.

Ellipse

Ellipse er en lukket kurve opnået ved at sektionere en lige cirkulær kegle af et plan skråt i forhold til aksen, som ikke passerer gennem toppunktet og ikke er parallelt med dets generatrices.

I et plan er mængden af alle punkter, hvis sum af afstande til to indre fikspunkter er konstant.

Ellipse elementer:

F1 og F2 er ellipsens brændpunkter;
2c er brændvidden af ellipsen. Det er afstanden mellem F1 og F2;
Pointen O det er midten af ellipsen. Det er midtpunktet mellem F1 og F2;
A1 og A2 er ellipsens hjørner;
segmentet hovedakse og lig med 2a.
segmentet lille akse er lig med 2b.
Excentricitet hvor 0 < og < 1.

Reduceret Ellipse-ligning

Betragt et punkt P(x, y) indeholdt i ellipsen, hvor x er abscissen og y er ordinaten af dette punkt.

Ellipsens centrum ved koordinatsystemets udspring og hovedaksen (AA) på x-aksen.

startstil matematik størrelse 22px lige x kvadrat over lige a kvadrat plus lige y kvadrat over lige b kvadrat er lig med 1 ende af stil

Ellipsens centrum ved koordinatsystemets begyndelse og hovedaksen (AA) på y-aksen.

startstil matematik størrelse 22px lige x kvadrat over lige b kvadrat plus lige y kvadrat over lige a kvadrat er lig med 1 ende af stil

Reduceret ligning af ellipsen med akser parallelle med koordinatakserne

overvejer et punkt lige venstre parentes lige x med 0 sænket komma lige mellemrum y med 0 sænket højre parentes som oprindelsen af det kartesiske system og, et punkt lige C venstre parentes lige x med 0 sænket komma lige mellemrum y med 0 sænket højre parentes som centrum af ellipsen.

AA hovedakse, parallel med x-aksen.

startstil matematik størrelse 22px venstre parentes lige x minus lige x med 0 sænket højre parentes i kvadrat over lige ao firkant plus venstre parentes lige y minus lige y med 0 sænket højre parentes i anden kvadrat over lige b i kvadrat lig med 1 ende af stil

AA hovedakse, parallel med y-aksen.

Hyperbole

Hyperbel er et sæt punkter på et plan, hvor forskellen mellem to faste punkter F1 og F2 resulterer i en konstant, positiv værdi.

Elementer af hyperbole:

F1 og F2 er foci af hyperbel.
2c = er brændvidden.
Center for hyperbole er pointen Åh, F1F2 segmentgennemsnit.
A1 og A2 er hjørnerne.
2a = A1A2 er den reelle eller tværgående akse.
2b = B1B2 er den imaginære eller konjugerede akse.
er excentriciteten.

Gennem trekant B1OA2

lige c i anden er lig med lige a i anden plads plus lige b i anden

Hyperbelreduceret ligning

Med reel akse om x-akse og centrum ved origo.
start stil matematik størrelse 22px lige x kvadrat over lige a kvadrat minus lige y kvadrat over lige b kvadrat er lig med 1 ende af stil

Med reel akse på y-aksen og centrum ved origo.

Hyperbelligning med akser parallelle med koordinatakser

AA reel akse parallel med x-akse og centrum lige C venstre parentes lige x med 0 sænket lige komma y med 0 sænket højre parentes .

startstil matematik størrelse 22px venstre parentes lige x minus lige x med 0 sænket højre parentes i kvadrat over lige ao kvadrat minus venstre parentes lige y minus lige y med 0 sænket højre parentes kvadratisk over lige b kvadratisk lig med 1 ende af stil

Reel akse AA parallel med y-akse og centrum lige C venstre parentes lige x med 0 sænket lige komma y med 0 sænket højre parentes .

startstil matematik størrelse 22px venstre parentes lige y minus lige y med 0 sænket højre parentes i kvadrat over lige a ao kvadrat minus venstre parentes lige x minus lige x med 0 sænket højre parentes kvadratisk over lige b kvadratisk lig med 1 ende af stil

Lignelse

Parabel er det sted, hvor sættet af punkter P(x, y) er i samme afstand fra et fast punkt F og en linje d.

Elementer i lignelsen:

F er lignelsens fokus;
d er den lige ledelinje;
Symmetriaksen er den rette linje gennem fokus F og vinkelret på ledelinjen.
V er toppunktet for parablen.
p er segmentet med samme længde mellem fokus F og toppunkt V e, mellem toppunkt og retning d.