Jednoduchý a složený úrok jsou výpočty prováděné za účelem opravy částek zahrnutých do transakcí finanční, tj. korekci provedenou při zapůjčení nebo investování určité částky během období 2006 čas.
Vyplacená nebo vyměněná částka bude záviset na poplatku účtovaném za transakci a na období, kdy budou peníze vypůjčeny nebo investovány. Čím vyšší je rychlost a čas, tím vyšší je tato hodnota.
Rozdíl mezi jednoduchým a složeným úrokem
V jednoduchém zájmu je korekce aplikována na každé období a zohledňuje pouze počáteční hodnotu. U složeného úroku se oprava provádí na již opravených částkách.
Z tohoto důvodu se složený úrok také nazývá úrok z úroku, to znamená, že částka se upraví o částku, která již byla upravena.
U delších období investování nebo půjčky proto oprava složeným úrokem způsobí, že konečná částka, která má být přijata nebo vyplacena, bude vyšší než částka získaná jednoduchým úrokem.
Většina finančních operací používá korekci složeným úrokovým systémem. Jednoduchý zájem je omezen na krátkodobé operace.
Jednoduchý úrokový vzorec
Jednoduchý úrok se vypočítá podle následujícího vzorce:
Bytost,
J: úrok
C: počáteční hodnota transakce, nazývaná kapitálová finanční matematika
i: úroková sazba (částka obvykle vyjádřená v procentech)
t: období transakce
Můžeme také vypočítat celkovou částku, která bude splacena (v případě investice) nebo částku, která má být splacena (v případě půjčky) na konci předem stanoveného období.
Tato hodnota, nazývaná částka, se rovná součtu jistiny plus úroku, což je:
Můžeme nahradit hodnotu J ve vzorci výše a najít následující výraz pro částku:
Vzorec, který jsme našli, je afinní funkce, takže hodnota množství roste lineárně jako funkce času.
Příklad
Pokud kapitál 1 000,00 $ měsíčně přináší 25,00 $, jaká je roční úroková sazba v jednoduchém úrokovém systému?
Řešení
Nejprve identifikujme každé množství uvedené v problému.
C = 1 000,00 BRL
J = 25,00 BRL
t = 1 měsíc
i =?
Nyní, když jsme identifikovali všechna množství, můžeme ve vzorci zájmu nahradit:
Upozorňujeme však, že tento poplatek je měsíční, protože používáme období 1 měsíce. Abychom zjistili roční poplatek, musíme tuto hodnotu vynásobit 12, takže máme:
i = 2.5.12 = 30% ročně
Složený úrokový vzorec
Částku aktivovanou na složený úrok zjistíme pomocí následujícího vzorce:
Bytost,
M: částka
C: kapitál
i: úroková sazba
t: časové období
Na rozdíl od jednoduchého úroku zahrnuje tento typ kapitalizace vzorec pro výpočet částky exponenciální variaci. Proto je vysvětleno, že konečná hodnota se po delší období značně zvyšuje.
Příklad
Vypočítejte částku vyprodukovanou 2 000 R $ aplikovanou ve výši 4% za čtvrtletí po jednom roce v systému složeného úroku.
Řešení
Při identifikaci poskytnutých informací máme:
C = 2000
i = 4% nebo 0,04 za čtvrtletí
t = 1 rok = 4 čtvrtletí
M =?
Nahrazením těchto hodnot ve vzorci složeného úroku máme:
Na konci jednoho roku se tedy částka bude rovnat 2 339,71 R $.
Vyřešená cvičení
Otázka 1
Výpočet částky
Jaká je výše investice ve výši 500,00 R $ se sazbou 3% měsíčně, v období 1 roku a 6 měsíců, v jednoduchých a složených úrokových systémech?
jednoduchý zájem
Data:
C = 500
i = 0,03
t = 18 měsíců (1 rok + 6 měsíců)
Částkou bude počáteční kapitál plus úroky.
M = C + J
Zájem je:
J = C.i.t.
J = 500.0.03.18 = 270
Částka tedy bude:
M = C + J
M = 500 + 270
M = 770
Odpověď: Částka této aplikace bude 770,00 R $.
Složený úrok
Při použití hodnot ve vzorci máme:
Odpověď: Částka investice v režimu složeného úroku je 851,21 USD.
otázka 2
Výpočet kapitálu
Určitý kapitál byl použit po dobu 6 měsíců. Sazba byla 5% za měsíc. Po tomto období činila částka 5000,00 R $. Určete kapitál.
jednoduchý zájem
Uvedení C jako důkazu ve vzorci jednoduchého úroku:
M = C + J
M = C + C.i.t.
