Trigonometrie je důležitým tématem v matematice, které umožňuje kromě dalších trigonometrických funkcí znát strany a úhly v pravém trojúhelníku prostřednictvím sinusového, kosinusového a tangensu.
Chcete-li zlepšit své studium a rozšířit své znalosti, postupujte podle seznamu 8 cvičení plus 4 otázky k přijímacím zkouškám, vše vyřešeno krok za krokem.
Cvičení 1
Při ranním pozorování stínu budovy na zemi jedna osoba zjistila, že měřila 63 metrů, když sluneční paprsky svíraly s povrchem úhel 30 °. Na základě těchto informací vypočítejte výšku budovy.
Správná odpověď: Přibližně 36,37 m.
Budova, stín a sluneční paprsek určují pravý trojúhelník. Pomocí úhlu 30 ° a tečny můžeme určit výšku budovy.
Protože výška budovy je h, máme:
Cvičení 2
Na obvodu o průměru 3 segment AC, nazývaný akord, svírá úhel 90 ° s dalším akordem CB stejné délky. Jaká je míra strun?
Správná odpověď: Délka lana je 2,12 cm.
Protože segmenty AC a CB tvoří úhel 90 ° a jsou stejně dlouhé, vytvořený trojúhelník je rovnoramenný a základní úhly jsou stejné.
Vzhledem k tomu, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku se rovná 180 ° a my již máme úhel 90 °, zbývá dalších 90 °, které lze rovnoměrně rozdělit mezi dva základní úhly. Jejich hodnota se tedy rovná 45 °.
Protože průměr se rovná 3 cm, poloměr je 1,5 cm a my můžeme použít kosinus 45 ° k určení délky řetězce.
Cvičení 3
Cyklista účastnící se šampionátu se blíží k cílové čáře v horní části svahu. Celková délka této poslední části zkoušky je 60 ma úhel mezi rampou a vodorovnou rovinou je 30 °. S tímto vědomím vypočítejte svislou výšku, kterou musí cyklista vylézt.
Správná odpověď: Výška bude 30 m.
Voláním výšky h máme:
Cvičení 4
Následující obrázek je tvořen třemi trojúhelníky, kde výška h určuje dva pravé úhly. Hodnoty prvků jsou:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Určete hodnotu a + b.
Správná odpověď:
Můžeme určit měření segmentů a a b pomocí tečen daných úhlů.
Výpočet a:
Výpočet b:
Tím pádem,
Cvičení 5
Letadlo vzlétlo z města A a letělo 50 km po přímce, dokud nepřistálo ve městě B. Poté letěl dalších 40 km, tentokrát směrem do města D. Tyto dvě trasy jsou navzájem v úhlu 90 °. Kvůli nepříznivým povětrnostním podmínkám však pilot obdržel sdělení z řídící věže s informací, že nemůže přistát ve městě D a že by se měl vrátit do města A.
Aby se otočil z bodu C, musel by pilot otočit o kolik stupňů doprava?
Zvážit:
hřích 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
tan 51 ° = 1,25
Správná odpověď: Pilot musí otočit o 129 ° doprava.
Analýzou obrázku vidíme, že cesta tvoří pravý trojúhelník.
Pojďme nazvat úhel, který hledáme W. Úhly W a Z jsou doplňkové, to znamená, že tvoří mělký úhel 180 °.
W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (rovnice 1)
Naším úkolem nyní je určit úhel Z a k tomu použijeme jeho tečnu.
Musíme si položit otázku: Jaký je úhel, jehož tečna je 1,25?
Problém nám dává tato data, tan 51 ° = 1,25.
Tuto hodnotu lze také najít v trigonometrické tabulce nebo ve vědecké kalkulačce pomocí funkce:
Dosazením hodnoty Z v rovnici 1 máme:
Š = 180 ° - 51 ° = 129 °
Cvičení 6
Paprsek monochromatického světla při přechodu z jednoho média do druhého trpí odchylkou k němu. Tato změna jeho šíření souvisí s indexy lomu média, jak ukazuje následující vztah:
Snellův zákon - Descartes
Kde i a r jsou úhly dopadu a lomu a n1 an2, indexy lomu prostředků 1 a 2.
Při nárazu na povrch oddělení mezi vzduchem a sklem mění paprsek světla svůj směr, jak je znázorněno na obrázku. Jaký je index lomu skla?
Data: Index lomu vzduchu rovný 1.
Správná odpověď: Index lomu skla se rovná .
Nahrazení hodnot, které máme:
Cvičení 7
Chcete-li do své dílny přetáhnout dřevěný kmen, zámečník uvázal lano na dřevo a vytáhl ho deset stop přes vodorovný povrch. Síla 40 N procházející strunou svírala se směrem jízdy úhel 45 °. Vypočítejte práci aplikované síly.
Správná odpověď: Provedená práce je přibližně 84,85 J.
Práce je skalární veličina získaná součinem síly a posunutí. Pokud síla nemá stejný směr jako posunutí, musíme tuto sílu rozložit a uvažovat pouze složku v tomto směru.
