Plocha plochého obrázku představuje rozsah prodloužení obrázku v rovině. Jako ploché postavy můžeme uvést mimo jiné trojúhelník, obdélník, kosočtverec, lichoběžník, kruh.
Pomocí níže uvedených otázek si ověřte své znalosti o tomto důležitém předmětu geometrie.
Vyřešené problémy soutěže
Otázka 1
(Cefet / MG - 2016) Čtvercová plocha webu musí být rozdělena na čtyři stejné části, také čtvercové, a, v jednom z nich musí být udržována původní lesní rezervace (šrafovaná oblast), jak je znázorněno na obrázku a následovat.
S vědomím, že B je středem segmentu AE a C je středem segmentu EF, šrafované oblasti vm2, dej mi
a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Správná alternativa: c) 1562.5.
Při pozorování obrázku jsme si všimli, že šrafovaná plocha odpovídá ploše čtverce se stranou 50 m minus plocha trojúhelníků BEC a CFD.
Měření strany BE trojúhelníku BEC se rovná 25 m, protože bod B rozděluje stranu na dva shodné segmenty (střed segmentu).
Totéž se děje se stranami EC a CF, to znamená, že jejich měření jsou také rovná 25 m, protože bod C je středem segmentu EF.
Můžeme tedy vypočítat plochu trojúhelníků BEC a CFD. Vezmeme-li v úvahu dvě strany známé jako základna, druhá strana se bude rovnat výšce, protože trojúhelníky jsou obdélníky.
Při výpočtu plochy čtverců a trojúhelníků BEC a CFD máme:
Proto se šrafovaná oblast v m2, opatření 1562.5.
otázka 2
(Cefet / RJ - 2017) Čtverec se stranou x a rovnostranný trojúhelník se stranou y mají oblasti stejné míry. Dá se tedy říci, že poměr x / y se rovná:
Správná alternativa: .
Informace uvedené v problému spočívají v tom, že oblasti jsou stejné, to znamená:
Plocha trojúhelníku se zjistí vynásobením základního měření měřením výšky a vydělením výsledku 2. Vzhledem k tomu, že trojúhelník je rovnostranný a strana rovná y, je jeho hodnota výšky dána vztahem:
Proto lze říci, že poměr x / y je roven .
otázka 3
(IFSP - 2016) Veřejné náměstí ve tvaru kruhu má poloměr 18 metrů. Ve světle výše uvedeného označte alternativu, která představuje vaši oblast.
a) 1 017,36 m2
b) 1 254,98 m2
c) 1 589,77 m2
d) 1 698,44 m2
e) 1 710,34 m2
Správná alternativa: a) 1017, 36 m2.
Abychom našli plochu čtverce, musíme použít vzorec pro plochu kruhu:
A = π.R2
Dosazením hodnoty poloměru a uvažováním π = 3,14 zjistíme:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1017, 36 m2
Proto je čtvercová plocha 1 017, 36 m2.
otázka 4
(IFRS - 2016) Obdélník má rozměry xay, které jsou vyjádřeny rovnicemi x2 = 12 a (y - 1)2 = 3.
Obvod a plocha tohoto obdélníku jsou příslušně
a) 6√3 + 2 a 2 + 6√3
b) 6√3 a 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 a 12
d) 6 a 2√3
e) 6√3 + 2 a 2√3 + 6
Správná alternativa: e) 6√3 + 2 a 2√3 + 6.
Nejprve vyřešíme rovnice, abychom našli hodnoty xay:
X2= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Obvod obdélníku se bude rovnat součtu všech stran:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Chcete-li najít oblast, vynásobte x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Obvod a plocha obdélníku jsou tedy 6√3 + 2 a 2√3 + 6.
otázka 5
(Apprentice Sailor - 2016) Analyzujte následující obrázek:
S vědomím, že EP je poloměr středního půlkruhu v E, jak je znázorněno na obrázku výše, určete hodnotu nejtmavší oblasti a zkontrolujte správnou možnost. Data: číslo π = 3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Správná alternativa: b) 12 cm2.
Nejtmavší oblast se zjistí přidáním oblasti půlkruhu k oblasti trojúhelníku ABD. Začněme výpočtem plochy trojúhelníku, nezapomeňte, že trojúhelník je obdélník.