M = C (1 + i.t)
Izolace C do rovnice:
Složený úrok
Izolace C ve vzorci složeného úroku a nahrazení hodnot:
Odpověď: Kapitál musí být R $ 4201,68.
otázka 3
Výpočet úrokové sazby
Jaká by byla měsíční úroková sazba z investice 100 000 USD za období osmi měsíců, které vydělalo částku 1600,00 USD.
jednoduchý zájem
Použití vzorce a prokázání C:
M = C + J
M = C + C.i.t.
M = C (1 + i.t)
Nahrazení hodnot a numerické výpočty:
v procentech
I = 7,5%
Složený úrok
Pojďme použít vzorec pro složený úrok a částku vydělíme jistinou.
otázka 4
Výpočet aplikačního období (čas)
Kapitál ve výši 8000 R $ byl investován s měsíčním úrokem 9%, čímž byla získána částka 10360,00 R $.
Jak dlouho byl tento kapitál investován?
jednoduchý zájem
Pomocí vzorce
Proto je doba přibližně 3,27 měsíce.
Složený úrok
V tomto kroku stojíme před exponenciální rovnicí.
Abychom to vyřešili, použijeme logaritmus, aplikující logaritmus stejné báze, na obě strany rovnice.
Pomocí vlastnosti logaritmů na pravé straně rovnice máme:
otázka 5
UECE - 2018
Obchod prodává televizor s následujícími platebními podmínkami: záloha 800,00 R $ a platba 450,00 R $ o dva měsíce později. Pokud je cena spotové televize 1 200,00 R, pak jednoduchá měsíční úroková sazba vložená do platby je
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Při porovnání ceny televizoru v hotovosti (1 200,00 R $) a částky zaplacené ve dvou splátkách jsme zaznamenali nárůst o 50,00 R $, protože zaplacená částka se rovnala 1 250,00 R $ (800 +450).
K vyhledání účtované sazby můžeme použít jednoduchý úrokový vzorec, vzhledem k tomu, že na debetní zůstatek byl uplatněn úrok (TV hodnota snížená o zálohu). Takže máme:
C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 měsíce
J = C.i.t.
50 = 400.i.2
Alternativa: a) 6,25%
Rovnocennost kapitálu
Ve finanční matematice je třeba mít na paměti, že částky spojené s transakcí se časem posunou.
Vzhledem k této skutečnosti znamená provedení finanční analýzy srovnání současných hodnot s hodnotami budoucími. Musíme tedy mít způsob, jak dosáhnout ekvivalence kapitálu v různých dobách.
Když vypočítáme částku, ve vzorci složeného úroku najdeme budoucí hodnotu pro t časových období, rychlostí i, ze současné hodnoty.
To se provádí vynásobením termínu (1 + i)Ne v současné hodnotě to je:
Naopak, pokud chceme zjistit současnou hodnotu s vědomím hodnoty budoucí, uděláme dělení, to znamená:
Příklad:
Aby si člověk koupil motocykl za skvělou cenu, požádal člověk o půjčku ve výši 6 000,00 R $ od finanční společnosti s 15% měsíčním úrokem. O dva měsíce později zaplatil 3 000,00 R a následující měsíc splatil dluh.
Jaká byla výše poslední splátky zaplacené danou osobou?
Řešení
Pokud osoba dokázala splatit dlužnou částku z půjčky, pak se částka zaplacená v první splátce plus druhá splátka rovná dlužné částce.
Splátky však byly v průběhu období upravovány o měsíční úroky. Proto, abychom těmto částkám odpovídali, musíme znát jejich ekvivalentní hodnoty ke stejnému datu.
Ekvivalenci provedeme s ohledem na dobu půjčky, jak ukazuje následující diagram:
Použití vzorce pro dva a tři měsíce:
Proto byla poslední provedená platba 5 675,25 $.
Cvičení vyřešeno
otázka 6
Úvěr byl poskytnut s měsíční sazbou i%, s použitím složeného úroku, v osmi pevných splátkách rovných P.
Dlužník má možnost kdykoli splatit dluh předem a zaplatit za něj aktuální hodnotu splátek, které ještě mají být zaplaceny. Po zaplacení 5. splátky se rozhodne splácet dluh při splácení 6. splátky.
Výraz, který odpovídá celkové částce zaplacené za splácení úvěru, je:
Odpověď: Písmeno a