V tomto případě musíme vynásobit velikost síly kosinusem úhlu.
Takže máme:
Cvičení 8
Mezi dvěma horami museli obyvatelé dvou vesnic tvrdě cestovat nahoru a dolů. Aby se situace vyřešila, bylo rozhodnuto, že mezi obcemi A a B bude vybudován lanový most.
Bylo by nutné vypočítat vzdálenost mezi oběma vesnicemi přímkou, na které by byl most natažen. Vzhledem k tomu, že obyvatelé již znali výšku měst a úhly stoupání, bylo možné tuto vzdálenost vypočítat.
Na základě níže uvedeného diagramu a s vědomím, že výška měst byla 100 m, vypočítejte délku mostu.
Správná odpověď: Most by měl mít délku přibližně 157,73 m.
Délka můstku je součtem stran sousedících s danými úhly. Voláním výšky h máme:
Výpočet s úhlem 45 °
Výpočet s úhlem 60 °
Pro určení délky můstku spočítáme získané hodnoty.
Otázka 1
Cefet - SP
V trojúhelníku ABC níže, CF = 20 cm a BC = 60 cm. Označte měření segmentů AF a BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Odpověď: b) 10, 20
K určení AF
Bereme na vědomí, že AC = AF + CF, takže musíme:
AF = AC - CF (rovnice 1)
CF je dáno problémem, který se rovná 20 cm.
AC lze určit pomocí 30 ° sinu.
BC poskytuje problém, který se rovná 60 cm.
Dosazením v rovnici 1 máme:
Určit BE
První pozorování:
Ověřujeme, že postava uvnitř trojúhelníku je obdélník, kvůli pravým úhlům určeným na obrázku.
Proto jsou jejich strany rovnoběžné.
Druhé pozorování:
Segment BE tvoří pravoúhlý trojúhelník s úhlem 30 °, kde: výška se rovná AF, který jsme právě určili, a BE je přepona.
Provedení výpočtu:
K určení BE používáme 30 ° sinus
otázka 2
EPCAR-MG
Letoun vzlétne z bodu B pod stálým sklonem 15 ° k vodorovné rovině. 2 km od B je vertikální projekce C nejvyššího bodu D 600 m vysokého pohoří, jak je znázorněno na obrázku.
Data: cos 15 ° = 0,97; hřích 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Je správné říci, že:
a) Letadlo nenarazí na pilu, dokud nedosáhne výšky 540 m.
b) Ve výšce 540 m dojde ke kolizi mezi letadlem a pilou.
c) Letadlo se srazí s pilou v D.
d) Pokud letadlo vzlétne 220 m před B při zachování stejného sklonu, nedojde ke kolizi letadla s pilou.
Odpověď: b) Ve výšce 540 m dojde ke kolizi mezi letadlem a pilou.
Nejprve je nutné použít stejný násobek jednotky měření délky. Půjdeme tedy 2 km až 2 000 m.
Po stejných počátečních letových podmínkách můžeme předpovědět výšku, ve které bude letadlo ve svislé projekci bodu C.
Použitím tangenty 15 ° a definování výšky jako h máme:
otázka 3
ENEM 2018
K vyzdobení rovného kruhového válce bude použit obdélníkový proužek průhledného papíru, na kterém je tučně nakreslena úhlopříčka, která tvoří 30 ° se spodním okrajem. Poloměr základny válce měří 6 / π cm a při navíjení pásu se získá čára ve tvaru šroubovice, jak je znázorněno na obrázku.
Hodnota měření výšky válce v centimetrech je:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Odpověď: b) 24√3
Při pozorování obrázku jsme si všimli, že kolem válce bylo provedeno 6 otáček. Jelikož se jedná o rovný válec, kdekoli v jeho výšce budeme mít jako základnu kruh.
Pro výpočet míry základny trojúhelníku.
Délka kruhu může být získána ze vzorce:
Kde r je poloměr e, rovný ,my máme:
Jak je 6 kol:
Můžeme použít 30 ° opálení k výpočtu výšky.
otázka 4
ENEM 2017
Paprsky slunečního světla dosahují k povrchu jezera pod úhlem X s jeho povrchem, jak je znázorněno na obrázku.
Za určitých podmínek lze předpokládat, že světelná intenzita těchto paprsků na povrchu jezera je dána přibližně I (x) = k. sin (x), k je konstanta a za předpokladu, že X je mezi 0 ° a 90 °.
Když x = 30 °, sníží se intenzita světla na jaké procento z jeho maximální hodnoty?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Odpověď: B) 50%
Nahrazením 30 ° sinusové hodnoty ve funkci získáme:
Po snížení hodnoty k na polovinu je intenzita 50%.
Procvičte si více cvičení v:
Trigonometrická cvičení
Rozšiřte své znalosti pomocí:
Trigonometrie v pravém trojúhelníku
Metrické vztahy v obdélníkovém trojúhelníku
Trigonometrie