Cvičení na PA a PG

Prostudujte si aritmetický a geometrický postup s řešenými a komentovanými cvičeními krok za krokem.

Cvičení 1

V AP je a2 = 5 a a7 = 15. Najděte a4 a přidejte prvních pět členů tohoto AP.

viz odpověď

Správná odpověď: a4 = 9 a S = 35.

Rozlišení

1. krok: určete důvod a a4.
Abychom opustili a2 a dostali se na a7, přidáme 5r, protože je to „vzdálenost“ mezi 7 a 2.

Výraz a4 je výraz a2 plus 2r, protože abychom se dostali z a2 na a4, „postoupíme“ 2r. Již brzy,

Proto je čtvrtým termínem AP 9.

2. krok: určete součet prvních pěti členů tohoto AP.

Součet podmínek AP je dán takto:

a1 = a2 - r (protože se vrátíme o jednu pozici v PA, počínaje a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (protože se vrátíme o dvě pozice v PA, počínaje a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

Cvičení 2

(Aeronautika 2021) Profesor napsal 8člennou rostoucí aritmetickou progresi začínající číslem 3 a složenou pouze z přirozených čísel. Pak si všiml, že druhý, čtvrtý a osmý člen této aritmetické posloupnosti tvoří v tomto pořadí geometrickou posloupnost. Profesor také poznamenal, že součet členů této geometrické progrese byl roven

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

viz odpověď

Odpověď: a) 42

Podle AP jsou pojmy, které tvoří PG, a2, a4 a a8:

Součet tří termínů je:

K určení r použijeme geometrický průměr:

Zarovnání na obě strany

Umocnění prvního členu a rozdělení druhého členu:

Dosazením r do rovnice I máme:

Proto je součet prvních tří členů roven 42.

Cvičení 3

(PM-SP 2019) V roce 2015 zahájila velká ropná společnost proces opětovného využití vody používané k chlazení dílů, které vytvořili a vytvořili projekci postupného nárůstu, aritmetickým postupem, do roku 2050, objemu vody, která se bude rok od roku znovu používat rok.

Tabulka ukazuje objemy znovu použité vody v prvních 3 letech:

Nechť An je obecný termín aritmetické posloupnosti, který udává objem znovu použité vody v milionech m³, kde n = 1, představující objem vody znovu použité v roce 2016, n = 2, představující objem vody znovu použité v roce 2017 atd. postupně.

Za těchto podmínek člověk musí

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5 n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

viz odpověď

Správná odpověď: c) An = 0,5n + 23.

objektivní
Určete An jako funkci n.

Rozlišení
Poměr aritmetické progrese je 0,5, protože 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Obecný termín AP je dán takto:

Nahrazení hodnot:

Cvičení 4

(CEDERJ 2021) Posloupnost (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) je aritmetickou posloupností poměru 6. Čtvrtý termín tohoto postupu je

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

viz odpověď

Správná odpověď: a) 31

Rozlišení

Čtvrtý člen je a3 + r, takto:

Dosazením nalezených hodnot:

Cvičení 5

(Enem 2021) V Brazílii doba potřebná k tomu, aby student dokončil svůj výcvik až do absolvování vyššího kurzu, s ohledem na 9 let základní školy, 3 roky střední školy a 4 roky maturity (průměrná doba) je to 16 let starý. Realita Brazilců však ukazuje, že průměrná doba studia lidí starších 14 let je stále velmi malá, jak ukazuje tabulka.

Vezměte v úvahu, že prodlužování doby studia v každém období u těchto lidí zůstává konstantní až do roku 2050 a že je zamýšleno dosáhnout úrovně 70 % času potřebného k získání vyššího daného kurzu dříve.
Rok, ve kterém průměrná doba studia osob starších 14 let dosáhne požadovaného procenta, bude

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

viz odpověď

Správná odpověď: d) 2035.

1. část: určete 70 % z 16.

2. část: určit, po kolika obdobích bude dosaženo 11,2 roku studia.

Časová posloupnost studie je aritmetická progrese (AP) s poměrem 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Částka 11,2 roku bude dosažena v:

Částky 11,2 bude dosaženo v 11. funkčním období PA.

