Mmc a mdc představují nejmenší společný násobek a největší společný dělitel mezi dvěma nebo více čísly.
Nenechte si ujít příležitost objasnit všechny své pochybnosti prostřednictvím komentovaných a vyřešených cvičení, která uvádíme níže.
Navrhovaná cvičení
Cvičení 1
Ve vztahu k číslům 12 a 18 určete bez ohledu na 1.
a) Rozdělovače 12.
b) Rozdělovače 18.
c) Společné děliče 12 a 18.
d) Největší společný dělitel 12 a 18.
a) 2, 3, 4, 6 a 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 a 6
d) 6
Cvičení 2
Vypočítejte MMC a MDC mezi 36 a 44.
Cvičení 3
Uvažujme číslo x, přirozené. Poté klasifikujte výroky jako pravdivé nebo nepravdivé a zarovnejte je.
a) Největší společný dělitel 24 a x může být 7.
b) Největším společným dělitelem 55 a 15 může být 5.
a) Ne, protože 7 není dělitelem 24.
b) Ano, protože 5 je běžný dělitel mezi 55 a 15.
Cvičení 4
V rámci prezentace k uvedení nového závodního vozu týmu TodaMatéria se konal neobvyklý závod. Zúčastnily se tři vozidla: startovací vůz, vůz minulé sezóny a běžný osobní automobil.
Okruh je oválný, tři startovali společně a udržovali si konstantní rychlost. Startování vozu trvá 6 minut. Automobil minulé sezóny dokončí jedno kolo a osobnímu autu dojede jedno kolo 18 minut.
Jak dlouho po zahájení závodu potrvá, než společně projdou stejným výchozím bodem?
K určení je nutné vypočítat mmc (6, 9, 18).
O 18 minut později tedy znovu prošli stejným výchozím bodem.
Cvičení 5
V jedné cukrárně jsou role ok o rozměrech 120, 180 a 240 centimetrů. Budete muset látku rozřezat na stejné kusy, co největší a nic nezůstane. Jaká bude maximální délka každého síťového pásu?
K určení musíme vypočítat MDC (120 180 240).
Nejdelší možná délka bez převisů bude 60 cm.
Cvičení 6
Určete MMC a MDC z následujících čísel.
a) 40 a 64
Správná odpověď: mmc = 320 a mdc = 8.
Chcete-li najít mmc a mdc, nejrychlejší metodou je rozdělit čísla současně nejmenšími možnými prvočísly. Viz. níže.
Všimněte si, že mmc se počítá vynásobením čísel použitých při factoringu a gdc se počítá vynásobením čísel, která rozdělují obě čísla současně.
b) 80, 100 a 120
Správná odpověď: mmc = 1200 a mdc = 20.
Současný rozklad tří čísel nám poskytne mmc a mdc prezentovaných hodnot. Viz. níže.
Dělení prvočísly nám dalo výsledek mmc vynásobením faktorů a mdc vynásobením faktorů, které dělí tři čísla současně.
Cvičení 7
Pomocí primární faktorizace určete: jaká jsou dvě po sobě jdoucí čísla, jejichž mmc je 1260?
a) 32 a 33
b) 33 a 34
c) 35 a 36
d) 37 a 38
Správná alternativa: c) 35 a 36.
Nejprve musíme faktorovat číslo 1260 a určit hlavní faktory.
Vynásobením faktorů zjistíme, že po sobě jdoucí čísla jsou 35 a 36.
Abychom to dokázali, vypočítáme mmc dvou čísel.
Cvičení 8
U příležitosti Dne studentů se bude konat lov mrchožroutů se studenty ze tří tříd 6., 7. a 8. ročníku. Níže uvidíte počet studentů v každé třídě.
| Třída | 6º | 7º | 8º |
| Počet studentů | 18 | 24 | 36 |
Určete prostřednictvím MDC maximální počet studentů z každé třídy, kteří se mohou soutěže zúčastnit jako součást týmu.
Poté odpovězte: kolik týmů lze vytvořit v 6., 7. a 8. třídě s maximálním počtem účastníků na tým?
a) 3, 4 a 5
b) 4, 5 a 6
c) 2, 3 a 4
d) 3, 4 a 6
Správná alternativa: d) 3, 4 a 6.
