Faktoring je proces používaný v matematice, který spočívá v reprezentaci čísla nebo výrazu jako produktu faktorů.
Psaním polynomu, jako je násobení jiných polynomů, můžeme často zjednodušit výraz.
Níže se podívejte na typy polynomiální faktorizace:
Společný důkazní faktor
Tento typ faktorizace používáme, když existuje faktor, který se opakuje ve všech podmínkách polynomu.
Tento faktor, který může obsahovat čísla a písmena, bude umístěn před závorky.
Uvnitř závorek bude výsledek dělení každého členu polynomu společným faktorem.
V praxi uděláme následující kroky:
1º) Určete, zda existuje číslo, které dělí všechny koeficienty polynomu a písmena, která se opakují ve všech termínech.
2º) Před závorky (na důkaz) vložte společné faktory (číslo a písmena).
3.) Umístěte do závorek výsledek vydělením každého faktoru polynomu faktorem, který je v důkazu. V případě písmen použijeme pravidlo dělby moci stejné základny.
Příklady
a) Jaká je faktorizovaná forma polynomu 12x + 6y - 9z?
Nejprve zjistíme, že číslo 3 rozděluje všechny koeficienty a že neexistuje žádné opakující se písmeno.
Číslo 3 vložíme před závorky, všechny výrazy vydělíme třemi a výsledek vložíme do závorek:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Faktor 2a2b + 3a3c - a4.
Protože neexistuje žádné číslo, které by rozdělovalo 2, 3 a 1 současně, nebudeme před závorky uvádět žádné číslo.
Dopis The se opakuje ve všech termínech. Společným faktorem bude The2, což je nejmenší exponent The ve výrazu.
Každý člen polynomu vydělíme The2:
2. místo2 b:2 = 2. místo2 - 2 b = 2b
3. místo3c: the2 = 3. místo3 - 2 c = 3ac
The4: a2 =2
Dali jsme The2 před závorky a výsledky dělení v závorkách:
2. místo2b + 3a3c - a4 =2 (2b + 3ac - a2)
seskupení
V polynomu, který neexistuje faktor, který se opakuje ve všech termínech, můžeme použít faktorizaci seskupením.
K tomu musíme určit pojmy, které lze seskupit podle společných faktorů.
V tomto typu faktorizace jsme prokázali společné faktory klastrů.
Příklad
Faktor polynomial mx + 3nx + my + 3ny
Podmínky mx a 3 měsíce má jako společný faktor X. již podmínky můj a 3ny jako společný faktor y.
Důkazem těchto faktorů:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Všimněte si, že (m + 3n) se nyní také opakuje v obou termínech.
Když to znovu uvedeme jako důkaz, najdeme faktorizovaný tvar polynomu:
mx + 3nx + můj + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Perfect Square Trinomial
Trinomials jsou polynomy se 3 členy.
Perfektní čtvercové trojčlenky a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 výsledek z pozoruhodného produktu typu (a + b)2 a (a - b)2.
Faktorizace dokonalého čtvercového trinomia bude tedy:
The2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (čtverec součtu dvou členů)
The2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (čtverec rozdílu dvou členů)
Abychom zjistili, zda je trinomiál opravdu dokonalým čtvercem, uděláme následující:
1º) Vypočítejte druhou odmocninu termínů, které se objeví na druhou.
2) Vynásobte nalezené hodnoty číslem 2.
3.) Porovnejte nalezenou hodnotu s výrazem, který nemá druhou mocninu. Pokud jsou si rovni, je to perfektní čtverec.
Příklady
a) Faktor polynomu x2 + 6x + 9
Nejprve musíme otestovat, zda je polynom dokonalý čtverec.
√x2 = xa √9 = 3
Vynásobením 2 zjistíme: 2. 3. x = 6x
Protože nalezená hodnota se rovná termínu, který není čtvercový, je polynom dokonalý na druhou.
Faktorizace tedy bude:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Faktor polynomu x2 - 8x + 9r2
Testování, zda je to perfektní čtvercový trinomial:
√x2 = x a √9y2 = 3 roky
Násobení: 2. X. 3y = 6xy
Nalezená hodnota neodpovídá termínu polynomu (8xy ≠ 6xy).
Jelikož to není dokonalá čtvercová trinomie, nemůžeme použít tento typ faktorizace.
Rozdíl dvou čtverců
Faktorovat polynomy typu a2 - B2 použijeme pozoruhodný součin součtu a rozdílu.
Faktorizace polynomů tohoto typu tedy bude:
The2 - B2 = (a + b). (a - b)
Abychom to zohlednili, musíme vypočítat druhou odmocninu dvou členů.
Poté napište součin nalezených hodnot a rozdílu mezi těmito hodnotami.
Příklad
Faktor 9x binomický2 - 25.
Nejprve najděte druhou odmocninu výrazů:
√9x2 = 3x a √25 = 5
Napište tyto hodnoty jako součet součtu a rozdílu:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
dokonalá kostka
polynomy a3 + 32b + 3ab2 + b3 a3 - 3. místo2b + 3ab2 - B3 výsledek z pozoruhodného produktu typu (a + b)3 nebo (a - b)3.
Tvarovaný tvar dokonalé krychle je tedy:
The3 + 32b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
The3 - 3. místo2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Abychom vyloučili polynomy tohoto typu, musíme vypočítat kubickou odmocninu termínů do krychle.
Poté je nutné potvrdit, že polynom je dokonalá krychle.
Pokud ano, krychlujeme součet nebo odčítání hodnot nalezených kubických kořenů.
Příklady
a) Faktor polynomu x3 + 6x2 + 12x + 8
Nejprve vypočítáme kubický kořen výrazů v krychli:
3√ x3 = x a 3√ 8 = 2
Poté potvrďte, zda je to dokonalá krychle:
3. X2. 2 = 6x2
3. X. 22 = 12x
Protože nalezené výrazy jsou stejné jako výrazy v polynomu, jedná se o dokonalou krychli.
Faktorizace tedy bude:
X3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Faktor polynomu a3 - 92 + 27 .-- 27
Nejprve vypočítáme kubický kořen výrazů v krychli:
3na3 = a a 3√ - 27 = - 3
Poté potvrďte, zda je to dokonalá krychle:
3. The2. (-3) = - 92
3. The. (- 3)2 = 27
Protože nalezené výrazy jsou stejné jako výrazy v polynomu, jedná se o dokonalou krychli.
Faktorizace tedy bude:
The3 - 92 + 27a - 27 = (a - 3)3
Přečtěte si také:
- Potenciace
- Polynomy
- Polynomiální funkce
- prvočísla
Vyřešená cvičení
Faktorujte následující polynomy:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 -2
e) 9. den2 + 12. + 4
a) 11. (3x + 2r - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3. + 2)2
Podívejte se také:
- Algebraické výrazy
- Cvičení z algebraických výrazů
- Pozoruhodné produkty
- Pozoruhodné produkty - cvičení
