Výpočet oblasti kužele: vzorce a cvičení

THE oblast kužele odkazuje na míru povrchu tohoto prostorového geometrického útvaru. Pamatujte, že kužel je geometrické těleso s kruhovou základnou a bodem, kterému se říká vrchol.

Vzorce: Jak vypočítat?

V kuželu je možné vypočítat tři oblasti:

Základní plocha

THE_B =π.r²

Kde:

THE_B: základní plocha
π (pi): 3.14
r: Blesk

Boční plocha

THE_tam = π.r.g

Kde:

THE_tam: boční plocha
π (pi): 3.14
r: Blesk
G: generátor

Poznámka: A generatrix odpovídá míře strany kužele. Tvoří ho jakýkoli segment, který má jeden konec na vrcholu a druhý na základně, vypočítá se podle vzorce: G² = h² + r² (bytost H výška kužele a r Blesk)

Celková plocha

At = π.r (g + r)

Kde:

THE_t: celková plocha
π (pi): 3.14
r: Blesk
G: generátor

Oblast kufru kužele

Takzvaný „kmen kužele“ odpovídá části, která obsahuje základnu tohoto obrázku. Pokud tedy rozdělíme kužel na dvě části, máme tu, která obsahuje vrchol, a druhou, která obsahuje základnu.

Ten druhý se nazývá „kmen kužele“. Ve vztahu k ploše je možné vypočítat:

Malá základní plocha (A_B)

THE_B = π.r²

Největší základní plocha (A_B)

THE_B = π.R²

Boční plocha (A_tam)

THE_tam = π.g. (R + R)

Celková plocha (A_t)

THE_t = A_B + A_B + A_tam

Vyřešená cvičení

1. Jaká je boční plocha a celková plocha přímého kruhového kuželu, který má výšku 8 cm a poloměr základny 6 cm?

Řešení

Nejprve musíme vypočítat generatrix tohoto kužele:

g = r² + h²
g = √6² + 8²
g = √36 + 64
g = √ 100
g = 10 cm

Poté můžeme vypočítat boční plochu pomocí vzorce:

THE_tam = π.r.g
THE_tam = π.6.10
THE_tam = 60π cm²

Podle vzorce celkové plochy máme:

THE_t = π.r (g + r)
At = π.6 (10 + 6)
At = 6π (16)
V = 96π cm²

Mohli bychom to vyřešit jiným způsobem, to znamená přidáním oblastí boční a spodní části:

THE_t = 60π + π.6²
THE_t = 96π cm²

2. Najděte celkovou plochu kmene kužele, která je vysoká 4 cm, větší základna kruh o průměru 12 cm a menší základna kruh o průměru 8 cm.

Řešení

Chcete-li zjistit celkovou plochu tohoto kuželu kmene, je nutné najít oblasti největší základny, nejmenší a dokonce i boční.

Dále je důležité si pamatovat koncept průměru, který je dvojnásobkem měření poloměru (d = 2r). Podle vzorců tedy máme:

Malá základní plocha

THE_B = π.r²
THE_B = π.4²
THE_B = 16π cm²

Hlavní základní plocha

THE_B = π.R²
THE_B = π.6²
THE_B = 36π cm²

Boční plocha

Před nalezením boční plochy musíme najít míru generatrixu obrázku:

G² = (R - r)² + h²
G² = (6 – 4)² + 4²
G² = 20
g = √20
g = 2√5

Až to bude hotové, nahraďme hodnoty ve vzorci pro boční plochu:

THE_tam = π.g. (R + R)
THE_tam = π. 2√5. (6 + 4)
THE_tam = 20π√ 5 cm²

Celková plocha

THE_t = A_B + A_B + A_tam
THE_t = 36π + 16π + 20π√5
THE_t = (52 + 20√5) π cm²

Cvičení na přijímací zkoušky se zpětnou vazbou

1. (UECE) Přímý kruhový kužel, jehož měření výšky je Hje rozdělen rovinou rovnoběžnou se základnou na dvě části: kužel, jehož výška je h / 5, a kužel kmene, jak je znázorněno na obrázku:

Poměr mezi měřením objemů většího kužele a menšího kužele je:

a) 15
b) 45
c) 90
d) 125

Viz odpověď

Alternativa d: 125

2. (Mackenzie-SP) Parfémová láhev, která má tvar přímého kruhového kuželu o poloměru 1 cm a poloměru 3 cm, je zcela plná. Jeho obsah se nalije do nádoby, která má tvar přímého kruhového válce s poloměrem 4 cm, jak je znázorněno na obrázku.

-li d je výška nenaplněné části válcové nádoby a za předpokladu π = 3 je hodnota d:

a) 10/6
b) 6/11
c) 12/6
d) 13/6
e) 6/14

Viz odpověď

Alternativa b: 6/11

3. (UFRN) Rovnostranná kuželovitá lampa je na stole, takže když svítí, promítá na ni kruh světla (viz obrázek níže)

Je-li výška svítilny ve vztahu ke stolu H = 27 cm, plocha osvětleného kruhu v cm² bude se rovnat:

a) 225π
b) 243π
c) 250π
d) 270π

Viz odpověď

Alternativa b: 243π

Přečtěte si také:

• Kužel
• Objem kužele
• číslo pí