Abychom mohli odpovědět na tuto otázku, musíme začít tím, že dáme dané hodnoty do prvočísel.
Zjistili jsme proto maximální počet studentů na tým a tímto způsobem bude mít každá třída:
6. ročník: 6/18 = 3 týmy
7. ročník: 6/24 = 4 týmy
8. ročník: 36/6 = 6 týmů
Přijímací zkoušky Vyřešené otázky
Otázka 1
(Apprentice Sailor - 2016) Nechť A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) a y = mdc (A, B), pak se hodnota x + y rovná:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Správná alternativa: d) 520.
Chcete-li zjistit hodnotu součtu xay, musíte nejprve najít tyto hodnoty.
Tímto způsobem budeme činit čísla na prvočísla a poté vypočítat mmc a mdc mezi danými čísly.
Nyní, když známe hodnotu x (mmc) a y (mdc), můžeme najít součet:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternativa: d) 520
otázka 2
(Unicamp - 2015) Níže uvedená tabulka uvádí některé nutriční hodnoty pro stejné množství dvou potravin, A a B.
Zvažte dvě izokalorické dávky (se stejnou energetickou hodnotou) potravin A a B. Poměr mezi množstvím proteinu v A a množstvím proteinu v B se rovná
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Správná alternativa: c) 8.
Chcete-li najít izokalorické dávky potravin A a B, vypočítáme mmc mezi příslušnými energetickými hodnotami.
Musíme tedy zvážit nezbytné množství každé potraviny, abychom získali kalorickou hodnotu.
Vzhledem k tomu, že jídlo A má kalorickou hodnotu 240 kcal, je nutné vynásobit počáteční kalorie 4 (60. 4 = 240). U jídla B je nutné vynásobit 3 (80. 3 = 240).
Množství bílkovin v potravinách A se tedy vynásobí 4 a množství v potravinách B 3:
Jídlo A: 6. 4 = 24 g
Jídlo B: 1. 3 = 3 g
Máme tedy, že poměr mezi těmito veličinami bude dán vztahem:
Alternativa: c) 8
otázka 3
(UERJ - 2015) V tabulce níže jsou uvedeny tři možnosti uspořádání n notebooků v balíčcích:
Pokud n je menší než 1200, součet číslic největší hodnoty n je:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Správná alternativa: b) 17.
Vzhledem k hodnotám uvedeným v tabulce máme následující vztahy:
n = 12. x + 11
n = 20. y + 19
n = 18. z + 17
Všimněte si, že kdybychom přidali 1 knihu k hodnotě n, už bychom neměli zbytek ve třech situacích, protože bychom vytvořili další balíček:
n + 1 = 12. x + 12
n + 1 = 20. x + 20
n + 1 = 18. x + 18
N + 1 je tedy společný násobek 12, 18 a 20, takže pokud najdeme mmc (což je nejmenší společný násobek), můžeme odtud najít hodnotu n + 1.
Výpočet mmc:
Takže nejmenší hodnota n + 1 bude 180. Chceme však najít největší hodnotu n menší než 1200. Podívejme se tedy na násobek, který splňuje tyto podmínky.
Z tohoto důvodu vynásobme 180, dokud nenajdeme požadovanou hodnotu:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (tato hodnota je větší než 1 200)
Můžeme tedy vypočítat hodnotu n:
n + 1 = 1080
n = 1080 - 1
n = 1079
Součet jeho čísel bude dán vztahem:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternativa: b) 17
Podívejte se taky: MMC a MDC
otázka 4
(Enem - 2015) Architekt renovuje dům. S cílem přispět k životnímu prostředí se rozhodne znovu použít dřevěná prkna odebraná z domu. Má 40 desek o rozměrech 540 cm, 30 s 810 cm a 10 s 1080 cm, všechny stejné šířky a tloušťky. Požádal tesaře, aby desky rozřezal na stejně dlouhé kousky, aniž by odešel zbytky a tak, aby nové kusy byly co největší, ale kratší že 2 m.
