Sada prvočísla je předmětem studia v matematika ze starověkého Řecka. Euclides ve svém velkém díle „The Elements“ již o tématu diskutoval a dokázal to prokázat soubor je to nekonečné. Jak víme, prvočísla jsou ta, která mají číslo 1 jako dělitele a sami sebe, tedy najít velmi velká prvočísla není snadný úkol a díky sítu Eratosthenes je to snadné. Setkání.
Jak víte, kdy je číslo prvočíslo?
Víme, že prvočíslo je akdokoli má dělič číslo 1 a on sám, takže číslo, které má ve svém seznamu dělitelů čísla jiná než 1 a samo o sobě nebude prvočíselné, viz:
Seznamem 11 a 30 rozdělovačů máme:
D (11) = {1, 11}
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Všimněte si, že číslo 11 má pouze číslo 1 a samo o sobě jako dělitele, takže číslo 11 je prvočíslo. Nyní se podívejme na dělitele čísla 30, které má kromě čísla 1 a samotného také čísla 2, 3, 5, 6 a 10 s děliteli. Proto, číslo 30 není prvočíslo.
→ Příklad: Seznam připraví méně než 15.
Za tímto účelem uvedeme seznam dělitelů všech čísel mezi 2 a 15.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
Prvočísla menší než 15 jsou tedy:
2, 3, 5, 7, 11 a 13
Přiznejme si to, tento úkol by nebyl příliš příjemný, například kdybychom si zapsali všechna prvočísla mezi 2 a 100. Abychom tomu zabránili, naučíme se v dalším tématu používat síto Eratosthenes.
Nepřestávejte... Po reklamě je toho víc;)
Síto Eratosthenes
Síto Eratosthenes je nástroj, jehož cílem je usnadnit stanovení prvočísel. Síto se skládá ze čtyř kroků a je nutné, abyste jim porozuměli, je třeba mít na paměti kritéria dělitelnosti. Než začneme krok za krokem, musíme vytvořit tabulku od čísla 2 po požadované číslo, protože číslo 1 není prvočíslo. Pak:
→ Krok 1: Z kritéria dělitelnosti 2 máme, že sudá čísla jsou dělitelná tímto, tj. číslo 2 se objeví v seznamu dělitelů, takže tato čísla nebudou prvočísla a musíme je vyloučit z stůl. Jsou oni:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Krok 2: Z kritéria dělitelnosti 3 víme, že číslo je dělitelné 3, pokud součet jeho číslic je také tak. Musíme tedy tato čísla vyloučit z tabulky, protože nejsou prvočísla, protože v seznamu dělitelů je jiné číslo než 1 a samo o sobě. Musíme tedy vyloučit čísla:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Krok 3: Z kritéria dělitelnosti 5 víme, že všechna čísla končící na 0 nebo 5 jsou dělitelná 5, takže je musíme vyloučit z tabulky.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Krok 4: Podobně musíme z tabulky vyloučit čísla, která jsou násobky 7.
14, 21, 28, …, 546, …
- Známe-li síto Eratosthenes, určme prvočísla mezi 2 a 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ nejsou bratranci
→ prvočísla
Prvočísla mezi 2 a 100 jsou tedy:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Přečtěte si také: Výpočet MMC a MDC: jak na to?
Prime factor rozklad
THE rozklad prvního faktoru je formálně známý jako základní teorém aritmetiky. Tato věta říká, že jakýkoli celé číslo rozdíl od 0 a větší než 1 lze vyjádřit součinem prvočísel. Abychom určili zapracovanou formu celého čísla, musíme provádět postupné dělení, dokud nedosáhneme výsledku rovného 1. Viz příklad:
→ Určete započítanou formu čísel 8, 20 a 350.
Abychom vyčíslili číslo 8, musíme ho vydělit prvním možným prvočíslem, v tomto případě 2. Poté provedeme další dělení také prvočíslem, které je možné, tento proces se opakuje, dokud nedosáhneme čísla 1 jako odpovědi na dělení. Dívej se:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Proto je zapracovaná forma čísla 8 2 · 2 · 2 = 23. Abychom tento proces usnadnili, přijmeme následující metodu:
Číslo 8 lze proto psát jako: 23.
→ K výpočtu čísla 20 použijeme stejnou metodu, tj. Vydělíme ji prvočísly.
Takže číslo 20 ve své zapracované podobě je: 2 · 2 · 5 nebo 22 · 5.
→ Podobně si poradíme s číslem 350.
Proto je číslo 350 ve své zapracované podobě: 2 · 5 · 5 · 7 nebo 2 · 52 · 7.
Podívejte se také: Vědecká notace: k čemu je?
vyřešená cvičení
Otázka 1 - Zjednodušte výraz:
Řešení
Nejprve pojďme faktorovat výraz, abychom to usnadnili.
Tedy 1024 = 210, a proto můžeme ve výrazu cvičení nahradit jednu za druhou. Tím pádem:
Robson Luiz
Učitel matematiky