3. část: určit, které je 11. volební období PA ročníků.

Poměr je a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 roky

Závěr
70 % z 16 let potřebných k dokončení vysokoškolského studia bude dosaženo v roce 2035.

Cvičení 6

(Hasiči 2021) Letoun a hasičský vůz mají vodní nádrže o kapacitě 12 000 a 8 000 litrů vody. Nákladní auto má čerpadlo 2,5 GPM, což znamená, že je schopné čerpat 2,5 galonu za minutu.

Z této hypotetické situace posuďte následující položku, protože 1 galon se rovná 3,8 litru vody.

Pokud má nádrž na vodu kapacitu X tisíc litrů, takže 8, X a 12 jsou v geometrickém pořadí v tomto pořadí, pak je kapacita této nádrže menší než 10 tisíc litrů.

Že jo

Špatně

viz odpověď

Správná odpověď: správně

objektivní
Zkontrolujte, zda X < 10.

Rozlišení
V geometrické progresi, PG, je středním členem geometrický průměr mezi extrémy.

Ve skutečnosti je přibližná druhá odmocnina z 96 9,79. Došli jsme k závěru, že kapacita X nádrže je necelých 10 tisíc litrů.

Cvičení 7

(Aeronautika 2021) Buď P.G. (24, 36, 54, ...). Přidáním 5. a 6. termínu tohoto G.P. tam bylo

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

viz odpověď

Správná odpověď: c) 1215/4

objektivní
Přidejte a5 + a6

Rozlišení

Krok 1: Určete poměr q.

Důvod PG je:

Krok 2: Určete a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

Nahrazení a4 za a5:

Krok 3: Určete a6

a6 = a5. q

Nahrazení a5 za a6:

Krok 4: Přidejte a5 + a6 nahraďte číselné hodnoty.

Uvedení 54 jako důkaz:

Cvičení 8

(UERJ 2019) Trojúhelníky A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, zobrazené níže, mají obvody p1, p2, p3. Vrcholy těchto trojúhelníků, počínaje druhým, jsou středy stran předchozího trojúhelníku.

přiznat to .

Tedy (p1, p2, p3) definuje následující průběh:

a) poměrová aritmetika = – 8
b) poměrová aritmetika = – 6
c) geometrický poměr = 1/2
d) geometrický poměr = 1/4

viz odpověď

Správná odpověď: c) geometrický poměr = 1/2

Rozlišení

Krok 1: definujte obvody p1, p2 a p3.

Rovnoběžností ověříme, že strany vnitřního trojúhelníku jsou polovinou toho bezprostředně vnějšího.

Například B2A2 = A1C2

P2 je tedy polovina p1, stejně jako p3 je polovina p2. My máme:

Krok 2: Sestavte postup a klasifikujte jej.

Ukazuje se, že pro určení p2 se 18 vynásobí 1/2.

Také 9 vynásobené 1/2 je 4,5.

Závěr
Ověříme, že progrese je geometrická, s poměrem 1/2.

Cvičení 9

(Enem 2021) Graf informuje o produkci registrované odvětvím v měsících leden, březen a duben.

Z důvodu logistických problémů nebyl proveden průzkum výroby za měsíc únor. Informace za další tři měsíce však naznačují, že produkce v tomto čtyřměsíčním období rostla exponenciálně, jak ukazuje trendová křivka v grafu.

Za předpokladu, že růst v tomto období byl exponenciální, lze usuzovat, že produkce tohoto odvětví v měsíci únoru v tisících jednotek byla

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

viz odpověď

Správná odpověď: c) 240.

Rozlišení

Obecný člen PG je exponenciála a jako funkce n, kde a1 a q jsou konstantní čísla.

a1 = 120

Poměr q lze určit pomocí a4 / a3 takto:

Únorová veličina je a2, kterou získáme vynásobením a1 hodnotou q.

Proto byla produkce v měsíci únoru 240.

Studujte více s:

• Geometrická postupová cvičení
• Aritmetická postupová cvičení

Viz také:

• PA a PG: shrnutí, vzorce a cvičení
• Geometrická progrese
• aritmetický postup