Oblast, rozsah a rozsah jsou číselné množiny související s matematickými funkcemi. Tyto transformují hodnoty prostřednictvím svých zákonů tvorby a přenášejí je z výstupní množiny, domény, do cílové množiny, rozsahu.
Z množiny domén pocházejí hodnoty, které budou transformovány funkčním vzorcem neboli formačním zákonem. Poté tyto hodnoty dorazí do kodomény.
Podmnožina tvořená prvky, které přicházejí do kodomény, se nazývá sada obrázků.
Tímto způsobem jsou doména, rozsah a rozsah neprázdné množiny a mohou být konečné nebo nekonečné.
Při studiu funkcí je nutné specifikovat, které prvky nebo jaký je rozsah těchto množin. Například: množina přirozených čísel nebo množina reálných čísel.
Vzhledem k oblasti A, ve které je každý prvek x, který do ní patří, transformován funkcí na prvek y, který patří do rozsahu B, se každý prvek y nazývá obrazem x.
K označení domény a rozsahu funkce se používá zápis:
(čteme f od A do B)
Tyto transformační zákony jsou výrazy, které zahrnují operace a číselné hodnoty.
Příklad
Funkce f: A→B definovaná zákonem o tvoření f(x) = 2x, kde jejím definičním oborem je množina A={1, 2, 3} a rozsah B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, může být reprezentován hodnotami v tabulce a diagramy:
|
Doména X |
f(x) = 2x |
obraz a |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Uspořádání výsledků tabulky do diagramů:
Doména
Doména D funkce f je výstupní množina složená z prvků x aplikovaných na funkci.
Geometricky v kartézské rovině tvoří prvky domény osu x na úsečce.
v notovém zápisu doménu představuje písmeno před šipkou.
Každý prvek x v doméně má alespoň jeden obrázek y v kodoméně.
kodoména
CD doména je příchozí sada. v notovém zápisu je znázorněno na pravé straně šipky.
obraz
Image Im je podmnožina rozsahu tvořená prvky y, které opouštějí funkci a dostávají se do rozsahu, který může mít stejný počet prvků nebo menší počet.
Tímto způsobem je obrazová množina funkce f obsažena v kodoméně.
Geometricky v kartézské rovině prvky obrazové sady tvoří osu y pořadnic.
Obecně se říká, že y je hodnota, kterou funkce f(x) přebírá, a tímto způsobem píšeme:
Je možné, že stejný prvek y je obrazem více než jednoho prvku x v doméně.
Příklad
ve funkci definované zákonem
, pro symetrické x-hodnoty domény máme jeden y-obraz.
dozvědět se víc o funkcí.
Cvičení týkající se domény, společné domény a obrázku
Cvičení 1
Vzhledem k množinám A = {8, 12, 13, 20, 23} a B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55} určete: doménu, rozsah a rozsah funkcí.
a) f: A → B definované jako f (x) = 2x + 1
b) f: A → B definované jako f (x) = 3x - 14
a) f: A → B definované jako f (x) = 2x + 1
Doména A = {8, 12, 13, 20, 23}
Doména B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Image Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | jsem (f) |
|---|---|---|
| 8 | f(8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f(12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f(13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f(23)=2,23+1 | 47 |
b) f: A → B definované jako f (x) = 3x - 14
Doména A = {8, 12, 13, 20, 23}
Doména B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Obrázek Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | jsem (f) |
|---|---|---|
8 |
f(8)=3,8-14 | 10 |
| 12 | f(12)=3,12-14 | 24 |
| 13 | f(13)=3,13-14 | 25 |
| 20 | f(20)=3,20-14 | 46 |
| 23 | f(23)=3,23-14 | 55 |
Cvičení 2
Určete definiční obor funkcí:
Doména je množina možných hodnot, které x může nabývat.
a) Víme, že není možné dělit nulou 0, takže jmenovatel musí být jiný než nula.
Čteme: x patří k reálným tak, že x je jiné než 2.
b) Záporné číslo nemá druhou odmocninu. Proto musí být radikand větší nebo roven nule.
Čteme: x patří mezi reálná čísla taková, že x je větší nebo rovno 5.
Cvičení 3
Vzhledem k funkci s doménou v množině celých čísel jaká je množina obrázků f(x)?
Množina Z celých čísel připouští záporná i kladná čísla, kde dvě po sobě jdoucí čísla jsou od sebe vzdálena 1 jednotku.
Tímto způsobem funkce připouští kladné a záporné hodnoty. Protože je však x na druhou, každá hodnota, dokonce i záporná, vrátí kladnou hodnotu.
Příklad
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
Tímto způsobem budou na obrázku pouze přirozená čísla.
Mohlo by vás zajímat:
- vstřikovací funkce
- Surjektivní funkce
- Funkce bijekce
- Inverzní funkce
- Kompozitní funkce
Aplikace a kuriozity
Funkce mají uplatnění při studiu jakéhokoli jevu, ve kterém jeden parametr závisí na druhém. Jako například rychlost kusu nábytku v čase, účinky drogy s charakteristikou kyselosti v žaludku, teplota kotle s množstvím paliva.
Funkce jsou přítomny ve skutečných jevech, a proto mají uplatnění ve všech vědeckých a inženýrských studiích.
Studium funkcí není nedávné, některé záznamy ve starověku v babylonských tabulkách ukazují, že byly již součástí matematiky. V průběhu let zápisy, způsob, jakým jsou psány, dostávaly příspěvky od několika matematiků a zdokonalovaly se, až je používáme dnes.
