Cvičte cvičení na trojúhelníky s tímto seznamem, který jsme připravili. Cvičení jsou vysvětlena krok za krokem, takže můžete odstranit své pochybnosti a dozvědět se vše o tomto třístranném mnohoúhelníku.
Otázka 1
Analyzujte následující obrázek tvořený trojúhelníky a určete míru úsečky ED, rovnoběžné s AB, s vědomím, že:
CD = 15
AD = 1
AB = 8
Protože DE je rovnoběžné s AB, trojúhelníky CDE a CAB jsou podobné. Můžeme tak napsat poměry mezi jejich odpovídajícími stranami
AC = AD + DC = 1 + 15 = 16.
otázka 2
Na obrázku níže určete hodnotu úhlu x ve stupních.
Odpověď: 110 stupňů
Podle teorému o vnějším úhlu se vnější úhel k vrcholu rovná součtu vnitřních úhlů dvou ostatních.
x = 50 stupňů + 60 stupňů = 110 stupňů
Dalším způsobem, jak vyřešit otázku, je sečíst tři vnitřní úhly a učinit je rovnými 180º. Voláním doplňkového vnitřního úhlu k x y tedy jeho hodnota je
:
50 + 60 + y = 180
110 + y = 180
y = 180 - 110
y = 70º
Pokud se y rovná 70 stupňům, x je to, jak daleko je potřeba dosáhnout 180.
x = 180 stupňů - 70 stupňů = 110 stupňů
otázka 3
Určete délku segmentu x.
Odpověď: 2,4m
Obrázek je tvořen dvěma podobnými trojúhelníky. Ti dva mají pravé úhly a stejné úhly opačné ke společnému vrcholu mezi nimi. V případě podobnosti AA (úhel-úhel) podobnost potvrzujeme.
Vezmeme-li poměr jejich odpovídajících stran, máme:
otázka 4
Níže uvedený obrázek ukazuje obdélník se základnou 8 cm a výškou 1 cm, vepsaný do trojúhelníku. Základna obdélníku je shodná se základnou trojúhelníku. Určete míru výšky h.
Odpověď: v = 2 cm
Můžeme určit dva podobné trojúhelníky: jeden se základnou 12 cm a výškou x cm a druhý se základnou 8 cm (základna obdélníku) a výškou h.
Proporcí odpovídajících stran máme:
Podívejte se, že x se rovná výšce h plus výšce obdélníku.
x = h + 1
Výměna:
otázka 5
Fernando je tesař a odděluje dřevěné lamely různých délek pro stavbu trojúhelníkových konstrukcí.
Mezi následujícími možnostmi lamelových trojic je jediná schopná vytvořit trojúhelník
a) 3 cm, 7 cm, 11 cm
b) 6 cm, 4 cm, 12 cm
c) 3 cm, 4 cm, 5 cm
d) 7 cm, 9 cm, 18 cm
e) 2 cm, 6 cm, 9 cm
Podmínka existence trojúhelníku říká, že každá jeho strana musí být menší než součet ostatních dvou.
Jedinou možností, která tuto podmínku splňuje, je písmeno c.
otázka 6
V níže uvedeném trojúhelníku jsou čáry a segmenty: zelená, červená, modrá a černá:
Odezva:
Zelená: osa. Je to čára, která řeže segment v jeho středu pod úhlem 90°.
Červená: střední. Je to segment, který běží od vrcholu ke středu opačné strany.
Modrá: osa. Rozdělí úhel na dva shodné úhly.
Černá: výška. Je to segment, který opouští vrchol a jde na opačnou stranu, tvořící úhel 90º.
otázka 7
(ENCCEJA 2012) Patchworková přikrývka obdélníkového tvaru je vyrobena ze čtyř trojúhelníkových kusů látky, jak je znázorněno na obrázku.
Vezměte v úvahu, že švy podél úhlopříček této přikrývky jsou dokonale rovné.
Kus A přikrývky, který má tvar trojúhelníku, lze klasifikovat podle vnitřních úhlů a stran jako
a) akutní a rovnostranné.
b) tupý a šupinovitý.
c) tupé a rovnoramenné.
d) obdélník a rovnoramenný.
Klapka A je tupá, protože má tupý úhel větší než 90º.
Vzhledem k tomu, že přikrývka je obdélník a oddělení trojúhelníků je tvořeno dvěma úhlopříčkami, jsou vnitřní strany stejné, dvě po dvou.
Vzhledem k tomu, že klapka má dvě stejné strany, je rovnoramenná.
otázka 8
V trojúhelníku ABC znázorněném na obrázku níže je AD osa vnitřního úhlu v A a . Vnitřní úhel v A je roven
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 90º
Segment AD je osa a rozděluje úhel A na dva stejné úhly. Protože trojúhelník ADB má dvě stejné strany, AD a BD, je rovnoramenný a základní úhly jsou stejné.
