Summen af de indre vinkler af en konveks polygon kan bestemmes ved at kende antallet af sider (n), blot trække denne værdi fra med to (n - 2) og gange med 180°.
En polygon er en lukket overflade dannet af en polygonal linje, det vil sige, at siderne er lige linjer, og mødet mellem to sider danner en vinkel. Hvis polygonen er konveks, er alle indvendige vinkler mindre end 180°.
Summen af de indre vinkler af en konveks polygon
For at tilføje de indre vinkler af en konveks polygon, kender vi enten værdierne af alle vinklerne og lægger dem sammen, eller vi kan bestemme summen ved at kende antallet af sider af denne polygon.
At kende de samlede sider af en polygon er i mange tilfælde lettere at opnå end værdierne for hver vinkel.
Formel for summen af indvendige vinkler af en polygon
For at bestemme summen af de indre vinkler af en konveks polygon, der kun kender antallet af sider, bruger vi formlen:
Hvor,
Ja er summen, summen af grader af alle vinkler.
ingen er antallet af sider.
Eksempel
Summen af de indre vinkler af en firkant er:
Da en firkant har 4 sider, er n lig med 4.
Summen af de indre vinkler af en regulær polygon
Summen af de indre vinkler af en regulær polygon beregnes på samme måde. En polygon er regulær, når alle sider og vinkler er lige store. Antallet af vinkler er altid lig med antallet af sider.
Indvendig vinkel af en regulær polygon
Da alle vinkler har samme mål, er det nok at dividere summen af de indre vinkler med antallet af vinkler, derfor antallet af sider.
Hvor,
Si er summen, summen af grader af alle vinkler.
n er antallet af sider.
Eksempel
Målingen af de indre vinkler af en regulær femkant er:
Først bestemmer vi summen af dens indre vinkler ved hjælp af n = 5.
Nu skal du bare dividere med antallet af sider.
Navn på polygoner baseret på sider
Nævn nogle polygoner afhængigt af antallet af sider.
| antal sider | Navn |
|---|---|
| 3 | Trekant |
| 4 | firkantet |
| 5 | Pentagon |
| 6 | Sekskant |
| 7 | Heptagon |
| 8 | Oktagon |
| 9 | enagon |
| 10 | Decagon |
| 11 | undekagon |
| 12 | Dodecagon |
| 20 | icosagon |
Deduktion af formlen for summen af de indre vinkler af en polygon
Vi tager udgangspunkt i, at hver trekant har 180° som summen af dens indre vinkler.
Fra et hvilket som helst hjørne af en konveks polygon kan vi tegne diagonaler og danne trekanter.
Da summen af de indre vinkler i hver trekant er lig med 180°, skal du blot gange antallet af trekanter dannet med 180°.
Vi kan se, at antallet af dannede trekanter altid er lig med antallet af sider minus 2.
For en trekant er n = 3.
For en firkant er n = 4.
Der er 2 trekanter:
For en femkant er n = 5.
Der er 3 trekanter:
På denne måde kan vi generalisere og erstatte udtrykket antal trekanter ved (n-2), og formlen ser således ud:
Lær mere om polygoner og vinkler.
Øvelser
Øvelse 1
Find summen af de indre vinkler af en konveks polygon med 17 sider.
Svar: 2 700º
Øvelse 2
Hvad hedder en polygon, hvis indre vinkler er 1440°?
Svar: Polygonen hvis sum af de indre vinkler er 1440° kaldes en dekagon og har 10 sider.
Øvelse 3
Find værdien af de indre vinkler af en regulær ottekant.
Svar: I en regulær ottekant måler hver indvendig vinkel 135°.
Først skal vi bestemme summen af de indre vinkler af en ottekant. Da den har otte sider, er n = 8.
Da polygonen er regulær, har alle indvendige vinkler det samme mål, og divider blot totalen med 8.
øve sig mere polygon øvelser.
Se også:
- Areal og perimeter
- Polygon område
- Sekskant
- firkanter
- parallelogram
