Geometrické transformace: translace, rotace a odraz

Geometrické transformace jsou změny prováděné na obrázcích, jako jsou: transport, zrcadlení, otočení, přiblížení nebo oddálení. Mohou být vyrobeny v jakékoli postavě, ať už jde o jednoduché geometrické tvary nebo složité obrázky.

Tyto transformace nám umožňují vytvářet nové figury z původních nebo měnit jejich polohu. K provedení těchto transformací potřebujeme použít referenční systém a standardní jednotku měření, jako v kartézské rovině.

Kartézská rovina je souřadnicový systém na rovině, kde každý bod má jedinečnou adresu. Skládá se ze dvou očíslovaných os x a y. Dvojice (x, y) tedy udává přesnou polohu tohoto bodu.

Zachováním tvarů, tedy zachováním délek a úhlů, můžeme provádět tři geometrické transformace: translaci, rotaci a odraz.

Například při přesouvání obrázku na nové místo provedeme překlad. Pokud ji otočíme kolem bodu, je to rotace. Pokud odrážíme postavu ve vztahu k ose, provádíme odraz.

Překlad

Překlad spočívá v přemísťování obrazce z jednoho bodu do druhého v rovině, při zachování jeho tvaru, orientace a velikosti.

instagram story viewer

Příklad
Dva trojúhelníky na obrázku níže jsou shodné, to znamená stejné. Můžeme říci, že trojúhelník ABC se posunul na druhou pozici, reprezentovanou trojúhelníkem A'B'C'.

Geometrická translační transformace. — Trojúhelník ABC byl přeložen nebo transportován.

Odraz

Odraz spočívá v zrcadlení obrazu ve vztahu k přímce, která může být horizontální, vertikální nebo nakloněná. Tato čára se nazývá osa odrazu.

Při odrazu jsou souřadnice každého bodu původního obrazce převrácené vzhledem k ose odrazu.

Příklad
Při odrazu ve vztahu k ose x níže jsou souřadnice bodů A, B a C převedeny do A', B' a C' takto:

A (-5, 3) ► A' (-5, -3)

B (-6, 1) ► B' (-6, -1)

C (-2, 2) ► C' (-2, -2)

Jinými slovy, každý bod A, B a C je ve stejné vzdálenosti od osy x odrazu jako body A', B' a C'.

Rotační geometrická transformace. — Odraz trojúhelníku ABC vzhledem k ose x.

Otáčení

Otáčení obrázku spočívá v jeho otáčení vzhledem k bodu v rovině, který se nazývá střed otáčení. Abychom mohli provést rotaci obrázku, musíme vzít v úvahu orientaci rotace (ve směru nebo proti směru hodinových ručiček) a míru úhlu rotace ve stupních.

Příklad
Trojúhelník ABC byl otočen proti směru hodinových ručiček o úhel otočení 45°. Středem otáčení je bod A, který tedy zůstává pevný.

Geometrické transformace zmenšení a zvětšení

Při zmenšování nebo zvětšování se rozměry obrazu zvětšují nebo zmenšují při zachování poměru stran.

V těchto případech zůstávají úhly stejné, ale délky a šířky se zvětšují nebo zmenšují. Tvar obrazu je tedy zachován, zatímco jeho plocha se mění.

Příklad

Cvičení o geometrických transformacích

Cvičení 1

Následující čtyřúhelník ABCD převedl, které míry ve směru x a y, do polohy A'B'C'D'?

Viz Odpověď

Abychom odpověděli, vezmeme jako referenční bod jakýkoli bod čtyřúhelníku, například bod A.

Ve směru x se posunul o -5 a ve směru y o 2.

Cvičení 2

Načrtněte odraz pětiúhelníku od svislé čáry.

Viz Odpověď

Abychom odráželi pětiúhelník ve vztahu ke svislé čáře, musíme převrátit každý z bodů. K tomu musí být každý bod na levé straně ve stejné vzdálenosti od čáry.

Bod C na pravé straně je vzdálen 3 jednotky, takže totéž by se mělo stát na pravé straně. Opakováním postupu pro ostatní body máme:

Cvičení 3

Pravoúhlý trojúhelník níže byl otočen se středem otáčení v bodě B. Odpovězte na směr otáčení a změřte úhel natočení.

Viz Odpověď

Trojúhelník ABC byl otočen ve směru hodinových ručiček vzhledem k bodu B do polohy A'B'C'.

Abychom určili úhel natočení, uvědomíme si, že úsečka A'B' dělí čtverec na polovinu, to znamená, že je osou pravého úhlu 90° a dělí jej na polovinu.

Tímto způsobem se trojúhelník otočil o 45° ve směru hodinových ručiček.

Viz také:

Geometrie
Rovinná geometrie
Geometrické tvary
mnohoúhelníky

ASTH, Rafael. Geometrické transformace: translace, rotace a odraz.All Matter, [n.d.]. K dispozici v: https://www.todamateria.com.br/transformacoes-geometricas/. Přístup na:

Viz také