Máme tedy úhel 60º a tři další stejné.
Voláním x neznámého úhlu dostaneme:
60 + x + x + x = 180
60 + 3x = 180
3x = 180 - 60
3x = 120
x = 120/3
x = 40
Pokud x = 40 a úhel v A je tvořen 2x, pak:
A = 2x
A = 2,40 = 80 stupňů
otázka 9
(Enem 2011) Pro určení vzdálenosti od lodi k pláži použil navigátor následující postup: z bodu A změřil zorný úhel tak, že zamířil na pevný bod P na pláži. Držel loď ve stejném směru, pokračoval do bodu B tak, aby bylo možné vidět stejný bod P z pláže, avšak pod zorným úhlem 2α. Tuto situaci ilustruje obrázek:
Předpokládejme, že navigátor změřil úhel α = 30º a po dosažení bodu B ověřil, že loď urazila vzdálenost AB = 2000 m. Na základě těchto údajů a zachování stejné trajektorie bude nejkratší vzdálenost od lodi k pevnému bodu P
a) 1000 m.
b) 1 000√3 m.
c) 2 000√3/3 m.
d) 2000 m.
e) 2 000√3 m
Rozlišení
Data
= 30º
= 2000 metrů
Krok 1: Doplněk 2.
pokud úhel je 30 stupňů, 2
= 60º a jeho doplňkové, co chybí pro 180º, je 120º.
180 - 60 = 120
Krok 2: Určete vnitřní úhly trojúhelníku ABP.
Protože součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°, úhel musí být 30º, protože:
30 + 120 + P = 180
P = 180 - 120 - 30
P = 30
Trojúhelník ABP je tedy rovnoramenný a strany AB a BP mají stejnou délku.
Krok 3: Určete nejkratší vzdálenost mezi lodí a bodem P.
Nejmenší vzdálenost je kolmý segment mezi bodem P a tečkovanou čarou, která představuje dráhu lodi.
Úsek BP je přepona pravoúhlého trojúhelníku.
Sinus 60° souvisí se vzdáleností x a přeponou BP.
Závěr
Nejkratší vzdálenost mezi lodí a bodem P na pláži je 1000 m
otázka 10
(UERJ – 2018)
Sbírám to sluneční světlo kolem sebe,
Ve svém hranolu rozptýlím a znovu složím:
Pověst o sedmi barvách, bílé ticho.
JOSÉ SARAMAGO
Na následujícím obrázku představuje trojúhelník ABC rovinný řez rovnoběžný se základnou přímého hranolu. Přímky n a n' jsou kolmé ke stranám AC a AB, v tomto pořadí, a BÂC = 80°.
Velikost úhlu θ mezi n a n' je:
a) 90º
b) 100 stupňů
c) 110º
d) 120º
V trojúhelníku s vrcholem A 80º a základnou tvořenou paprskem světla, rovnoběžným s větší základnou, můžeme určit vnitřní úhly.
Protože hranol je rovný a světlá základna trojúhelníku s vrcholem v A je rovnoběžná s větší základnou, jsou tyto úhly stejné. Protože součet vnitřních úhlů trojúhelníku je roven 180°, máme:
80 + x + x = 180
2x = 180 - 80
2x = 100
x = 100/2
x = 50
Přidáním úhlu 90º vytvořeného tečkovanými čarami máme 140º.
Vnitřní úhly menšího trojúhelníku směřující dolů jsou tedy:
180–140 = 40
Opět pomocí součtu vnitřních úhlů máme:
40 + 40 + = 180
= 180 - 80
= 100º
Pokračujte ve studiu trojúhelníků:
- Trojúhelník: vše o tomto mnohoúhelníku
- Klasifikace trojúhelníků
- Oblast trojúhelníku: jak vypočítat?
- Trigonometrie v pravoúhlém trojúhelníku
ASTH, Rafael. Vysvětlena cvičení na trojúhelníky.All Matter, [n.d.]. K dispozici v: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-triangulos-explicados/. Přístup na:
Viz také
- Klasifikace trojúhelníků
- Trojúhelník: vše o tomto mnohoúhelníku
- Oblast trojúhelníku
- Cvičení na čtyřúhelníky s vysvětlenými odpověďmi
- Cvičení na zodpovězené úhly
- Podobnost trojúhelníků: komentovaná a řešená cvičení
- Pozoruhodné body trojúhelníku: co to je a jak je najít
- Podmínka existence trojúhelníku (s příklady)
