Eulerův vztah: vrcholy, plochy a hrany

Eulerův vztah je rovnost, která dává do vztahu počet vrcholů, hran a ploch v konvexních mnohostěnech. Říká, že počet ploch plus počet vrcholů se rovná počtu hran plus dvě.

Eulerův vztah je dán vztahem:

Kde,
F je počet tváří,
PROTI počet vrcholů,
THE počet hran.

Můžeme použít Eulerův vztah k určení nebo potvrzení neznámých hodnot V, F nebo A, kdykoli je mnohostěn konvexní.

Mnohostěn	F	PROTI	THE	F+V	A + 2
Krychle	6	8	12	6 + 8 = 14	12 + 2 = 14
trojúhelníková pyramida	4	4	6	4 + 4 = 8	6 + 2 = 8
Pětiboký základní hranol	7	10	15	7 + 10 = 17	15 + 2 = 17
pravidelný osmistěn	8	6	12	8 + 6 = 14	12 + 2 = 14

Příklad
Konvexní mnohostěn má 20 ploch a 12 vrcholů. Určete počet hran.

Použití Eulerova vztahu a izolace A:

Dosazením hodnot F a V:

Plochy, vrcholy a hrany

Mnohostěny jsou pevné, trojrozměrné geometrické tvary bez zaoblených stran. Tyto strany jsou čely (F) mnohostěnu.

Setkání ploch nazýváme hrany (A).

Vrcholy jsou body, kde se setkávají tři nebo více hran.

konvexní mnohostěny

Konvexní mnohostěny jsou geometrická tělesa, která nevykazují konkávnost, proto na žádné z jejich ploch nejsou vnitřní úhly větší než 180º.

Konvexní mnohostěn: všechny vnitřní úhly čel menší než 180º.

Nekonvexní mnohostěn: má alespoň jeden vnitřní úhel větší než 180°.

V tomto mnohostěnu má vnitřní úhel označený modře více než 180º, takže se nejedná o konvexní mnohostěn.

Zobrazit více o mnohostěny.

Cvičení o Eulerově vztahu

Cvičení 1

Najděte počet ploch v mnohostěnu s 9 hranami a 6 vrcholy.

viz odpověď

Správná odpověď: 5 tváří.

Použití Eulerova vztahu:

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11-6
F = 5

Cvičení 2

Dvanáctstěn je platónské těleso s 12 plochami. S vědomím, že má 20 vrcholů, určete počet jeho hran.

viz odpověď

Správná odpověď:

Použití Eulerova vztahu:

F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A

Cvičení 3

Jak se nazývá mnohostěn se 4 vrcholy a 6 hranami v poměru k jeho počtu ploch, kde jsou plochy trojúhelníky?

viz odpověď

Odpověď: Čtyřstěn.

Musíme určit jeho počet tváří.

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8-4
F = 4

Mnohostěn, který má 4 plochy ve tvaru trojúhelníků, se nazývá čtyřstěn.

Kdo byl Leonhard Paul Euler?

Leonhard Paul Euler (1707-1783) byl jedním z nejzkušenějších matematiků a fyziků v historii, stejně jako přispíval ke studiu astronomie. Německy mluvící švýcarský profesor fyziky na petrohradské akademii věd a později na berlínské akademii. Publikoval několik studií o matematice.

Naučte se také:

• Geometrické tělesa
• Prostorová geometrie
• Geometrické tvary
• Hranol - Geometrický obrazec
• Pyramida
• Dlažební kámen
• Krychle