Na žádost architekta musí tesař vyrobit
a) 105 kusů.
b) 120 kusů.
c) 210 kusů.
d) 243 kusů.
e) 420 kusů.
Správná alternativa: e) 420 kusů.
Protože se požaduje, aby kusy byly stejně dlouhé a co největší, vypočítáme MDC (maximální společný dělitel).
Pojďme vypočítat MDC mezi 540, 810 a 1080:
Zjištěnou hodnotu však nelze použít, protože délka je omezena na méně než 2 m.
Vydělme tedy 2,7 číslem 2, protože nalezená hodnota bude také společným dělitelem 540, 810 a 1080, protože 2 je nejmenší společný primární faktor těchto čísel.
Poté bude délka každého kusu rovna 1,35 m (2,7: 2). Nyní musíme vypočítat, kolik kusů z každé desky budeme mít. K tomu uděláme:
5,40: 1,35 = 4 kusy
8.10: 1,35 = 6 kusů
10,80: 1,35 = 8 kusů
Vzhledem k množství každé desky a sčítání máme:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 kusů
Alternativa: e) 420 kusů
otázka 5
(Enem - 2015) Manažer kina každoročně poskytuje zdarma vstupenky do škol. Letos bude rozdáno 400 vstupenek na odpolední část a 320 lístků na večerní část stejného filmu. Lze vybrat více škol, které obdrží lístky. Existuje několik kritérií pro distribuci lístků:
- každá škola musí obdržet vstupenky na jedno sezení;
- všechny způsobilé školy musí obdržet stejný počet lístků;
- nebudou zde žádné zbývající lístky (tj. všechny lístky budou rozdány).
Minimální počet škol, které lze podle stanovených kritérií zvolit k získání lístků, je
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Správná alternativa: c) 9.
Abychom zjistili minimální počet škol, potřebujeme znát maximální počet lístků, které může každá škola obdržet, vzhledem k tomu, že tento počet musí být na obou zasedáních stejný.
Tímto způsobem vypočítáme MDC mezi 400 a 320:
Nalezená hodnota mdc představuje největší počet lístků, které každá škola obdrží, takže zde nebudou žádné zbytky.
Abychom mohli vypočítat minimální počet škol, které lze zvolit, musíme také vydělit počet lístků na každou relaci počtem lístků, které každá škola obdrží, takže máme:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Proto bude minimální počet škol roven 9 (5 + 4).
Alternativa: c) 9.
otázka 6
(Cefet / RJ - 2012) Jaká je hodnota číselného výrazu ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Správná alternativa: a) 0,2222
Chcete-li zjistit hodnotu číselného výrazu, je prvním krokem výpočet mmc mezi jmenovateli. Tím pádem:
Nalezený mmc bude novým jmenovatelem zlomků.
Abychom však nezměnili hodnotu zlomku, musíme vynásobit hodnotu každého čitatele výsledkem dělení mmc každým jmenovatelem:
Při řešení sčítání a dělení máme:
Alternativa: a) 0,2222
otázka 7
(EPCAR - 2010) Zemědělec zasadí fazole do rovné postele. Za tímto účelem začal označovat místa, kde bude semena vysazovat. Obrázek níže ukazuje body, které již zemědělec označil, a vzdálenosti mezi nimi v cm.
Tento zemědělec poté označil další body mezi stávajícími, takže vzdálenost d mezi všemi byl stejný a největší možný. -li X představuje počet opakování vzdálenosti d byl získán farmářem, tak X je číslo dělitelné číslem
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Správná alternativa: d) 7.
K vyřešení otázky musíme najít číslo, které rozděluje prezentovaná čísla současně. Protože se požaduje, aby byla vzdálenost co nejdále, vypočítáme MDC mezi nimi.
Tímto způsobem bude vzdálenost mezi každým bodem rovna 5 cm.
Chcete-li zjistit, kolikrát se tato vzdálenost opakovala, rozdělíme každý původní segment o 5 a přidáme nalezené hodnoty:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Nalezené číslo je dělitelné 7, protože 21,7 = 147
Alternativa: d) 7
Podívejte se taky: Násobky a rozdělovače