Zavoláme stranu AD x a vypočítáme její míru pomocí Pythagorovy věty, jak je uvedeno níže:
52= x2 + 32
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Známe míru AD na straně, můžeme vypočítat plochu trojúhelníku:
Stále musíme vypočítat plochu půlkruhu. Všimněte si, že jeho poloměr bude roven polovině měření na straně AD, takže r = 2 cm. Oblast půlkruhu se bude rovnat:
Nejtmavší oblast najdete takto: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Proto je hodnota nejtmavší oblasti 12 cm2.
otázka 6
(Enem - 2016) Muž, otec dvou dětí, chce koupit dva pozemky se stejnými rozměry, jeden pro každé dítě. Jedna z navštívených zemí je již ohraničena, a přestože nemá konvenční formát (jak je znázorněno na obrázku B), potěšila nejstaršího syna, a proto byla zakoupena. Nejmladší syn má architektonický projekt domu, který chce postavit, ale k tomu potřebuje terénu obdélníkového tvaru (jak je znázorněno na obrázku A), jehož délka je o 7 m delší než šířka.
Aby uspokojil nejmladšího syna, musí tento pán najít obdélníkový kus země, jehož rozměry v metrech, délce a šířce se rovnají
a) 7.5 a 14.5
b) 9.0 a 16.0
c) 9,3 a 16,3
d) 10,0 a 17,0
e) 13,5 a 20,5
Správná alternativa: b) 9.0 a 16.0.
Protože plocha obrázku A se rovná ploše obrázku B, nejprve tuto plochu spočítáme. Za tímto účelem rozdělíme obrázek B, jak je znázorněno níže:
Všimněte si, že při dělení obrázku máme dva pravé trojúhelníky. Proto se plocha obrázku B bude rovnat součtu ploch těchto trojúhelníků. Při výpočtu těchto oblastí máme:
Vzhledem k tomu, že obrázek A je obdélník, jeho plocha se vyhledá takto:
THETHE = x. (x + 7) = x2 + 7x
Rovnicí plochy obrázku A s hodnotou nalezenou pro plochu obrázku B najdeme:
X2 + 7x = 144
X2 + 7x - 144 = 0
Vyřešme rovnici 2. stupně pomocí Bhaskarova vzorce:
Protože míra nemůže být záporná, uvažujme pouze hodnotu rovnou 9. Proto bude šířka pozemku na obrázku A rovna 9 ma délka bude 16 m (9 + 7).
Měření délky a šířky se proto musí rovnat 9,0 a 16,0.
otázka 7
(Enem - 2015) Společnost vyrábějící mobilní telefony má dvě antény, které budou nahrazeny novou, výkonnější. Oblasti pokrytí antén, které budou nahrazeny, jsou kruhy o poloměru 2 km, jejichž obvody jsou tečné k bodu O, jak je znázorněno na obrázku.
Bod O označuje polohu nové antény a její oblast pokrytí bude kruh, jehož obvod bude externě dotýkat obvodů menších oblastí pokrytí. Instalací nové antény se měření oblasti pokrytí v kilometrech čtverečních rozšířilo o
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Správná alternativa: a) 8 π.
Zvětšení měření oblasti pokrytí bude zjištěno zmenšením ploch menších kruhů většího kruhu (s odkazem na novou anténu).
Protože se obvod nové oblasti pokrytí externě dotýká menších obvodů, bude se její poloměr rovnat 4 km, jak je znázorněno na obrázku níže:
Pojďme vypočítat plochy A1 a2 menších kruhů a oblasti A3 z většího kruhu:
THE1 = A2 = 22. π = 4 π
THE3 = 42.π = 16 π
Měření zvětšené oblasti lze zjistit provedením:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Instalací nové antény se tedy míra oblasti pokrytí v kilometrech čtverečních zvýšila o 8 π.
otázka 8
(Enem - 2015) Diagram I ukazuje konfiguraci basketbalového hřiště. Šedé lichoběžníky, nazývané karboy, odpovídají omezeným oblastem.
S cílem splnit pokyny Ústředního výboru Mezinárodní basketbalové federace (Fiba) v roce 2010, který sjednotil označení různých slitin se předpokládala úprava v karabinách dvorců, které by se staly obdélníky, jak ukazuje schéma II.
Po provedení plánovaných změn došlo ke změně v oblasti obsazené každým vozem, což odpovídá (a)
a) nárůst o 5800 cm2.
b) 75 400 cm zvětšení2.
c) nárůst o 214 600 cm2.
d) pokles o 63 800 cm2.
e) pokles o 272 600 cm2.
Správná alternativa: a) nárůst o 5800 cm².
Chcete-li zjistit, jaká byla změna v obsazené oblasti, vypočítáme plochu před a po změně.
Při výpočtu schématu I použijeme vzorec pro lichoběžníkovou plochu. V diagramu II použijeme vzorec pro plochu obdélníku.
Změna oblasti pak bude:
A = AII - AJá
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Proto po provedení plánovaných úprav došlo ke změně v oblasti obsazené každým vozem, což odpovídá nárůstu o 5800 cm².
