Vzdálenost mezi dvěma body

Vzdálenost mezi dvěma body je mírou úsečky, která je spojuje.

Tuto míru můžeme vypočítat pomocí analytické geometrie.

Vzdálenost mezi dvěma body v rovině

V rovině je bod plně určen poznáním uspořádaného páru (x, y) s ním spojeného.

Abychom poznali vzdálenost mezi dvěma body, nejprve je představujeme v kartézské rovině a poté tuto vzdálenost spočítáme.

Příklady:

1) Jaká je vzdálenost mezi bodem A (1.1) a bodem B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Jaká je vzdálenost mezi bodem A (4.1) a bodem B (1,3)?

Všimněte si, že vzdálenost mezi bodem A a bodem B se rovná přeponě pravého trojúhelníku s nohami 2 a 3.

Použijeme tedy Pythagorova věta vypočítat vzdálenost mezi danými body.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Vzorec vzdálenosti mezi dvěma body v rovině

Abychom našli vzorec vzdálenosti, můžeme zobecnit výpočet provedený v příkladu 2.

Pro libovolné dva body, například A (x₁yy₁) a B (x₂y₂), my máme:

Chcete-li se dozvědět více, přečtěte si také:

• rovinná geometrie
• Kartézský plán
• rovný

Vzdálenost mezi dvěma body v prostoru

K reprezentaci bodů v prostoru používáme trojrozměrný souřadnicový systém.

Bod je plně určen v prostoru, když je s ním spojen uspořádaný trojnásobek (x, y, z).

Abychom našli vzdálenost mezi dvěma body v prostoru, můžeme je zpočátku reprezentovat v souřadnicovém systému a odtud provést výpočty.

Příklad:

Jaká je vzdálenost mezi bodem A (3,1,0) a bodem B (1,2,0)?

V tomto příkladu vidíme, že body A a B patří do roviny xy.

Vzdálenost bude dána:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Vzorec vzdálenosti mezi dvěma body v prostoru

Chcete-li se dozvědět více, přečtěte si také:

• Prostorová geometrie
• Lineární rovnice
• Matematické vzorce

Vyřešená cvičení

1) Bod A patří k ose úsečky (osa x) a je ve stejné vzdálenosti od bodů B (3.2) a C (-3,4). Jaké jsou souřadnice bodu A?

Viz odpověď

Protože bod A patří k ose úsečky, pak jeho souřadnice je (a, 0). Musíme tedy najít hodnotu a.

(0 - 3)² + (až - 2)² = (0 + 3)² + (až -4)²
9+ až² - 4a +4 = 9 + a² - 8. + 16. místo
4. = 12
a = 3
(3.0) jsou souřadnice bodu A.

2) Vzdálenost z bodu A (3, a) do bodu B (0,2) se rovná 3. Vypočítejte souřadnicovou hodnotu a.

Viz odpověď

3² = (0 - 3)² + (2 - a)²
9 = 9 + 4 - 4a + a²
The² - 4. +4 = 0
a = 2

3) ENEM - 2013

V posledních letech prošla televize skutečnou revolucí, pokud jde o kvalitu obrazu, zvuk a interaktivitu s divákem. Tato transformace je způsobena převodem analogového signálu na digitální signál. Mnoho měst však stále tuto novou technologii nemá. Ve snaze přinést tyto výhody třem městům zamýšlí televizní stanice postavit novou vysílací věž, která vysílá signál do antén A, B a C, které již v těchto městech existují. Umístění antén jsou znázorněna v kartézské rovině:

Věž musí být umístěna ve stejné vzdálenosti od tří antén. Správné místo pro konstrukci této věže odpovídá souřadnicovému bodu

a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)

Viz odpověď

Správná alternativní e: (50; 30)

Podívejte se také: vzdálenost mezi dvěma body cvičení

4) ENEM - 2011

Sousedství města bylo plánováno v rovinaté oblasti s paralelními a kolmými ulicemi, vymezujícími bloky stejné velikosti. V následující rovině kartézských souřadnic se tato čtvrť nachází ve druhém kvadrantu a vzdálenosti v
osy jsou uvedeny v kilometrech.

Přímka rovnice y = x + 4 představuje plánování trasy trasy metra, která bude protínat sousedství a další regiony města.
V bodě P = (-5,5) se nachází veřejná nemocnice. Komunita požádala plánovací komisi, aby naplánovala stanici metra tak, aby její vzdálenost od nemocnice, měřená po přímce, nebyla větší než 5 km.
V reakci na žádost komunity výbor správně argumentoval, že to bude automaticky splněno, protože výstavba stanice v místě byla již předvídána.

a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)

Viz odpověď

Správná alternativa b: (-3,1).

Podívejte se také: cvičení z analytické geometrie