Analytická geometrie studuje geometrické prvky v souřadnicovém systému v rovině nebo prostoru. Tyto geometrické objekty jsou určeny jejich umístěním a polohou vzhledem k bodům a osám tohoto orientačního systému.
Od starověkých národů, jako jsou Egypťané a Římané, se myšlenka souřadnic objevila již v historii. Ale to bylo v 17. století, s díly René Descartes a Pierre de Fermat, že tento obor matematiky byl systematizován.
Kartézský ortogonální systém
Ortogonální kartézský systém je referenční základnou pro lokalizaci souřadnic. Je tvořena v rovině dvěma na sebe kolmými osami.
- Počátek O(0,0) tohoto systému je průsečíkem těchto os.
- Osa x je úsečka.
- Osa y je pořadnice.
- Čtyři kvadranty jsou orientovány proti směru hodinových ručiček.
objednaný pár
Každý bod v rovině má souřadnici P(x, y).
x je úsečka bodu P a představuje vzdálenost od jeho pravoúhlého průmětu na osu x k počátku.
y je pořadnicí bodu P a je vzdáleností od jeho pravoúhlého průmětu na osu y k počátku.
vzdálenost mezi dvěma body
Vzdálenost mezi dvěma body na kartézské rovině je délka segmentu spojujícího tyto dva body.
Vzorec vzdálenosti mezi dvěma body a
žádný.
Středové souřadnice
Střed je bod, který rozděluje segment na dvě stejné části.
Bytost střed segmentu
, jeho souřadnice jsou aritmetickým průměrem úsečky a pořadnice.
a
Podmínka tříbodového vyrovnání
Vzhledem k bodům: .
Tyto tři body budou zarovnány, pokud je determinant následující matice roven nule.
Příklad
Úhlový koeficient úsečky
svah přímky je tečna jejího sklonu
vzhledem k ose x.
Chcete-li získat sklon ze dvou bodů:
Je-li m > 0, přímka je vzestupná, v opačném případě, je-li m < 0, přímka sestupně.
obecná rovnice přímky
Kde ten,B a C jsou konstantní reálná čísla a The a B nejsou současně nulové.
Příklad
Přímková rovnice se znalostí bodu a sklonu
dostal bod a svah
.
Rovnice přímky bude:
Příklad
Redukovaný tvar přímé rovnice
Kde:
m je sklon;
n je lineární koeficient.
Ne je uspořádán tam, kde přímka protíná osu y.
Příklad
Koukni se Linková rovnice.
Relativní poloha mezi dvěma rovnoběžnými přímkami v rovině
Dvě zřetelné čáry jsou rovnoběžné, když jsou jejich sklony stejné.
pokud rovný r má sklon a rovný s má sklon
, jsou paralelní, když:
K tomu musí být vaše sklony stejné.
Tečny jsou stejné, když jsou úhly stejné.
Relativní poloha mezi dvěma konkurenčními přímkami v rovině
Dvě čáry jsou souběžné, pokud jsou jejich sklony různé.
Na druhé straně se svahy liší, když jsou jejich úhly sklonu vzhledem k ose x různé.
kolmé čáry
Dva zbytky jsou kolmé, když je součin jejich sklonů roven -1.
dvě rovinky r a s, zřetelné, se sklony a
, jsou kolmé tehdy a pouze tehdy, když:
nebo
Dalším způsobem, jak zjistit, zda jsou dvě přímky kolmé, je z jejich rovnic v obecném tvaru.
Rovnice přímek r a s jsou:
Dvě čáry na něj kolmé, když:
Koukni se Kolmé čáry.
Obvod
Kružnice je místo na rovině, kde jsou všechny body P(x, y) stejně vzdálené r od jeho středu C(a, b), kde r je míra bytí poloměru.
Obvodová rovnice v redukovaném tvaru
Kde:
r je poloměr, vzdálenost mezi libovolným bodem na vašem oblouku a středem. C.