Navrhovaná cvičení (s rozlišením)
otázka 9
Ana se rozhodla postavit ve svém domě obdélníkový bazén o rozměrech 8 m a 5 m. Všude kolem, ve tvaru lichoběžníku, byla plná trávy.
S vědomím, že výška lichoběžníku je 11 ma jeho základny jsou 20 ma 14 m, jaká je plocha části, která byla naplněna trávou?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Správná alternativa: c) 147 m2.
Vzhledem k tomu, že obdélník, který představuje fond, je vložen do větší postavy, lichoběžníku, začněme výpočtem plochy vnější postavy.
Plocha hrazdy se vypočítá podle vzorce:
Kde,
B je míra největší základny;
b je míra nejmenší základny;
h je výška.
Nahrazením dat výpisu ve vzorci máme:
Nyní vypočítáme plochu obdélníku. K tomu stačí vynásobit základnu výškou.
Abychom našli oblast pokrytou trávou, musíme od trapézového prostoru odečíst prostor obsazený bazénem.
Plocha plná trávy byla proto 147 m2.
Podívejte se taky: Trapézová oblast
otázka 10
Pro renovaci střechy svého skladu se Carlos rozhodl koupit koloniální dlaždice. Při použití tohoto typu střechy je potřeba 20 kusů na každý metr čtvereční střechy.
Pokud je střecha místa tvořena dvěma obdélníkovými deskami, jako na obrázku výše, kolik dlaždic potřebuje Carlos koupit?
a) 12000 dlaždic
b) 16 000 dlaždic
c) 18 000 dlaždic
d) 9600 dlaždic
Správná alternativa: b) 16 000 dlaždic.
Střecha skladu je vyrobena ze dvou obdélníkových desek. Proto musíme vypočítat plochu obdélníku a vynásobit 2.
Celková plocha střechy je proto 800 m.2. Pokud každý metr čtvereční potřebuje 20 dlaždic, pomocí jednoduchého pravidla tří vypočítáme, kolik dlaždic vyplní střechu každého skladu.
Proto bude nutné koupit 16 tisíc dlaždic.
Podívejte se taky: Obdélníková oblast
otázka 11
Marcia by si přála, aby vchod do jejího domu zdobily dvě stejné dřevěné vázy. Protože si mohla koupit jen jednu ze svých oblíbených položek, rozhodla se najmout truhláře, který by postavil další vázu se stejnými rozměry. Váza musí mít čtyři strany ve tvaru rovnoramenného lichoběžníku a základna je čtverec.
Bez ohledu na tloušťku dřeva, kolik metrů čtverečních dřeva bude zapotřebí k reprodukci kusu?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Správná alternativa: d) 0,3121 m2.
Rovnoramenný trapéz je typ, který má stejné strany a různě velké základny. Z obrázku máme následující měření lichoběžníku na každé straně plavidla:
Menší podstavec (b): 19 cm;
Větší základna (B): 27 cm;
Výška (v): 30 cm.
S hodnotami v ruce vypočítáme lichoběžníkovou plochu:
Jelikož je nádoba tvořena čtyřmi lichoběžníky, musíme vynásobenou plochu vynásobit čtyřmi.
Nyní musíme vypočítat základnu vázy, kterou tvoří čtverec 19 cm.
Když spočítáme vypočtené plochy, dostaneme se k celkové ploše dřeva, které se má použít ke stavbě.
Oblast však musí být uvedena v metrech čtverečních.
Proto, bez ohledu na tloušťku dřeva, bylo zapotřebí 0,3121 m2 materiálu na výrobu vázy.
Podívejte se taky: Čtvercová plocha
otázka 12
Pro usnadnění výpočtu počtu lidí, kteří se účastní veřejných akcí, se obecně předpokládá, že jeden metr čtvereční je obsazen čtyřmi lidmi.
K oslavě výročí města si vláda města najala kapelu, která bude hrát na náměstí uprostřed, které má rozlohu 4000 m2. Kolik lidí se akce zúčastnilo, protože věděli, že náměstí je plné?
a) 16 tisíc lidí.
b) 32 tisíc lidí.
c) 12 tisíc lidí.
d) 40 tisíc lidí.
Správná alternativa: a) 16 tisíc lidí.
Čtverec má čtyři stejné strany a jeho plocha se vypočítá podle vzorce: A = L x L.
pokud v 1 m2 je obsazena čtyřmi lidmi, takže čtyřnásobek celkové plochy náměstí nám poskytuje odhad lidí, kteří se akce zúčastnili.
Akce propagované radnicí se tak zúčastnilo 16 tisíc lidí.
Další informace najdete také:
- Plochy plochého obrázku
- Geometrické tvary
- Pythagorova věta - cvičení