The a B jsou souřadnice středu C.
obecná rovnice kruhu
Získá se rozvinutím druhých mocnin redukované rovnice obvodu.
Je velmi běžné ukazovat obecný tvar obvodové rovnice ve cvičeních, také známý jako normální tvar.
kuželovitý
Slovo kuželový pochází z kužele a odkazuje na křivky získané jeho rozřezáním. Elipsa, hyperbola a parabola jsou křivky nazývané kuželosečky.
Elipsa
Elipsa je uzavřená křivka získaná rozříznutím přímého kruhového kužele rovinou šikmou k ose, která neprochází vrcholem a není rovnoběžná s jeho tvořícími přímkami.
V rovině množina všech bodů, jejichž součet vzdáleností ke dvěma vnitřním pevným bodům je konstantní.
Prvky elipsy:
- F1 a F2 jsou ohniska elipsy;
- 2c je ohnisková vzdálenost elipsy. Je to vzdálenost mezi F1 a F2;
- Bod Ó je to střed elipsy. Je to střed mezi F1 a F2;
- A1 a A2 jsou vrcholy elipsy;
- segmentu
hlavní osa a rovná se 2a.
- segmentu
vedlejší osa je rovna 2b.
- Excentricita
kde 0 < a < 1.
Redukovaná elipsová rovnice
Uvažujme bod P(x, y) obsažený v elipse, kde x je úsečka a y je pořadnice tohoto bodu.
Střed elipsy v počátku souřadného systému a hlavní osa (AA) na ose x.
Střed elipsy v počátku souřadného systému a hlavní osa (AA) na ose y.
Zmenšená rovnice elipsy s osami rovnoběžnými se souřadnicovými osami
s ohledem na bod jako počátek kartézského systému a bod
jako střed elipsy.
Hlavní osa AA, rovnoběžná s osou x.
Hlavní osa AA, rovnoběžná s osou y.
Nadsázka
Hyperbola je množina bodů v rovině, kde rozdíl mezi dvěma pevnými body F1 a F2 má za následek konstantní kladnou hodnotu.
Prvky hyperboly:
- F1 a F2 jsou ohniska hyperboly.
- 2c =
je ohnisková vzdálenost.
- Střed hyperboly je bod Ó, Průměr segmentu F1F2.
- A1 a A2 jsou vrcholy.
- 2a = A1A2 je skutečná nebo příčná osa.
- 2b = B1B2 je imaginární neboli konjugovaná osa.
-
je výstřednost.
Prostřednictvím trojúhelníku B1OA2
Hyperbola redukovaná rovnice
Se skutečnou osou kolem osy x a středem v počátku.
Se skutečnou osou na ose y a středem v počátku.
Hyperbolová rovnice s osami rovnoběžnými se souřadnicovými osami
AA reálná osa rovnoběžná s osou x a středem .
Reálná osa AA rovnoběžná s osou y a středem .
Podobenství
Parabola je místo, kde množina bodů P(x, y) je stejně vzdálená od pevného bodu F a přímky d.
Prvky podobenství:
- F je ohniskem podobenství;
- d je přímá vodicí čára;
- Osa symetrie je přímka procházející ohniskem F a kolmá k vodicí linii.
- V je vrchol paraboly.
- p je segment o stejné délce mezi ohniskem F a vrcholem V e, mezi vrcholem a směrnicí d.
Redukované rovnice paraboly
S vrcholem v počátku a osou symetrie na ose y.
Pokud p>0 konkávnost směrem nahoru.
Pokud p<0 klesající konkávnost.
S vrcholem v počátku a osou symetrie na ose x.
Pokud p>0 konkávnost vpravo.
Pokud p<0 konkávnost doleva.
S osou symetrie rovnoběžnou s osou y a vrcholem .
S osou symetrie rovnoběžnou s osou x a vrcholem .
cvičit s Cvičení z analytické geometrie.
Více se dozvíte na:
Kartézský plán
vzdálenost mezi dvěma body
kuželovitý
Výpočet úhlového součinitele
